內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧區(qū)第一中學(xué)高三考前熱身新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧區(qū)第一中學(xué)高三考前熱身新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．14．《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽爻，“”表示一個(gè)陰爻）．若從含有兩個(gè)及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻的概率為（）A． B． C． D．5．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]6．在中，為邊上的中點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．7．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．10．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且公比為2，則與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．12．已知,則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.14．如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從地移動(dòng)到地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從移動(dòng)到最近的走法共有____種．15．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為_____．16．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn)，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，的平行線交軌跡于，兩點(diǎn)，交軌跡在處的切線于點(diǎn)，問：是否存在實(shí)常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由.19．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.21．（12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點(diǎn)，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，，若為棱上一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點(diǎn)代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.3、C【解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時(shí)不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．考點(diǎn)：1．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運(yùn)算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號(hào)是否成立，否則易出問題．4、B【解析】

基本事件總數(shù)為個(gè)，都恰有兩個(gè)陽爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，由此求出概率.【詳解】解：由圖可知，含有兩個(gè)及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個(gè)，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個(gè)，所以，所求的概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化，考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí)，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由為邊上的中點(diǎn)，表示出，然后用向量模的計(jì)算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點(diǎn)，，故選：A【點(diǎn)睛】在三角形中，考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析：從兩個(gè)方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結(jié)果.詳解：由題意可得，在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，結(jié)合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因?yàn)?，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，余弦的和角公式，誘導(dǎo)公式等，需要明確對(duì)應(yīng)此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.8、D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

對(duì)任意的總有恒成立，因?yàn)椋瑢?duì)恒成立，可得，令，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立，對(duì)恒成立，令，可得令，得當(dāng)，當(dāng)，，故令，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.10、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對(duì)于的范圍的要求.11、C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出導(dǎo)數(shù)，再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，注意先考慮函數(shù)的定義域，再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號(hào)，本題屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

分三步來考查，先從到，再從到，最后從到，分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來考查：①從到，則亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；②從到，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)問題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.15、1【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，∴抽取學(xué)生的人數(shù)為6001．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.16、2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素，可得，可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得方程；（2）由拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，進(jìn)而求得與之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù).【詳解】（1）由題意得，點(diǎn)與點(diǎn)的距離始終等于點(diǎn)到直線的距離，由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則，.∴圓心的軌跡方程為.（2）因?yàn)槭擒壽E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.因?yàn)?，所以設(shè)直線的方程為，.由，得，則在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以在點(diǎn)處的切線方程為.由得所以，所以.由消去得，由，得且.設(shè)，，則，.因?yàn)辄c(diǎn)，，在直線上，所以，，所以，所以.∴故存在，使得.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因?yàn)?，所?（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)椋?，所以?dāng)即時(shí)，取到最大值2，所以的周長(zhǎng)有最大值，最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段解不等式即可（2）等價(jià)于，由，得不等式即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價(jià)于.又因?yàn)?，所以，?解得，結(jié)合，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題20、另一個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，可得，再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為：，是方程的一個(gè)根，，解得，即方程即，，可得另一個(gè)特征值為：，設(shè)對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）證明見解析，.【解析】

（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計(jì)算得到答案.（2）先排除斜率為0時(shí)的情況，設(shè)，，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到，，根據(jù)化簡(jiǎn)得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設(shè)條件矛盾，故直線的斜率不為0.設(shè)，，直線的方程為聯(lián)立，整理得則，.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線過定點(diǎn)問題，計(jì)算出是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.22、（Ⅰ）證