2023屆廣東省高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,-4）,則sina+」一=

cosa

137

A.一B.—

515

13

C.衛(wèi)D.——

2015

2,已知函數(shù)/")的圖象如圖所示，則/（力可以為（）

rx|A,

x3e_e-?e

A./?=--B./(%)=------C.f（x）=一一xD.f（x}=—

3xxxx

3.設(shè)復(fù)數(shù)二滿(mǎn)足|z|=簽+1,;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（X,y）則（）

A.x2=2y+1B.y2=2x4-1

C.x2=2v-lD.y2=2x-\

2-3//、

4.---=()

1+Z

15.15.-15.n15.

A.---1B.----1

22222222

口公兀,1111

5c.已知片1《+.亍+“一，如圖是求開(kāi)的近似值的一個(gè)程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入

A.i=--------B.i=-------

2n-li+2

c.D.3

2n+\i+2

6.已知過(guò)點(diǎn)尸(1/)且與曲線y=V相切的直線的條數(shù)有().

A.0B.1C.2D.3

7.已知函數(shù)/（x）=J5sin5+3cosS（G〉°），對(duì)任意的/，々，當(dāng)/（x）"/）=一12時(shí)，|不一天/=卷，

則下列判斷正確的是（）

A.7（￡|=1B.函數(shù)?。┰谀愣紊线f增

7萬(wàn)

C.函數(shù)/口）的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=——D.函數(shù)/（力的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是0

6

1-i

8.設(shè)2=+2i,則|z|=

T7T

A.0B.C.1D.y/2

2

9.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)（百分制）的莖葉圖如圖所示.

甲乙

69

6278

620878

0926

①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù);

②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；

③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；

④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差.

以上說(shuō)法正確的是（）

A.?@B.??C.②④D.①?@

10.已知直線/：Gx+y+2=0與圓。：d-丁=4交于A,6兩點(diǎn)，與/平行的直線（與圓。交于A1,N兩點(diǎn),

且與?QMN的面積相等，給出下列直線①JIr+y-2j5=O,②后+），-2=0,③%-0），+2=0,

④^^+^+2百=0.其中滿(mǎn)足條件的所有直線人的編號(hào)有（）

A.??B.??C.②③D.①?@

11.已知命題〃：任意xN4,都有咋2北2；命題染a>h,則有">從.則下列命題為真命題的是（）

A.PMB.〃A（->q）C.（f）八（~iq）D.（-.p）vq

12.已知集合“={（工》）|工+'<4/、ywN*},則集合M的非空子集個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.7D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的x的值為.

14.已知向量〃，人滿(mǎn)足I。1=2,|〃1=3,且已知向量b的夾角為60°,3-c）?b-c）=0,則|c|的最小值是一.

15.（5分）已知橢圓方程為Y+±=i,過(guò)其下焦點(diǎn)尸作斜率存在的直線/與橢圓交于A3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

2

則^AOB面積的取值范圍是.

16.設(shè)集合A={L3},B={X|X2-2X-3＜0},則ACB=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

Gcfx=cos^

17.(12分)在直角坐標(biāo)系/中，己知直線/的直角坐標(biāo)方程為)，=組工，曲線G的參數(shù)方程為J=.(。為

3，一+sin

71

參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=4sin(0+§).

(I)求曲線G和直線/的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線/與曲線a、G相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)A3,若A3的極徑分別為8,22,求M-同的值?

18.(12分)某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路44,以及鐵路線上的一條應(yīng)開(kāi)鑿的直線穿山

隧道為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路44和山區(qū)邊界的直線型公路/,以44所在

的直線分別為工軸，)'軸，建立平面直角坐標(biāo)系尤Oy，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為。：＞=吧(工＞0),設(shè)公路/與

x

曲線C相切于點(diǎn)尸，尸的橫坐標(biāo)為L(zhǎng)

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)公路/的長(zhǎng)度最短時(shí)，設(shè)公路/交X軸，y軸分別為A,B兩點(diǎn),并測(cè)得四邊形A8WN中，4BAN.,

2

ZMBA=-;rt4N=10底千米，8M=15"千米，求應(yīng)開(kāi)鑿的隧道MN的長(zhǎng)度.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=a￥-lnx-l(a￡R).

(1)討論Ax)的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；

(2)若8(工)=弓/一工一1一7a),設(shè)內(nèi),々(為〈9)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若。之5,且且(內(nèi))一8(占)之女恒

成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

20.（12分）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛?,｝滿(mǎn)足〃用=幽土絲.

n+\

（1）證明：數(shù)列］蒙｝是等差數(shù)列.

（2）令么=〃〃+〃，求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和5.

21.（12分）唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類(lèi)工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩(shī)分成7

大類(lèi)別，并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類(lèi)別及各類(lèi)別包含“花”、“山”、“簾”字的

篇數(shù)，得到下表：

愛(ài)情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)

篇數(shù)100645599917318500

含“山，，字的

5148216948304271

篇數(shù)

含“簾”字的

2120073538

篇數(shù)

含“花”字的

606141732283160

篇數(shù)

（D根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類(lèi)別的可能性最大，屬于哪個(gè)類(lèi)

別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類(lèi)別的概率；

（2）已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：

①若有超過(guò)95%的把握判斷“某字”與“某類(lèi)別”有關(guān)系，貝某字”為“某類(lèi)別”的關(guān)鍵字；

②若“某字，被選為“某類(lèi)別”關(guān)鍵字，則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的K?的觀測(cè)值越大，排名就越靠前；

設(shè)“山,，”簾，冰花,，和“愛(ài)情婚姻”對(duì)應(yīng)的六觀測(cè)值分別為*k2r3已知％產(chǎn)0-516,e*31.962,請(qǐng)完成下面列聯(lián)

表，并從上述三個(gè)字中選出“愛(ài)情婚姻”類(lèi)別的關(guān)鍵字并排名.

屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)不屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)總計(jì)

含“花”字的篇數(shù)

不含“花”的篇數(shù)

總計(jì)

2

2n(ad-bc)

附：K=---------------------------------------,其中”=a+b+c+d?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P[K>k)0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

22.（10分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶

降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：有關(guān).如

果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；

（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為丫（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫(xiě)出y的

所有可能值，并估計(jì)y大于零的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,-4），所以廠=^32+（-4）2=5，則sina=_*cosa=|,

113

即sina+--------=—.故選O.

cosa15

2.A

【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)/(幻為奇函數(shù)，以及函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出.

【詳解】

首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷，可知，/0)=為偶函數(shù)，不符合題意，排除B：

x

其次，在剩下的3個(gè)選項(xiàng)對(duì)其在(0,也)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，f(x)=J在(0,+8)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，排除

X

2

D；然后，對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng)，進(jìn)行單調(diào)性判斷,/(%)=--工在(0,y)上單調(diào)遞減，不符合題意，排除C.

X

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題.

3.B

【解析】

根據(jù)共朝復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法，代入化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】

z在復(fù)平面為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則2=工+.,

z=X—yi*

,伸哈1，

112

代入可得Jd+9=x+l，

解得d=2x+l.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法及共枕復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

_2-3/_(2-3z)(l-Z)_-1-5/_15.

1+/=(1+/)(1-/)=2

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

由于l-g+g-T+g一中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，根據(jù)S=s+i可排除選項(xiàng)A、B；執(zhí)行第一次循環(huán)：S=O+1=1,

①若圖中空白框中填入鼻/二則，=-2,②若圖中空白框中填入，=空，則，=-2,此時(shí)〃>20不成立，〃=2；

執(zhí)行第二次循環(huán)：由①②均可得S=l-2，③若圖中空白框中填入仁"，則'=!，④若圖中空白框中填入

32?+15i+2

31I13

則i=',此時(shí)〃>20不成立，〃=3；執(zhí)行第三次循環(huán)：由③可得S=l-：+g,符合題意，由④可得S=l-2+1,

不符合題意，所以圖中空白框中應(yīng)填入，?=￡叱，故選C.

2/1+1

6.C

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為（xo，y0）,則yo=x°3,由于直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)X。處

的切線斜率，建立關(guān)于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

若直線與曲線切于點(diǎn)（x0,y0）（x0工0）,則k=比二|*|=x；+X。+1,

xo-1xo-1

?

又?,y=3x2,???y[x=Xo=3Xo2,，2XO2—XO-1=0,解得X0=1,x0=-\

???過(guò)點(diǎn)P（U）與曲線C:y=x'相切的直線方程為3x-y—2=。或3x—4y+l=0,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期丁，從而得到公，即可求出解析式，然后利

用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

/(x)=73sin69X+3cos69%=25/3sinIcox+—I,

3

?‘.7t7t

V-<sin(ox+—<1,即-2百424sinCDX+—<273,

I3J3

有且僅有-26x26=-12滿(mǎn)足條件;

_II7t71_

又N-WL=5,則5=?=>T=*

「.69=半=2,...函數(shù)/(力=26sin|2x+：,

用

對(duì)于A,f2^sin^=3,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由一個(gè)+2%乃工21+24個(gè)+2%乃(女￡2),

解得一苗+Z；”xwC+版■(ZwZ),故B錯(cuò)誤；

1212''

對(duì)于C,當(dāng)x=g時(shí),

故C錯(cuò)誤;

6

對(duì)于D,由/yj=2>/3sinf-^-4-yj=0,故D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共匏復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)?，然后求解復(fù)數(shù)的模.

詳解：z=T1T-iT+2i=哥高+2i

—i+2i=i，

則目=1,故選C.

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共

趣復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式

相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

9.A

【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù)，即可判斷①②③，再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.

【詳解】

由莖葉圖可得甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為四盧=81,乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為咨透=87.5，故①錯(cuò)誤；

^p=-x(72+76+80+82+86+90)=81,-x(69+78+87+88+92+96)=85，貝！1弓<耳，故②錯(cuò)誤,③正確；

66

顯然甲同學(xué)的成績(jī)更集中，即波動(dòng)性更小,所以方差更小，故④正確，

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征，考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).

10.D

【解析】

求出圓心O到直線/的距離為：d=\=^rt得出NAQ8=120°,根據(jù)條件得出。到直線4的距離1或⑺時(shí)滿(mǎn)足

條件，即可得出答案.

【詳解】

解：由已知可得：圓。：Y+9=4的圓心為(0,0),半徑為2,

則圓心O到直線/的距離為：d=l=L,

2

:.ZAO^=120°,

而〃％,二。48與&QMN的面積相等，

:.乙WON=120?；?0°,

即。到直線乙的距離#=1或G時(shí)滿(mǎn)足條件，

根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，①②④滿(mǎn)足條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.

11.B

【解析】

先分別判斷命題〃M真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

〃為真命題；命題夕是假命題，比如當(dāng)仇

或4=1,b=—2時(shí)，則">從不成立.

則〃八夕，(一>〃)△(―,(「〃)vq均為假.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

先確定集合M中元素，可得非空子集個(gè)數(shù).

【詳解】

由題意"={。」),(1,2),(2,1)},共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為23=8,非空子集有7個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有〃個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為2”,非空子集有2〃-1個(gè).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

利用流程圖，逐次進(jìn)行運(yùn)算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.

【詳解】

第一次：x=4,J=1L

第二次：x=5,y=32,

第三次：x=l,j=14,此時(shí)14>10xl+3,輸出x,故輸出x的值為1?

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的識(shí)別，“還原現(xiàn)場(chǎng)”是求解這類(lèi)問(wèn)題的良方，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

idV19-V7

14.

2

【解析】

求|c|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以A8為直徑的圓到點(diǎn)0的最小距離，由此即可得到本題答案.

【詳解】

如圖所示，設(shè)。A===

由題，得NAO8=殳,|a4|=2,|O8|=3,CA=a—d,C8=Z?—36g=2x3xcos60'=3,

3

又（d-e）?仍—e）=o,所以出_1.而，則點(diǎn)c在以AS為直徑的圓上，

取48的中點(diǎn)為M,則OM='（04+08）,

2

設(shè)以4〃為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E,則I。I的最小值是|0E\,

因?yàn)閨OM|=（OA+OB）?」J+204.OB+面=-x74+2x34-9=—,

V4222

7.AB=yj0A2+0B2-20A-OB-cos60°=J+9—2x2x3xg=8,

所以|c|的最小值是|OE|=OM—ME=OM—LA8=@9I^.

22

故答案為：叵比

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理，考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)

了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

15.（0當(dāng)

【解析】

由題意，0=也由=1,則,="？-從=1，得/（0,-1）.由題意可設(shè)/的方程為丫=丘一1,4（內(nèi)，凹）,8（私必），

聯(lián)立方程組［：：丘］1。八，消去），得（公+2）/一2丘-1=0,4>0恒成立，^=-^-9x,+^=-^-,貝IJ

2x"+y-2=0k+2k+2

191=皿+%2)[(M+七)2--回=2￡，J),點(diǎn)J。,。)到直線/的距離為"=[*，則

S/T曲人與宇二臺(tái)工，又即吉2尸高=2,則

，公+1

x/2y/2____]

當(dāng)且僅當(dāng)巧【=國(guó)場(chǎng)'即左=0時(shí)取等號(hào)?故AAO8面積的取值范圍是

VP+1

(0,與.

16.{1}

【解析】

先解不等式/一2x-3v0,再求交集的定義求解即可.

【詳解】

由題,因?yàn)槎∫?1一3<(),解得-1<%<3,即8={劃-1<工<3},

則AflS則,

故答案為:{1}

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查解一元二次不等式.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)p=2sing,^=—(pe/?).(2),[一崗=3

6

【解析】

(D先將曲線G的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可代入公式化為極坐標(biāo)；根據(jù)直線的直角坐標(biāo)方程，求得傾斜角,

即可得極坐標(biāo)方程.

(2)將直線/的極坐標(biāo)方程代入曲線G、G可得自,0，進(jìn)而代入可得|以一自|的值.

【詳解】

x=cose

(i)曲線c的參數(shù)方程為一?.八(。為參數(shù))，

y=l+sin6/

消去。得f+產(chǎn)一2尸0,

把V+y2=22,丁二。5皿。代入得「2一2$而。=0,

從而得G的極坐標(biāo)方程為夕=2sin夕，

???直線/的直角坐標(biāo)方程為)，二立九，其傾斜角為

36

???直線1的極坐標(biāo)方程為B=「pwR).

(2)將。=￡代入曲線G，。2的極坐標(biāo)方程分別得到

6

c.九'1人/兀乃\J

月=2sin—=1,p?=4si?n(—+y)=4,

則|4-同=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，極坐標(biāo)的幾何意義，屬于中檔題.

18.(1)當(dāng)，=10時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短為20、5千米；(2)5回(千米).

【解析】

(1)設(shè)切點(diǎn)2的坐標(biāo)為，，產(chǎn))a>o),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線/的方程為5-半二-竿a-。，根據(jù)兩

點(diǎn)間距離得出/+寫(xiě)竺/>0,構(gòu)造函數(shù)gQ)=4/+寫(xiě)”/>0,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值

和最值，即可得出結(jié)果；

(2)在A/$N中，由余弦定理得出8N=10痣，利用正弦定理———二—~^~—,求出NA8N二§,最后

sin乙BANsinZABN6

根據(jù)勾股定理即可求出MN的長(zhǎng)度.

【詳解】

(1)由題可知，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，半卜>。)，

一ICO,八、

又)'=一一^">°)，

x

則直線/的方程為》一竿=一竿(x-f),

(?ooA

由此得直線/與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：A(2r,0),B0,—,

i40000八%人、40000八

則miI\AlxBD\=J4r+—^—,t>0,故f(t)=J4r+——,r>0,

40000八、o2x40000

設(shè)g(f)=4/+7>0,E則g(,f/)=8,-----——

令g")=0,解得，=10.

當(dāng)f￡(0,10)時(shí)，g'Q)<0,g(/)是減函數(shù)；

當(dāng)fe(10,轉(zhuǎn))時(shí)，g'a)>0,g(。是增函數(shù).

所以當(dāng)，二10時(shí)，函數(shù)g(f)有極小值,也是最小值,

所以g")min=800，此時(shí)/(f)n，n=20V2.

故當(dāng)1=10時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為20夜千米.

(2)在AABN中,AN=\G叵,4BAN=%,

所以BN?=AB?+AN?-2AB?ANcos/BAN,

所以8N=10C，

根據(jù)正弦定理

BNAN

sinNBAN—sinZABN'

10V610>/2

sin軍411/ABN?

3

sin/ABN=1，

2

/.ZABN=-

6t

又/MBA=ZTT,

3

7T

所以4MBN=/MBA—4ABN=-.

2

在△M5N中，BM=155BN=1距,

由勾股定理可得MN?=BM?+BN?,

即MN，=(15-)2+(0面

解得，MN=5y[5\(千米).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際的最值問(wèn)題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的

實(shí)際應(yīng)用，還考查解題分析能力和計(jì)算能力.

(15-

19.(1)答案見(jiàn)解析(2)-co,--2In2

I8.

【解析】

ax—1

(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得/(幻=-----,對(duì)。分成和。>0兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

x

(2)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)得g'(x)=f一("+D"+1,從而有「+/+1，內(nèi)工2=1，9■，三個(gè)方程中利用

xX2

得到將不等式g(%)-g(毛)NZ的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于玉的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,

從而得到攵的取值范圍.

【詳解】

解：(1)由/(x)=ov—lnx-1,xe(0,+oo),

r,,，,、1ax-\

則f(%)=口—=----,

XX

當(dāng)a40時(shí)，Jl!l/(x)<o,故/(為在(0,內(nèi))上單調(diào)遞減；

當(dāng)4>0時(shí)，令/'(x)=0=>x='，

a

所以/*)在(0,})上單調(diào)遞減，在(J,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，/(幻在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)〃>0時(shí)，/(幻在I。,'］上單調(diào)遞減，在+8］上單調(diào)遞增.

\

(2)Vg(x)=lnx+—x~9~(a+\)x,

,1x2-(￡Z+1)X+1

g'(x)=—+x—(a+l)=------------,

XX

由g'(x)=o得f一(。+1)%+1=0,

：.x2=a+\tx］x7=1,；?w=一

1、5

x+——>—

x21

解得

???若???0<Xj<—2

X]

L2

A^(x1)-^(x2)=ln-+-(x1-X2)-(?+l)(^-x>)=21nx1

1。<丹

則“(%)=2_%_二=一卜J)<o,

XXX

(r

???〃(])在0,-上單調(diào)遞減；

當(dāng)王=:時(shí)，〃(幻min=〃(；)=?-21n2.

2\^)?

：.k<-^-2\n2f即所求A的取值范圍為—8,胃—21n2.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，求解雙元問(wèn)題的常用思路是：通過(guò)

換元或消元，將雙元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).

20.(1)JM?析；(2)S=2M+,+-w2+-n-2

zi22

【解析】

(1)由原式可得+=2〃%+2"+:等式兩端同時(shí)除以2向，可得到鋁凈=*+1,即可證明結(jié)論；

(2)由(D可求得螯的表達(dá)式,進(jìn)而可求得凡，a的表達(dá)式，然后求出｛2｝的前〃項(xiàng)和S”即可.

【詳解】

(1)證明:因?yàn)閝*=幽土竺:所以(〃+1以討=2〃%+2e,

〃+1

所以號(hào)?=磬+1，從而唳1-要=】，因?yàn)?=2,所以3=1,

故數(shù)列置是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知黃一1+(〃一1)一〃，則%-2”,因?yàn)?=4+%所以4-2"+〃,

則=4+A+么+...+=(2+1)+(2~+2)+(23+3)+…+(2"+〃)

232x12n+1

=(2+2+2+-+2")+(1+2+3+-+AZ)=(-J+=2+1/?+1n-2.

1-2222

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的證明，考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔

題.

21.(1)該唐詩(shī)屬于“山水田園”類(lèi)別的可能性最大，屬于“其他”類(lèi)別的可能性最?。粚儆凇吧剿飯@”類(lèi)別的概率約為

694

盥;屬于“其他”類(lèi)別的概率約為白(2)填表見(jiàn)解析；選擇“花％”簾”作為“愛(ài)情婚姻”類(lèi)別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?

271271

“簾”

【解析】

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率，