2024中考數(shù)學(xué)新定義及探究題 《圓與新定義》 （含解析）

《圓與新定義》中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題

2024中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題《圓與新定義》（學(xué)生版）

通用的解題思路:

①對于圓中角度之間的等量關(guān)系，主要是兩個方面：一是同弧或者等弧所對的圓周角相等，

同弧或者等弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，二是圓內(nèi)接四邊形中外角等于內(nèi)角的對角。

②對于求圓中的線段長度，主要從兩個方向著手，首先看是否可以用垂徑定理構(gòu)建直角三角

形，用勾股定理來求線段的長度；如果勾股定理行不通，則嘗試著去找相似三角形，用相似

三角形的對應(yīng)線段成比例來求線段的長度。

經(jīng)典例題

1.（長沙中考）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB#CD,則該四邊形“十字形填“是”或“不是”）

（2）如圖1,A,B,C,D是半徑為1的。0上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD

交于點E,ZADB-ZCDB=ZABD-ZCBD,當(dāng)6sAe2+BD2g7時，求OE的取值范圍；

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a>0,c<

0）與x軸交于A,C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標(biāo)

為（0,-ac）,記“十字形”ABCD的面積為S,記AAOB,ACOD,AAOD,ABOC的面積

分別為5,S2,S3,S4.求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式；

①屈=8+??；②冊小庖+陽；③“十字形"ABCD的周長為12M.

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2.(一中)定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到

該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,AABC中，點D是

BC邊上一點，連結(jié)AD,若4》=BDCD，則稱點D是AABC中BC邊上的“好點”.

(1)如圖2,AABC的頂點是4x3網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.

42

(2)AABC中，BC=9,tanB=y,tanC=§,點D是BC邊上的“好點”，求線段BD的長.

(3)如圖3,AABC是。的內(nèi)接三角形，OHLAB于點H,連結(jié)CH并延長交。于點D.

①求證：點H是ABCD中CD邊上的“好點”.

②若。的半徑為9,ZABD=90°,0H=6,請直接寫出要的值.

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3.(青竹湖)我們不妨定義：有兩邊之比為1：石的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”.

(1)下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；(填序號)

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30。角的直角三角形；④含120。角的等腰三角形.

(2)如圖1,A/BC是OO的內(nèi)接三角形，NC為直徑，。為A8上一點，且作

DELOA,交線段0/于點尸，交。。于點E,連接8E交/C于點G.試判斷和ANBE

是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出巖的值；如果不是，請說明理由；

BE

(3)如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)/尸：FG=2：3時，求/8即的余弦值.

圖1圖2

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4.(華益)約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原

三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角例如，如圖1，在N8C中，AD

為邊8C上的中線，△48。與48c相似，那么稱為關(guān)于邊8C的“華益美三角”.

(1)如圖2,在中，BC=42AB,求證：48c為關(guān)于邊8C的“華益美三角”；

(2)如圖3,已知/8C為關(guān)于邊8c的“華益美三角”，點。是邊8c的中點，以BD為

直徑的OO恰好經(jīng)過點A.

①求證：直線。與。相切；

②若。的直徑為2次，求線段的長；

(3)已知/3C為關(guān)于邊3C的“華益美三角"，BC=4,ZB=30°,求4BC的面積.

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5.(華益)約定：三角形的一條中線將三角形分成兩個小三角形，如果其中的一個小三角形

與原三角形相似，那么稱原三角形為“華益三角”，這條中線叫做原三角形的“華益中線”，這

條中線所在的邊叫做“華益邊”，原三角形與小三角形的相似比叫做“華益比”.

(1)如圖1,已知CD是邊上的中線，若/BCSZQ),那么就是“華益三角”,

中線CD是23c的“華益中線”，邊就是的“華益邊”.愛思考的你們一定能發(fā)現(xiàn)：

“華益三角”的“華益比”總是一個定值，以圖1為例，求出“華益比”；

⑵如圖2,已知在4BC中，AB=C,ZA=45o,AC=C+l，求證：4BC是“華益三角”；

(3)如圖3,已知48c是“華益三角”，邊AB是N3C的“華益邊”，N3C的外接圓。的半

徑是2.

①若//是一個銳角，求―的值；

S1IL4

②記AB=2x,BC=6y,若x=l,求了的值.

圖1圖2圖3

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6.(北雅)如圖1,0O的半徑為r若點P在射線O尸上，滿足Op.OP=/,則

稱點P'是點P關(guān)于0O的“反演點

(1)若點/關(guān)于。。的“反演點”是本身，那么點/與。。的位置關(guān)系為()

A.點/在。。內(nèi)B.點/在。。上C.點/在＜3。外

(2)如圖1,若。。的半徑為4,點P是點P關(guān)于。。的“反演點”，且尸P=6,過點尸的直

線與。。相切于點。，求P。長.

(3)如圖2,若。。的半徑為4,點。在0。上，點N在。。內(nèi)，且。4=2,點。、H分別

是點0、/關(guān)于。。的“反演點”，過點H作且HB=4O,連接2。'，Q'A',求

8。'+；。⑷的最小值.

圖1圖2

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7.（青竹湖）定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做“青竹

三角形如圖1,在A/BC和DE尸中，^ZA+ZE=ZB+ZD=90°,S.AB=DE,則A/BC

和DE戶是“青竹三角形”.

ABAC=ZACD=45°

（1）以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是「（填序號）

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形.

（2）如圖2,4ABC,ZACB=90°,/C=5C,點。是上任意一點（不與點A、3重

合），設(shè)40、BD、CD的長分別為a、b、c,請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含“、b

的式子來表示C?；

（3）如圖3,。。的半徑為4,四邊形48CD是。。的內(nèi)接四邊形，且A/BC和A4DC是“青

竹三角形

①求/斤+夕。?的值；

②若/BAC=/4CD,NABC=15°,求A/BC和△/￡＞（7的周長之差.

圖I圖2圖3

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8.(中雅)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點。在圖形N

上，稱線段PQ長度的最小值為圖形N的“雅近值”，記為N),特別地，若圖形

M,N有公共點，規(guī)定d(M,N)=0.

(1)如圖1,。。的半徑為2,

①點N(1,0),B(3,4),則dCA,。。)=,d(B,。。)=.

4

②已知直線/：y=§x+4與。。，求直線/與。。的雅近值d(/,0(9).

(2)如圖2,。為x軸正半軸上的一點，。。的半徑為1,直線y=ax+6(存0)與x軸交于點

D,與y軸交于點E.

①若a=-",b=—,線段。E與。C的“雅近值(?！?。。)＜；,請直接寫出圓

332

心C的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

②若b=2亞,圓心C的橫坐標(biāo)加=收，直線?！昱c。C的“雅近值”dOC)=0,

求a的取值范圍.

圖1圖2

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9.(廣益)婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)

的運算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們

把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”.

(1)若平行四邊形/BCD是“婆氏四邊形"，則四邊形是.(填序號)

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,Rt48c中，NB4c=90。,以48為弦的O。交ZC于。，交BC于E,連接

3

DE、AE、BD,AB=6,sinC=-,若四邊形/BED是“婆氏四邊形”，求的長.

(3)如圖2,四邊形/BCD為。。的內(nèi)接四邊形，連接NC,BD,OA,OB,OC,OD,已

知/BOC+180°.

①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；

②當(dāng)AD+BC=4時，求。。半徑的最小值.

B

圖1圖2

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10.(雅禮)圓內(nèi)各幾何要素之間存在一定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，這也是國內(nèi)外數(shù)學(xué)家感

興趣的研究對象，其中就有對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形.我們把這類對角線互相垂直的

圓內(nèi)接四邊形稱為“雅系四邊形

⑴若平行四邊形/BCD是“雅系四邊形”，則四邊形/3CD是(填序號)；

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于圓，P為圓內(nèi)一點，ZAPD=ZBPC=90°,且=

求證：四邊形/3C。為“雅系四邊形”；

(3)在(2)的條件下，BD=3,且AB=柩DC.

①當(dāng)DC=2雙時，求/C的長度；

②當(dāng)DC的長度最小時，請直接寫出tanZADP的值.

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11.(青竹湖)定義：有一組對角互補(bǔ)且一組鄰邊相等的四邊形叫做“完美四邊形”.

⑴如圖1,四邊形/BCD是O的內(nèi)接四邊形，且對角線3。平分四邊形

ABCD(填“是”或者“不是”)“完美四邊形"，若N4BC=9Q。,且40=2,則。的

直徑為二

(2)如圖2,四邊形48CD中，4c平分NBHD,CEJ.AB于E,AD+BE=AE.求證：四邊

形/BCD為“完美四邊形”；

(3)如圖3,在“完美四邊形”/BCD中，AB=AD,/C=8,ABAD=60°,對角線/C與AD

相交于點尸，設(shè)3C=JC,CP=y,求〉與x的函數(shù)關(guān)系式，并求十的最大值.

圖1圖2圖3

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12.(師大附中)若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60。，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗

四邊形”.

(1)①在“平行四邊形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有二

②若矩形48co是“美麗四邊形“，且/3=3,貝UBC=_；

(2)如圖1,“美麗四邊形”/BCD內(nèi)接于。。，/C與8。相交于點尸，且對角線/C為直徑，

AP=\,PC=5,求另一條對角線的長；

(3)如圖2,平面直角坐標(biāo)系中，已知“美麗四邊形”/BCD的四個頂點/(-3,0)、C(2,0),B

在第三象限，。在第一象限，AC與BD交于點、O,且四邊形4BCD的面積為156，若二次

函數(shù)了=。尤?+bx+c(。、b、c為常數(shù)，且。/0)的圖象同時經(jīng)過這四個頂點，求。的值.

圖1圖2

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通用的解題思路：

①對于圓中角度之間的等量關(guān)系，主要是兩個方面：一是同弧或者等弧所對的圓周角相等，

同弧或者等弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，二是圓內(nèi)接四邊形中外角等于內(nèi)角的對角。

②對于求圓中的線段長度，主要從兩個方向著手，首先看是否可以用垂徑定理構(gòu)建直角三角

形，用勾股定理來求線段的長度；如果勾股定理行不通，則嘗試著去找相似三角形，用相似

三角形的對應(yīng)線段成比例來求線段的長度。

經(jīng)典例題

1.（長沙中考）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB#CD,則該四邊形“十字形填“是”或“不是”）

（2）如圖1,A,B,C,D是半徑為1的。0上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD

交于點E,ZADB-ZCDB=ZABD-ZCBD,當(dāng)6sAe2+BD2g7時，求OE的取值范圍；

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a>0,c<

0）與x軸交于A,C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標(biāo)

為（0,-ac）,記“十字形”ABCD的面積為S,記AAOB,ACOD,AAOD,ABOC的面積

分別為5,S2,S3,S4.求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式；

①屈=8+病；②冊小庖+陽；③“十字形"ABCD的周長為12M.

【詳解】解：（1）①???菱形，正方形的對角線互相垂直，菱形，正方形是：“十字形”，

???平行四邊形，矩形的對角線不一定垂直，平行四邊形，矩形不是“十字形”，故答案為菱

形，正方形；

②如圖，

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AB=AD

當(dāng)CB=CD時，itAABC和AADC中，<CB=CD,.,.AABC^AADC(SSS),ZBAC=

AC=AC

ZDAC,VAB=AD,

/.AC±BD,.?.當(dāng)CB/2D時，四邊形ABCD不是“十字形”，故答案為不是；

(2)VZADB+ZCBD=ZABD+ZCDB,ZCBD=ZCAD,ZCDB=ZCAB,AZADB+Z

CAD=ZABD+ZCAB,

180°-ZAED=180°-ZAEB,ZAED=ZAEB=90°,AC_LBD,過點O作OM_LAC

于M,ON_LBD于N,連接OA,OD,

/.OA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=yAC,DN=yBD,四邊形OMEN

是矩形，

.\ON=ME,OE2=OM2+ME2,OE2=OM2+ON2=2--(AC2+BD2),'Z6<AC2+BD2<7,A2

4

73

--<OE2<2--，

4一一2

2

.\-<OE<v-AT<OE_<—；

4__22_2

(3)由題意得，A「一，,o),B(0,c),C(4+匚,o),D(0,-ac),Va>0,

2a2a

c<0,

：.OA='針,OB=-C,OC=?_JOD=-ac,AC=—,BD=-ac-c,

2a2aa

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；.S二AC?BD=-；(ac+c)x匚，Si=^OA?OB=-"+與,S=vOC?OD=-"?一二

2

22a24a24

S3=yOAxOD=-"+b),S4=lOBXOC=-"-6,?;而=相+庖，

2424a

艮店+后,

:,0),B(0,c),C(&,0),d(0,-c),...四邊形ABCD是菱形，；.4AD=12M,

.,.AD=3V10,即：AD2=90,VAD2=C2-c,.\c2-c=90,；.c=-9或c=10(舍)，即：y=x2

-9.

2.(一中)定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到

該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,AABC中，點D是

BC邊上一點，連結(jié)AD,若NO?=BD.CD,則稱點D是AABC中BC邊上的“好點”.

(1)如圖2,AABC的頂點是4x3網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.

4?

(2)AABC中，BC=9,tan8="tanC=§,點D是BC邊上的“好點”，求線段BD的長.

(3)如圖3,AABC是。的內(nèi)接三角形，OHLAB于點H,連結(jié)CH并延長交。于點D.

①求證：點H是ABCD中CD邊上的“好點”.

CH

②若。的半徑為9,ZABD=90°,OH=6,請直接寫出—的值.

【詳解】(1)如圖所示：D點及為AB邊上的“好點”

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42

（2）作AE_LBC于點E,由tan8=§,tanC=§可設(shè)AE=4x,貝UBE=3x,CE=6x,；.BC=9x=9,

??X=19

ABE=3,CE=6,AE=4,設(shè)DE=a,

①若點D在點E左側(cè)，

A

BDEC

由點D是BC邊上的“好點”知，AD2=BDCD,/.?2+42=（3-a）（6+a）,即2〃+3a-2=0,

解得％=—,a=-2（舍去），BD=3—a=3—=—.

2222

②若點D在點E右側(cè)，

由點D是BC邊上的“好點”知，4》=50.（20,Aa2+42=（3+a）（6-a）,即2a2-3a-2=0,

解得q=2,a2=-1（舍去），：.BD=3+a=3+2=5.：,BD=^5.

4HCH

（3）@VZCHA=ZBHD,ZACH=ZDBH,AAHC^ADHB,——=—,即

DHBH

AHBH=CHDH,

V0H±AB,.，.AH=BH,ABH2=CHDH,.?.點H是ABCD中CD邊上的“好點”.

②連接AD.

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（圖3）

VZABD=90°,；.AD為直徑，VOHXAB,0H=6,：.AH=>JoA2-OH2=375

BD=2OH=12,

；.BH=AH=3/，：.DH=4BD2+BH2=3A/H，由①得：BH2=CHDH,即

卜同一=CH3后,

”口_55.CH5

7DH21

3.（青竹湖）我們不妨定義：有兩邊之比為1：行的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是;（填序號）

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30。角的直角三角形；④含120。角的等腰三角形.

（2）如圖1,A/BC是。O的內(nèi)接三角形，/C為直徑，D為AB上一點,且作

DE1OA,交線段04于點尸，交。。于點E,連接AE■交/C于點G.試判斷△/￡￡）和ANBE

FD

是否是“勤業(yè)三角形，”如果是，請給出證明，并求出超的值；如果不是，請說明理由;

當(dāng)4F：FG=2：3時，求N2ED的余弦值.

【詳解】（1）解：①等邊三角形各邊的比值為1,故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形”;

②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1,直角邊與斜邊的比為1:血，故等腰直角三角形不

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是“勤業(yè)三角形”；

③設(shè)含30。角的直角三角形的最短邊長為°,則斜邊長為2°,另一條直角邊長為出°,

a:瓜=1忑,故含30。角的直角三角形是“勤業(yè)三角形”；

④如圖：Z8C中，AB=AC,ZA=120°,過點/作401BC于點。，

:.ZB=ZC=30°,設(shè)4D=a,貝U4B=NC=2a,BD=DC=,:.BC=26a,

AB:BC=AC:BC=1:忑

含120。角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形"；故答案為：③④;

(2)解：△NED和△/BE都是“勤業(yè)三角形"，證明如下：如圖：連接OE,設(shè)/4BE=a,

:.NAOE=2ZABE=2a,OA=OE,

.,.NCME=g(180o_N/OE)=；(180o_2a)=90O—a,

又DEVAC,:.ZAED+ZOAE=90°,BP+90°-a=90°,ZAED=ZABE=a

AEADDE

又ZEAD=ZBAE,:./\ADE/\AEB,AE-=AD-AB，

ABAE~EB

BD=2AD,

212ccAE1AD_1

AD=-AB,e=3W,???月

31r

DEAE1_V|

-，?△AED和^ABE都是“勤業(yè)二角形”,

EB-AB—C-3

(3)解：如圖：過點G作G/〃/8交DE于點/,

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GIIFGF3EGGIEI

:.AFGIsAFAD,/XEIGs^EDB,

ADDFAF2EBBDED

3

:.GI=-AD,

2

GI3EGGIEI3

BD=2AD9----=—一,設(shè)EG=3a,EB=4a,

BD4EBBDED4

由（2）知，必=",.-.￡￡）=—a,:.EI=-ED=43a,

BE334

4百r-百

DI=ED-El=-----a—yJ3a=—a,

33-

'-IF=lDI=2Ta,:.EF=EI+IF=43a+—a=—a,在瓦AEFG中,

55

FF

cosNFEG=——二5

EG3a5

即cosABED=

5

4.(華益)約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原

三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”.例如，如圖1，在N8C中，AD

為邊8C上的中線，△48。與4BC相似，那么稱/3C為關(guān)于邊8C的“華益美三角”.

⑴如圖2,在/BC中，BC=42AB,求證：48c為關(guān)于邊BC的“華益美三角”;

(2)如圖3,已知/8C為關(guān)于邊3c的“華益美三角”，點。是/3C邊8C的中點，以BD為

直徑的0O恰好經(jīng)過點A.

①求證：直線C4與。相切;

②若。的直徑為2次，求線段的長;

(4)已知為關(guān)于邊3C的“華益美三角"，BC=4,NB=30°,求/8C的面積.

D

圖1圖3

《圓與新定義》中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題

【詳解】（1）:AD為/8C的中線，：.8D=OC=x,即BC=2x,?:BC=54B，：，

AB==BC=鋁=岳

V2V2

竺_=&=2_BPxX\,ABBD寸..

---=---,乂.ZB=NB,?*△4BDs^\CBA；

'SC-^r-V2'ABV2'BCAB/

，4BC為關(guān)于邊3c的“華益美三角”;

（2）①證明：連接。4,如圖,

/.ACAD=NABC,又,：BD為。的直徑，.1

N4BC+ZADB=90°,

XVOA=OD,：.ZOAD=ZODA,：.ZOAD+ACAD=90°,OA1AC,又；04為O

的半徑,

C4為O的切線;

AQCD2

②二?由題意可知△，CZ）s/\5G4,BD=CD,：.------瞿=整，/.AC^BCXCD,

BCACBCAC

。的直徑為BD=CD=2^，BC=4在，；?AC7BCXCD=46,

ABAD

BC-AC?

ABAD「

??斯二訪’"招3AD'在RtAABD中,DB2=AB2+AD2

2

（2旬2=/爐+

解得：AB=4（負(fù)值舍去）;

（3）分類討論：當(dāng)△B4DSABC4時,過/點作NE_L3C于點E,如圖,

,/48c為關(guān)于邊8C的“華益美三角”,BC=4,ZB=30°,:.BD=CD=、BC=2,

2

△BADsMCA,

《圓與新定義》中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題

AD1.—

AB2^BCxBD^S,AB=26，,:N8=30。，AELBC,：.AE=-AB=y/2,

SABC=—xSCxAE—2V2；

當(dāng)△4CDS/\BC4時，過N點作“尸工8c于點尸，如圖，

48c為關(guān)于邊3c的“華益美三角"，BC=4,ZB=30°,：.BD=CD=-BC=2,

/lACD^ABCA,

——=—―?即/C?=BCxCD=8,AC=2^2>根據(jù)A4c￡)s△BO還有:

Cz±_7ACz

ADCD42

~AB~7C~~T7

r>1/T

AD=—AB,?.?N8=30°,AFIBC,：.AF=-AB,：.BF=ABcosZB=—AB,

222

h5

FD=BD-BF=2AB,AD=-AB,&AD2=AF2+FD2，，

22

\2

AB

2

[2){2}[7

:.AB=24土2,/尸=1,;?S=；xBCxAF=2出上2；

綜上：48c的面積為2百或20+2或2百-2.

5.(華益)約定：三角形的一條中線將三角形分成兩個小三角形，如果其中的一個小三角形

與原三角形相似，那么稱原三角形為“華益三角”，這條中線叫做原三角形的“華益中線”，這

條中線所在的邊叫做“華益邊”，原三角形與小三角形的相似比叫做“華益比”.

⑴如圖1,已知CD是N3C邊上的中線，若ABCsz。，那么N3C就是“華益三角”,

中線是N3C的“華益中線”，邊就是43C的“華益邊”.愛思考的你們一定能發(fā)現(xiàn):

“華益三角”的“華益比”總是一個定值，以圖1為例，求出“華益比”;

⑵如圖2,已知在48c中，AB=M,ZA=45O,AC=C+1，求證：4BC是“華益三角

(3)如圖3,已知48c是“華益三角”，邊45是N3C的“華益邊”，43C的外接圓。的半

徑是2.

①若//是一個銳角，求且:的值;

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②記AB=2x,BC=6y,若x=l,求了的值.

【詳解】(1)如圖,

圖1

,:AD為ABC的中線，：.BD=DC,設(shè)BD=DC=x,即8C=2x,設(shè)=:

ABCsACD

霹=當(dāng)，.?三十二2八涔.?萱也(負(fù)值舍去)，即“華益比，，為小

(2)解：如圖所示，過點3作ADL4C于點。，取BC的中點E,連接4E,

圖2

:AB=RZA=45O,AC=6+1，：.BD=AB-sinZBAD=l,則。C=NC-/。=g，

ZABE=ZCBA,

：.CBA^ABE,且相似比為應(yīng)，，48c是“華益三角”；

(3)解：如圖所示，連接。2,OC,過點。作。尸，8C于點尸，

圖3

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'''BC=BC>:.NCOB=2NA,XVOC=OB,CF±BC,：.2C0B=24FOB,BC=2,FB,

.FB\BC.BC

sinsinZFOS=———=-BC'''sirU-

0824

②如圖所示，取48的中點M,連接CM,過點C作CNL4B于點N,

圖3

,.1/BC是“華益三角”，邊AB是N3C的“華益邊”，/.AMCsACB,——=——=——,

AMMCAC

VAB=2x,BC=yl2y,x=1,則AM=1,=應(yīng)，MC=y,：sin/=±8C=注^

244

ACN=ACsinA=^-xV2jAMN=^MC2-CN2=^y2-^y2=^-y,則

MB=BM=MN=\--y,

2

2(h'(h'

在RtZXCA?中，CB2=CN2+NB2,，(岳J=\--y+—y

\2JI2J

解得：y=#一退或丫=一右一證（舍去）.

6.（北雅）如圖1,。。的半徑為r（，＞0）,若點P在射線O尸上，滿足。尸，。尸=/,則

稱點P'是點P關(guān)于。。的“反演點”.

⑴若點/關(guān)于。。的“反演點”是本身，那么點/與O。的位置關(guān)系為（）

A.點/在。。內(nèi)B.點/在。。上C.點/在。。外

⑵如圖1,若。。的半徑為4,點P是點P關(guān)于。。的“反演點”，且尸尸'=6,過點尸的直

線與。。相切于點。,求P。長.

（3）如圖2,若。。的半徑為4,點。在。。上，點/在。。內(nèi)，且。/=2,點。'、/分別

是點。、N關(guān)于。。的“反演點”，過點H作且H3=HO,連接2。'，Q'A',求

3。'+；。⑷的最小值.

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【詳解】（1）:點/關(guān)于。。的“反演點”是本身，，0/2=",二。/十，，點/在。。上,

故選：B；

（2）如圖：過P做尸。與。。相切于。，連接。。，；尸。與。。相切于。，?.OQLPQ,

OQ=尸=4,

由新定義可得：r2=OP'OP，：.16=OP\OP'+6）,：.OP'=2,在小。。尸中，

PQ=^OQ2-OP2=443;

(3)連接43,由題意可得：OQ2=OA'-OA,XVZAOQ=ZQ'OA',：.\AOQ-KQOA,

二條=M=\：.AQ=\AQ,^BQ'+^A'Q^BQ'+AQ'^AB,-：OQ2=OA'OA,

00=4,0A=2,

??OA'=8,AA'=OA'—OA—6,在中^4'=6，A'B=A'O=8,

7.（青竹湖）定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做“青竹

三角形如圖1,在△48C和OE廠中，^ZA+ZE=ZB+ZD=90°,S.AB=DE,貝！U/BC

《圓與新定義》中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題

和DE戶是“青竹三角形”.

ABAC=ZACD=45°

(1)以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是」(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形.

(2)如圖2,4ABC,乙4c3=90。，AC=BC,點。是上任意一點(不與點A、8重

合)，設(shè)40、BD、CD的長分別為0、b、c,請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a、b

的式子來表示,2；

(3)如圖3,。。的半徑為4,四邊形48CD是。O的內(nèi)接四邊形，且A42C和△4DC是“青

竹三角形”.

①求/斤+比？的值；

②若NBAC=NACD,NABC=75°,求A/BC和A4DC的周長之差.

圖I圖2圖3

【詳解】解：(1)矩形與正方形的每個內(nèi)角都為90。，它們的一條對角線可以將矩形、正

方形分成兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形，，②④符合題意，①

③不符合題意，故答案為：②④；

(2)RtNC8中，ZACB=90°,:.ZA+ZB=90°,ZACD+ZBCD=90°,AC=BC,:.^ACD

和△2CO是“青竹三角形”，過點。作。E，AC,DF1BC,

ZAED=ZDFB=ZACB=90°,，四邊形DFCE是矩形，N4=NB=45°,:NADE馬

2_a2+b2

CD2=CE2+DE2=DF2+DE2=——H—

22―-2-

(3)①連接。。并延長交。。于E,連接4E、CE,如圖:

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:△NBC和A/DC是“青竹三角形”，，//。+/笈4。=90。，；?！晔恰?。直徑，，NECD=90。,

：.ZACE+ZACD=90°,：.NBAC=NACE,又：AC=AC,：.ZAEC=ZABC,

ZAEC=ZCBA

在A/EC與ACB/中，\^CAB=ZACE：.AAEC^ACBACAAS),：.AE=BC,

AC=CA

.,.在RSE/D中，AD-+AE2=AD2+BC2=DE2=^-=M,：.AD2+BC264；

②；aABC和△/DC是“青竹三角形"，ZACD+ZBAC=90°,ABAC=NACD,

ABAC=ZACD=45°,

ZAED=ZACD=45°,:.ZADE=45°,AE=AD,QZABC=75°,四邊形/BCD是圓的

內(nèi)接四邊形，

:.ZADC=105°,ACAD=180-105°-45°=30°,ZCED=ACAD=30°,

RtCOE中，Z)C=-D￡1=-x4x2=4,￡'C=—￡>￡,=—X4X2=4V3，：A/BC和A/DC的

2222

周長之差=N3+8C-/O-CD,AE=BC,EC=BA,：.

AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC=473-4，

AABC和4ADC的周長之差為4G-4.

8.(中雅)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點尸在圖形M上，點0在圖形N

上，稱線段尸0長度的最小值為圖形M,N的“雅近值”，記為N),特別地，若圖形

M,N有公共點，規(guī)定d(M,N)=0.

(1)如圖1,。。的半徑為2,

①點/(1,0),B(3,4),則d(A,0O)=,d(B,0。)=.

_4

②已知直線/：y=§x+4與。。，求直線/與。。的雅近值d(/,0O).

(2)如圖2,C為x軸正半軸上的一點，。。的半徑為1,直線>=辦+6(存0)與x軸交于點

D,與y軸交于點￡.

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①若a=-也,b=巫,線段。￡與。C的“雅近值(OE,。0)<k請直接寫出圓

332

心C的橫坐標(biāo)加的取值范圍；

②若6=2血，圓心C的橫坐標(biāo)加=行，直線DE與。C的“雅近值”d(DE,OC)=0,

求。的取值范圍.

圖1

:。。的半徑為2,點N(1,0),：.d(A,OO)=2-1=1；'：B(3,4),.\OS=732+42

=5,

：.dCB,00)=5-2=3.故答案為：1,3.

4

②如圖1,過點。作OTJ_/于點「，設(shè)直線/：y=§x+4與x軸交于P,與y軸交于。，令y

=0,

4

則§x+4=0,解得：x=-3,.*.P(-3,0),令x=0,得y=4,.\Q(0,4),

在R3P。。中，OP=3,。。=4,NPOQ=90。,：.PQ=^OP2+OQ2=732+42=5,

?：^1-PQ.OT=-iOP-OQ,：.OT=OPDXC)Q=3<x4=『12"，(八/，OcOc)、=-12-2c=-2.

(2)①過點。作CMLOE于M如圖2,

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?.?直線y=-手與x軸交于點。，與y軸交于點(5,0),E(0,孚)，

snOE5A/^~/T

：.OD=5OE=—：.t^nZODE=—=k=—,：.ZODE=30°,

f3ODf3

〃)當(dāng)點。在點。左邊時，VC(m,0),：?OC=m,：.CD=5-m,:?CN=CD?stn/CDN

=(5-7")?sin30°=2-L〃？，?.?線段DE與。C的“雅近值”d(￡)E,OC)<v>

22222

<1+1,：.2<m<5,

b)當(dāng)點C與點。重合時，m=5.此時OC)=0.

c)當(dāng)點。在點。的右邊時，加>5.：線段。E與。C的“雅近值”?(?！?0C)<1,可

得加=5+1.5=6.5

：.5<m<6.5.綜上所述：2cm<6.5.

②如圖3,DM、￡>N與x軸交軸于?、E2,連接CD,過點C作CM_LD/于Af,CNLDE

在Rt^CDO中，C￡>=^OC2+OD2=7(V2)2+(2V2)2=JHL：直線DE與?C的“雅近值”d

(DE,OC)=0,直線DE與。。有公共點，當(dāng)直線與。。相切時，CM=CN=\,

《圓與新定義》中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題

設(shè)C?=x,貝!|。?=X+0，

VZCNE1=ZD0E1=90°,/CEiN=/DEQ,：.叢CEiNs4DEQ,：.*=卷,即^^

_x+y/2

二17F'

：.E]N==^x+2,在此△CLW中，DN=JcD-CN?=J（9了=3,

2124,

DM=DN=3,DEi=^x+2+3=^x+14,,:ACEiNsADEQ,：.必=四,即菱=

44CNOD1

V2x+14

4

2V2

解得：了=&，...CE/n夜，.?.?（28，0），將0（2亞，0）代入》=依+2血，得：2亞。+2應(yīng)

=0,

解得：0=-1,設(shè)OE2=m