2025優(yōu)化設(shè)計一輪課時規(guī)范練26　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

課時規(guī)范練26利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI20251234567891011121314151617基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+a,則f(x)的極值點個數(shù)為(

)A.不確定

B.0

C.1

D.2D解析

函數(shù)f(x)定義域為R,且f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以當(dāng)x>2或x<0時,f'(x)>0,當(dāng)0<x<2時,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)在x=0處取得極大值,在x=2處取得極小值,因此f(x)有2個極值點,故選D.1234567891011121314151617B解析

f'(x)=ln

x,令f'(x)=ln

x=0得x=1,當(dāng)x>1時,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x<1時,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則f(x)在x=1時取得極小值,也是最小值,故f(x)≥f(1)=-1,故選B.12345678910111213141516173.(2024·山東濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=ax++1在x=1處取得極值0,則a+b=(

)A.-1 B.0

C.1

D.2B12345678910111213141516174.(2024·山東青島模擬)函數(shù)f(x)=x3-3ax+a在(0,1)內(nèi)有最小值,則a的取值范圍是(

)A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(0,)B1234567891011121314151617B12345678910111213141516176.(2024·四川綿陽模擬)若函數(shù)f(x)=ax2-2lnx有且僅有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,0]

B.(0,+∞)C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)B因為f(x)有且僅有一個極值點,所以方程ax2-1=0有且僅有一個正根,所以a>0,故選B.12345678910111213141516177.(多選題)(2024·安徽宿州模擬)已知x=1為函數(shù)f(x)=x2-3x-logax的極值點,則(

)(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931)A.f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減B.f(x)的極小值為-2C.f(x)有最小值,無最大值D.f(x)有唯一的零點BD12345678910111213141516178.(2024·河北唐山模擬)已知x=1是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點,那么函數(shù)f(x)的極大值為

.

4解析

f'(x)=3x2-3a,因為x=1是函數(shù)的極小值點,所以f'(1)=3-3a=0,解得a=1,此時f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=-1或x=1,所以f(x)在x=-1處取極大值,f(-1)=-1+3+2=4.12345678910111213141516179.(2024·福建三明模擬)某圓錐的母線長為10cm,當(dāng)其體積最大時,圓錐的高為

cm.

1234567891011121314151617(1)若曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與y=g(x)也相切,求a的值;(2)若a=1,求函數(shù)y=f(x)+g(x)的最大值.12345678910111213141516171234567891011121314151617綜合提升練D123456789101112131415161712.(2024·福建泉州模擬)若函數(shù)f(x)=x2+ax+2lnx有兩個不同的極值點,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,-4)

B.(4,+∞)C.(-4,4)

D.(-∞,-4)∪(4,+∞)A123456789101112131415161713.(多選題)(2024·福建莆田模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)ex,則下列說法中正確的是(

)A.f(x)在R上有兩個極值點B.f(x)在x=-1處取得最小值C.f(x)在x=2處取得極小值D.函數(shù)f(x)在R上有三個不同的零點AC1234567891011121314151617解析

f(x)定義域為R,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex,∴當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(-1,2)時,f'(x)<0.∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,∴f(x)極大值為f(-1)=,極小值為f(2)=-e2,當(dāng)x<0時,x2-3x+1>0,ex>0,∴f(x)>0恒成立,可作出f(x)圖象(如圖所示).對于A,f(x)的極大值點為-1,極小值點為2,故選項A正確;對于B,f(-1)不是f(x)的最小值,故選項B錯誤;對于C,f(x)在x=2處取得極小值,故選項C正確;對于D,由圖象可知,f(x)有且僅有兩個不同的零點,故選項D錯誤,故選AC.1234567891011121314151617D123456789101112131415161715.(2024·河北承德聯(lián)考)函數(shù)f(x)=|x-1|+xlnx的最小值為

.

0解析

f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=|x-1|+xln

x=當(dāng)x≥1時,f'(x)=1+(ln

x+1)=ln

x+2>0,所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,最小值是f(1)=0.當(dāng)0<x<1時,f'(x)=-1+(ln

x+1)=ln

x<0,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.綜上所述,f(x)的最小值為0.123456789101112131415161716.(2024·浙江余姚模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-2x,g(x)=-x,且f(x1)=g(x2),則x1-x2的最小值為

.

1因為g(x)的值域以及f(x),g(x)的定義域均為R,所以x1的取值范圍是R,令h(x)=ex-x(x∈R),則h'(x)=ex-1,令ex-1=0,解得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(0)=1,故(x1-x2)min=1.1234567891011