2024年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵某中學學中考數(shù)學一模試卷附答案解析

2024年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，滿分30分，每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.）

1.（3分）如圖圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.（3分）魯班鎖，民間也稱作孔明鎖、八針鎖，相傳由春秋時代魯國工匠魯班所創(chuàng)，如圖是魯班鎖的其

中一個部件，它的主視圖是（）

3.（3分）近來，中國芯片技術獲得重大突破，7〃機芯片己經(jīng)量產(chǎn)，一舉打破以美國為首的西方世界的技

術封鎖，已知7/〃〃=0.0000007cm,則0.0000007用科學記數(shù)法表示為（）

A.7X10-7B.7X106C.0.7X106D.0.7X10'7

4.（3分）如圖所示，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷的是（）

5.（3分）如圖，在扇形AOB中，NAOB=130°,OA=3,若弦8C〃A。，則女的長為（）

6.（3分）為評估一種水稻的種植效果，選了10塊地作試驗田.這10塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為

.ri,n,no,下面給出的統(tǒng)計量中可以用來評估這種水稻畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)B.這組數(shù)據(jù)的方差

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)D.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

7.（3分）下面計算中正確的是（）

A.37+2x=5/B.V32+V18=7V2

C.+J|=2V22

D.（,而）=h

8.（3分）如圖，0O是△ABC的外接圓，MAB=AC,N8AC=36°,在而上取點0（不與點A,B重

合），連接80,AD,則NBAD+NABD的度數(shù)是（）

C.72°D.73°

9.（3分）如圖①，在正方形A8C。中，點M是AB的中點，點N是對角線B。上一動點，設DN=x,AN+MN

=y.已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點E（a,2通）是圖象的最低點，那么正方形的邊長的值

為（）

D.2\5

10.（3分）如圖是由全等的含60°角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個小菱形的頂點叫做格點，其中點A,B,

C在格點上，則tan/ACB的值為（）

2

-

D.3

二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分.）

11.（3分）因式分解：X2-xy=.

12.（3分）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，若圓錐為底面圓半徑是5,則圓錐的

13.（3分）已知一元二次方程/-3%+女=0的兩個實數(shù)根為劉,孫若明4+級1+級2=1,則實數(shù)女=

14.（3分）如圖，CO為RlZUBC斜邊A8上的中線，E為4C的中點.若AC=8,CD=5,則DE=.

15.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=［（%>0）的圖象與半徑為10的。。交于A，

16.（3分）如圖，在AABC中，NBAC=90°,AB=2,AC=4魚，點。是BC邊上的動點，連接AD,

則3AD+OC的最小值為

三、解答題（本大題有9小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟.）

17.（4分）計算：I一g|—（4-7T）°-2sin60。+（3一］.

18.（4分）如圖，已知點。是BC上一點，OE_L4B,DFLAC,垂足分別為E、F,連接40,若AD垂直

平分ER求證：4。是△ABC的角平分線.

B

19.x2+2t-i-r其中X滿足f+x-2024=0.

20.（6分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△A8C的三個頂點坐標分別是A（2,-1）,B（1,-2）,

C(3,-3).

（1）將△ABC向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到△AIBICI,請畫出△AIBICI；

（2）請畫出5c關于y軸對稱的252c2；

（3）將282c2繞著原點。順時針旋轉90°,得到△43SC3,求線段A2c2在旋轉過程中掃過的面積

（結果保留n）.

21.（8分）中華文化源遠流長，文學方面，《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國古代長篇小

說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”.某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況,就“四

大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學生中進行了抽樣調查，根據(jù)調查結果繪制成如圖尚不完整的

（1）本次調查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是部，中位數(shù)是部；

（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為度；

（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學生準備從中各自隨機選擇一部來閱讀，請用列表或畫樹狀圖的方

法求他們恰好選中同一名著的概率.

22.（10分）某商店為了推銷一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品發(fā)布會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10

萬元，設第x場

產(chǎn)品的銷售量為丁（臺），己知第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺；

（1）直接寫出y與x之間滿足的函數(shù)關系式；

產(chǎn)品的每場銷售單價p（萬元）由基本價和浮動價兩部分相加組成，其中基本價保持不變.經(jīng)過統(tǒng)計，

發(fā)現(xiàn)第1場一第20場浮動價與發(fā)布場次工成正比，第21場一一第40場浮動價與發(fā)布場次x成反比，

得到如下數(shù)據(jù)：

X（場）31025

P（萬元）10.61214.2

（2）求〃與x之間滿足的函數(shù)關系式

（3）當產(chǎn)品銷售單價為13萬元時，求銷售場次是第幾場？

(4)在這40場產(chǎn)品發(fā)布會中，求哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

23.(10分)如圖.AA為經(jīng)過圓心O的一條線段,且與OO交于月點.

(1)過4在48的上方作00的切線，切點為。，過A作4C_LBQ,垂足為C,AC與。。交于產(chǎn)點.請

尺規(guī)作圖，不用寫作圖的詳細步驟.

(2)求證：A。平分N84C；

(3)若BD=3,tan^CAD=L求0。的半徑.

24.(12分)已知拋物線(a+〃?)x+機與x軸交于4、B兩點,與y軸交于點C.

(1)當C(0,-3)且。=一飆.

①求拋物線的解析式.

②若收xVO,且女V-l,y的最大值和最小值分別為p,q,且p+g=l,求2的值.

③若該拋物線經(jīng)過M(3〃+4,yi),N(2〃?1,〉2)兩點，且求n的取值范圍.

(2)當48=2時，函數(shù)juox2-(a+m)x+陽有最小值機?1,直接寫出a的值.

25.(12分)探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

AD1

在RIZX48C中，ZC=90°,AC=BC,。是48邊上一點，且二7=一(八為正整數(shù))，七是4C邊上的

BDn

動點，過點。作。E的垂線交直線3c于點E

【初步感知】

(1)如圖1,當〃=1時，興趣小組探究得出結論：AE+BF=請寫出證明過程.

【深入探究】

(2)①如圖2,當〃=2,且點尸在線段上時，試探究線段AE,BF,AB之間的數(shù)量關系，請寫出

結論并證明；

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段4E,BF,A8之間數(shù)量關系的一般結論(直接寫出結論，不

必證明).

【拓展運用】

(3)如圖3,連接E尸，設E尸的中點為M,若AB=2a,求點E從點A運動到點。的過程中，點M

運動的路徑長(用含〃的代數(shù)式表示).

2024年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，滿分30分，每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.）

1.（3分）如圖圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：原圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；符合題意;

B.原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；不符合題意；

C.原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；不符合題意；

D.原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；不符合題意.

故選：A.

2.（3分）魯班鎖，民間也稱作孔明鎖、八針鎖，相傳由春秋時代魯國工匠魯班所創(chuàng)，如圖是魯班鎖的其

中一個部件，它的主視圖是（）

A.口

D.0

【解答】解：它的主視圖是：___I.

故選：C.

3.（3分）近來，中國芯片技術獲得重大突破，7〃機芯片已經(jīng)量產(chǎn)，一舉打破以美國為首的西方世界的技

術封鎖，已知7〃m=0.0000007cm,則0.0000007用科學記數(shù)法表示為（）

A.7X10-7B.7X106C.0.7X106D.0.7X10'7

【解答】解：0.0000007=7X10-7.

故選：A.

4.（3分）如圖所示，點￡在4C的延長線上，下列條件中能判斷的是（）

A.N3=NAB.Zi=Z2

C.ND=NDCED.ZD+ZACD=180°

【解答】解：A、N3=NA,無法得到，AB//CD,故此選項錯誤；

B、Z1=Z2,根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可得：AB//CD,故此選項正確；

C、ND=NDCE,根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可得：BD//AC,故此選項錯誤；

D、ZZMZACD=180°,根據(jù)同旁內角互補，兩直線平行可得：BD//AC,故此選項錯誤；

故選：B.

5.（3分）如圖，在扇形AOB中，NAOB=130°,OA=3,若弦BC〃AO,則配的長為（）

57r4n

C.—D.

63

O

9：BC//OA,

???N4OB+NOBC=180°,NC=NAOC,

VZAOfi=130°,

：.ZOBC=50°,

?：OB=OC,

：.ZC=ZOBC=50Q,

???NAOC=50°,

,檢的長=5°濡3=、

故選：C.

6.（3分）為評估一種水稻的種植效果，選了10塊地作試驗田.這10塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為

XI；"，…，劉0,下面給出的統(tǒng)計量中可以用來評估這種水稻畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)B.這組數(shù)據(jù)的方差

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)D.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

【解答】解：標準差，方差能反映數(shù)據(jù)的波動程度，

故選：B.

7.（3分）下面計算中正確的是（）

A.3?+2x=5?B.V32+V18=7V2

C.V3xV8^J|=2V2D.（-ab）9-b

【解答】解：4、3A-2,不是同類項，故不能合并，所以該選項是錯誤的；

8、V32+>/18=4V24-3V2=7V2,所以該選項是正確的；

C、V3XV8-J|=2A/6XV3=6^2,所以該選項是錯誤的；

2311

。、-ab）=a^b-i-ab=abf所以該選項是錯誤的；

故選：B.

8.（3分）如圖，00是△ABC的外接國，KAB=AC,N84C=36°,在卷上取點。（不與點4,8重

合），連接BD,AD,則的度數(shù)是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

【解答】解：VAB=AC,NBAC=36°,

，NABC=NC=72°,

???四邊形ADBC是圓內接四邊形，

AZD+ZC=1800,

AZD=180o-ZC=108°,

：,/BAD+/ARD=\^a-ZD=72°,

故選：C.

9.（3分）如圖①，在正方形ABC。中，點M是48的中點，點N是對角線8。上一動點，設DN=x,AN+MN

=y.已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點E（a,2通）是圖象的最低點，那么正方形的邊長的值

為（）

D.2遙

【解答】解：如圖，連接AC交8。于點。,連接NC,連接MC交8D于點M.

???四邊形A8CO是正方形,

???0是80的中點,

丁點M是A6的中點,

???M是△ABC的重心,

:?N0=/0,

2

:.ND=$BD,

,:A、C關于8。對稱,

:,NA=NC,

:?AN+MN=NC+MN,

???當M、N、。共線時，y的值最小,

???），的值最小就是MC的長,

:.MC=2瓜

設正方形的邊長為m,則BM—5〃，

在Rt^BCM中，由勾股定理得：Md=BC?+MB2,

/.20=m2+（im）2,

乙

，m=4（負值己舍），

工正方形的邊長為4.

故選：C.

10.（3分）如圖是由全等的含60°角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個小菱形的頂點叫做格點，其中點A,B,

。在格點上，貝ijlan/ACB的值為（）

D.|百

解：連接BE,是小菱形

對角線垂直

BE.LAC,

由題意知，BELAC,Zl=60

設小菱形的邊長為

?，BE22G

..tanZACB=^=7==—

故選：D.

二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分.）

11.（3分）因式分解：A2-xv=X（X-y）

【解答】解：町=x（x-y）.

故答案為：x（x-y）.

12.（3分）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120。的扇形，若圓錐的底面圓半徑是5,則圓錐的

【解答】解：圓錐的底面周長=2irX5=l（hT,

1207TXI

則：…=1°心

180

解得/=15.

故答案為：15.

13.（3分）已知一元二次方程7-3x+A=0的兩個實數(shù)根為xi,J2,若XLV2+2XI+2X2=1,則實數(shù)k=-5

【解答】解：???一元二次方程f?3x+2=0的兩個實數(shù)根為XI，X2,

/.X|+X2=3,X1?X2=2,

*.*XIX2+2XI+2X2=1,

?M+2X3=1,

解得k=-5,

又???方程有兩個實數(shù)根，

:.A-4ac=（-3/-必20,

解得k<l，

綜合以上可知實數(shù)2=-5.

故答案為：-5.

14.（3分）如圖，C。為RtZ\4BC斜邊4B上的中線，E為AC的中點.若AC=8,CD=5,則。月=3

c

【解答】解：???CO為RlZXABC斜邊相上的中線，CO=5,

：,AB=2CD=\0,

???NAC8=90°,AC=8,

:?BC=y/AB2-AC2=6,

???￡為AC的中點，

:?AE=CE,

???DE是△ABC的中位線，

：.DE=ifiC=3,

故答案為：3.

15.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=e。＞0）的圖象與半徑為10的O。交于A，

B兩點,若/4。8=60°,則上的值是25.

【解答】解：設點A（小b）,

反比例函數(shù)y=［（%＞（））的圖象與半徑為10的。0交于A,B兩點,

所以4,8兩點關于直線），=x對稱，

：.B（b,4）,

???oo的半徑為10,

.?.04=08=10,

：.0^=100,即a2+b2=100,

???NAO8=60°,

???△0A8是等邊三角形，

t\AR=OA=OR=\0,

/.A52=100,即，(a?b)2+(b-a)2=100,

化簡得：cr+b2-2ab=50,

.,.100-2^=50,

VA（a,b）在反比例函數(shù)y=（Q>0）的圖象上,

:?k=ab=25,

故答案為：25.

16.（3分）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=4魚，點。是8C邊上的動點，連接4Q,

32

則34ZHOC的最小值為—.

-3—

【解答】解：作點A關于BC的對稱點凡連接OF,作OE_LAC,垂足為￡,

VZBAC=90°,AB=2,AC=4A/2,

：.BC=>JAB2+AC2=6,

AB21

?.sinCBC=6=3f

VZF=90°-ZMC=ZC,

AC4&242

BC=~=~f

AG1

VsinC=AC=3f

?MG=累。=孚

..?_DE_1

?sinrC=CD=3f

:?CD=3DE,

???點A與點尸關于BC對稱，

:?AD=DF,

：,AD+DE=DF+DE,

當尸、D、E共線時，AO+QE=Or+。E有最小值，最小值為FE的長.

在Rt/Vl所中，cosF=篇=緣,

.,9=學32

4232

?，340+DC=3（40+DE）=3FE=y,即3AD+DC的最小值為一.

32

故答案為：

三、解答題（本大題有9小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟.）

17.（4分）計算：|一75|-（4一九）°一25譏60。+4）一】.

【解答】解：原式=V5—1—2X日+5

=4.

18.（4分）如圖，已知點。是BC上一點，DE±AB,DFLAC,垂足分別為E、F,連接A。，若A。垂直

平分石尸，求證：AO是△A8C的角平分線.

【解答】證明：???A。垂直平分E尸，

:.DE=DF,

?：DE1AB,DF1AC,

：,AD是△ABC的角平分線.

19.（6分）先化簡，再求值：（X-系）、珠+T其中x滿足?+x?2024=0.

【解答】解：(〉一落)?常磊

_.(x+l)—3%(4+])2

=x+Ix-2

X2—2X(X+1)2

=^+Ix^2~

二加2)(計1)2

x+1x-2

=x(x+1)

2

=x+xf

Vx滿足J^+X-2024=0,

.,.?+x=2024,

工原式=2024.

20.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是4(2,-1),B(1,-2),

C(3,-3).

(1)將△ABC向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到△481。，請畫出

(2)請畫出△A5C關于y軸對稱的252c2；

(3)將282c2繞著原點。順時針旋轉90°,得到△?1343c3,求線段A2c2在旋轉過程中掃過的面積

【解答】解：(1)如圖所示，。即為所求;

(2)如圖所示，△A2及Q即為所求;

(3)將△△282c2繞著原點0順時針旋轉90°,得到△A3B3c3,如圖，連接OC3交取3于￡),連接OQ

交礫于E,

VA2(-2,-1),歷(-1,-2),C2(-3,-3),

/.0A2=A/22+l2=V5,052=Vl24-22=V5?OCz=+32=3企,

/.OAI=OB2=OD=OE=VS.

由旋轉得：OA2=OA3,082=083，OC2=OC3,A2C2=A3c3,NC20c3=NOOE=9（r,

???△0A2c2g△0A3c3（SSS）,

=

??SAOA2c2^^OA3C3?

?,?線段A2c2在旋轉過程中掃過的面積=S眉辱”-S磁形DOE=9"幫）2_90.吸）2=137T

C2OC3OOUDOU4

21.（8分）中華文化源遠流長，文學方面，《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國古代長篇小

說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”.某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況，就“四

大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學生中進行了抽樣調查，根據(jù)調查結果繪制成如圖尚不完整的

統(tǒng)計圖.

（1）本次調查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部,中位數(shù)是2部:

（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為72度;

（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學生準備從中各自隨機選擇一部來閱讀，請用列表或畫樹狀圖的方

法求他們恰好選中同一名著的概率.

【解答】ft?：（1）本次調查的人數(shù)為：10?25%=40（人），

讀2部的學生有：40-2-14-10-8=6（人），

故本次調查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是I部，中位數(shù)是（2+2）+2=2（部），

故答案為：1,2；

（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為：360°x磊=72°,

故答案為：72；

(3)由(1)知,讀2部的學生有6人.

補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示；

(4)《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》分別用字母4、B、C、。表示,

樹狀圖如圖所示:

/IV.

[BCDABCDABCD

一共有16種可能性，其中他們恰好選中同一名著的可能性有4種,

41

故他們恰好選中同一名著的概率是7

164

22.(1()分)某商店為了推銷一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品發(fā)布會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10

萬元，設第k場

產(chǎn)品的銷售量為丁(臺)，已知第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺；

(1)直接寫出y與x之間滿足的函數(shù)關系式；

產(chǎn)品的每場銷售單價p(萬元)由基本價和浮動價兩部分相加組成，其中基本價保持不變.經(jīng)過統(tǒng)計,

發(fā)現(xiàn)第1場一第20場浮動價與發(fā)布場次工成正比，第21場一一第40場浮動價與發(fā)布場次x成反比，

得到如下數(shù)據(jù)：

x(場)31025

P（萬元）10.61214.2

（2）求0與x之間滿足的函數(shù)關系式

（3）當產(chǎn)品銷售單價為13萬元時，求銷售場次是第幾場？

（4）在這40場產(chǎn)品發(fā)布會中，求哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

【解答】（I）由題意，當x=5時，y=45,

y與1的函數(shù)關系式為y=50-x.

???第5場銷售45臺產(chǎn)品，y與x的函數(shù)關系式為y=50-x；

（2）設基本價為b,

第1場?第20場，1WXW20且x為正整數(shù)，

設P與x的函數(shù)關系式為P=ax+h.

依題意得：甯押打號

解得：聯(lián):鑿,

/.P=0.2x+10.

第21場?第40場，即2KW40且人為正整數(shù)時，

設尸與x的函數(shù)關系式為P=?+b,

即昨畀10.

依題意得：14.2=券+10,

解得m=105,

"=竽+10,

???當1WXW20且x為正整數(shù)時，戶與工之間滿足的函數(shù)關系式為p=0.2x+10；當21Wx《40且工為正整

數(shù)時，P與x之間滿足的函數(shù)關系式為2=孚+10；

（3）當P=13時，0.2x+10=13,

解得x=15,

或變+10=13,

x

解得x=35.

故當產(chǎn)品銷售單價為13萬元時，銷售場次是第15場和第35場;

(4)設每場獲得的利潤為w(萬元).

當1W“W2O且x為正整數(shù)時，卬=(C.2%+10-10)(50-x)=-0.2?+10x=-0.2(%-25)2+125,

???在對稱軸的左側，卬隨x的增大而增大，

???當x=20時，w最大，最大利潤為-0.2(20?25)2+125=120(萬元).

當21WxW40且x為正整數(shù)時，卬=(苧+10-10)(50—%)=簟^一105,

二?卬隨x的增大而減小，

5250

???當x=21時，w最大，最大利潤為二丁—105=145(萬元)，

21

7145>120,

工在這40場產(chǎn)品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為145萬元.

23.(1。分)如圖，A8為經(jīng)過圓心O的一條線段，且與交于“點.

(1)過8在AB的上方作。。的切線，切點為。，過A作AC_LBO,垂足為C,AC與。。交于尸點.請

尺規(guī)作圖，不用寫作圖的詳細步驟.

(2)求證：AO平分NBAC；

(3)若80=3,tan^CAD=求。0的半徑.

【解答】(1)解：如圖所示，BD、AC即為所求;

???BC是。。的切線,

：.ODLBC.

VAC±BD,

：.OD//AC.

：.ZODA=ZCAD.

?：OD=OA,

???NO￡>A=NQA￡）.

，NOAO=NC4￡>.

???AZ）平分N84C.

（3）解：連接OE,

小

TAE是。。直徑，

：.ZADE=90°.

AZEDO+ZODA=90°.

TB及是00切線，

：.OD1BD.

；?NBDO=90°.

：?NEDO+/BDE=90°.

：?/ODA=NBDE.

*：ZODA=ZOAD,

：.ZBDE=ZOAD.

即NBOE=NA4。，

又?：NB=NB,

；.4BDES4BAD.

.BEBDDE

**BD~AB~AD'

???NCAO=NE4。，

tanZEAD=tanZCAD=

DE1

AD2

BE31

3~AB~2

3

BE=妄，AB=6.

39

AE=AB-BE=6—2=2,

9

???。0的半徑為:

4

24.(12分)已知拋物線丁=蘇-(a+機)X+AM與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C.

1

(I)當C(0?-3)且。=—

①求拋物線的解析式.

②若AWxVO,且RV?l,y的最大值和最小值分別為p,q,且p+g=L求&的值.

③若該拋物線經(jīng)過M(3〃+4,y\),N(2〃-l,")兩點，且yi>y2,求n的取值范圍.

(2)當4B=/時，函數(shù)y=ax2-(a+m)X+M有最小值陽-I,直接寫出。的值.

【解答】解：⑴①?.,。=一品，

?122

??y=一可〃x？-

將(0,-3)代入y=—!“tr2—半如+〃!得：

m=-3,

???拋物線的解析式為)=』+"-3；

②???y=/+2x-3=(A-+1)2-4,

Vl>0,

，拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-1,

?:k<-1,k?0,

???對應的函數(shù)的圖象在y軸的左側，此時拋物線的頂點為最低點，

/.x=-1,y=-4為函數(shù)最小值，即p=-4,

"q=3

/.(7=1-q=5,

將y=5代入y=j?+2x-3得：

5=/+2x-3,

解得：x=2(舍)或彳=-4,

：.k=-4.

③:產(chǎn)>)明

.*.yi-y2>0.

Vyi-yz=(3〃+4)2+2(3〃+4)-3-f(2?-1)2+2(2〃-1)-3]>0,

???5及+30〃+25>0,

??.,/+6〃+5>0,

-5或n>~1.

???若該拋物線經(jīng)過M（3〃+4,yi）,N（2〃-1,y2）兩點，且yi〃的取值范圍：n<-5BEn>-1；

(2)。的值為病或石.理由：

??,函數(shù)y=aXL-(a+〃?)x+m有最小值m-1,

4am-[-(a+rri)]2

/.a>0,---------------------=m-1.

4a

:.(a+〃?)2=4〃.

設A(xi,0).B(X2?0),則xi,X2是方程or2-(a+m)x+m=0的兩根,

a+mm

-x\+x2=Xi-x2=—,

1

\AR=\x\一％)(xy—x

"X2|=22=VXi-24xx-23-

a-m=；或m-a1

3

.w=或m=打

oo

當m=時，（Q+可=4。，

解得：a二1|或。（不合題意，舍去），

當m=第時，（cz4-5a）2=4a,

解得：4=瑞或。（不合題意，舍去），

3636

綜上，a的值為二或工？

2549

25.（12分）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

AD1

在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,。是48邊上一點，且二7=一（〃為正整數(shù)），石是AC邊上的

BDn

動點，過點。作。石的垂線交直線3c于點H

【初步感知】

（1）如圖1,當〃=1時，興趣小組探究得出結論：AE+BF=請寫出證明過程.

【深入探究】

（2）①如圖2,當〃=2,且點尸在線段上時，試探究線段AE,BF,AB之間的數(shù)量關系，請寫出

結論并證明;

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,AB之間數(shù)量關系的一般結論（直接寫出結論，不

必證明）.

【拓展運用】

（3）如圖3,連接E尸，設EF的中點為若AB=2/，求點￡從點A運動到點C的過程中，點M

運動的路徑長（用含〃的代數(shù)式表示）.

【解答】（1）證明：連接。,

圖1

VZC=90°,AC=BC,AD=DB,

：.AB=V2AC,ZA=ZB=ZACD=45°,AD=CD=BD,CD1AB,

?；ED1FD,

???NEDF=/CDB=90°,

:?/CDE=/BDF,

工ACDEWABDF(ASA),

:?CE=BF,

：.AE+BF=AE+CE=AC=號AB；

(2)①理由如下：

過點。作￡W_LAC于MOH_LBC于〃,

c

H

圖2

VZC=90°，AC=BCf

，NA=N8=45°,

*：DN1AC,DHLBC,

???△AON和△B￡>”是等腰直角三角形，

:?AN=DN,DH=BH,AD=V2AN,BD=\[2BH,NA=N8=45°=/ADN=/BDH,

:?叢ADNs^BDH,

ADAN1

??==一,

DBDH2

設AN=DN=x,BH=DH=2xf

：,AD=\[2x,BD=2V2x,

，A8=3岳，

*：DN工AC,DHLBC,NACB=90°，

???四邊形O〃CN是矩形，

；"NDH=90°=/EDF,

:"EDN=/FD