2024年高考押題預(yù)測卷-數(shù)學(xué)（全國卷文科2）（全解全析）

2024年高考押題預(yù)測卷【全國卷02】

文科數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合4={引X2—X-2N0},3={X|y=lnx},貝!!(24)門3=()

A.0<%<11B.(x|0<%<2j

C.{尤|-1<》<2}D.{x|尤>2}

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳={xlX2-X-2>0]={X\X>2^X<-1},

則加4={R-l<x<2},又8={尤|y=Inx}={x|x>0},

所以(*A)cB={x[0<x<2}.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2滿足z(2-i)-i=2(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()

4444

A.—B.——C.—iD.——i

5555

【答案】A

【詳解】由z(2-i)-i=2可得2(2；[=唱,

2—1(2—i)(2+i)5

4

故虛部為不，

故選：A

x—y—2<0

3.若實(shí)數(shù)％,>滿足約束條件3x+y-220,則z=2x+3y的最小值為()

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

x-y—2<0

【詳解】由約束條件卜x+y-220作出可行域如圖,

x-2y>0

3%+y—2=0,；二\，則AO"

聯(lián)立…一2=0，解得

21

化目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y為y=_§x+,z.

21

由圖可知，當(dāng)直線尸一y+?過A時(shí)，直線在>軸上的截距最小,

貝!|z有最小值為2xl+3x(-l)=-l.

故選：C.

sin(a+￡)i/、

4-已知即畫=2,8sasin￡=%,則sin(a+0=()

ABc

-1-1-ID?-1

【答案】B

sin(a+尸)/、z

【詳解】由'i-----=2,可得sin(&+/?)=2sin(a-")=>3cosasin^=sinacos/?,

因?yàn)閏osasin分=',所以sinacos/=L

62

112

所以sin(a+尸)=sinacos(3+cosasinjS=—+—=—.

故選：B.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）

A,史C100n101

B.----C.—D.-----

99101101102

【答案】C

222

【詳解】當(dāng)S=0歡=1時(shí)，進(jìn)入第一次循環(huán)，得S=「；,％=3；進(jìn)入第二次循環(huán)，^S=-+--9k=5；

1x31x33x5

222222

進(jìn)入第三次循環(huán),得5=百+而+a，A=7；L'S=-----+------+------++—-一次=99；

1x33x55x797x99

22222

S=-----+------+------+H---------------1--------------,^=101,此;時(shí)因左=101>100,退出循環(huán)，輸出

1x33x55x797x9999x101

22222

S=-----+------+------++----------1------------

1x33x55x797x9999x101

-2222211111J___J_____1__]__1100

而5=——+-----+------+H---------------1--------------=1-----1-----------1-----------F++

1x33x55x797x9999x10133557979999101101101

故選：C.

6.某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國傳統(tǒng)文化知識(shí)考

試，并將這100名學(xué)生成績整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖（分成[40,50）,[50,60）,

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組）,下列結(jié)論中不正確的是（）

頻率

B.若從成績?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績?cè)冢?0,90)內(nèi)

的有3人

C.這100名學(xué)生成績的中位數(shù)約為65

D.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績約為68.2

【答案】C

【詳解】由(0.008*2+4+0.02x2+0.032)x10=1,得。=0。12,所以A正確;

這100名學(xué)生中成績?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］內(nèi)的頻率分別為0.2,0.12,0.08,所以采用分層抽樣抽

取的10名學(xué)生中成績?cè)冢?0,90)內(nèi)的有10*/=3人，故B正確；

根據(jù)頻率分布直方圖，可知這100名學(xué)生成績的中位數(shù)在(60,70)之間，設(shè)中位數(shù)為x,則

(x—60)x0.032=0.22,所以x=66.875,故C錯(cuò)誤；

根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得

元=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,D正確.

故選：C

7.若“=(_!_],b=ln且空,c=log，7強(qiáng)，則()

U2J202427

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【詳解】因?yàn)閏=log”W==log32>!log3>^='>0，.=△￥=卜[=^=>0,

336(⑵認(rèn)12J24A/3

因?yàn)間〉心〉。，

可知C>">0,

2023

又因?yàn)閎=ln、^vlnl=。，所以b<a<c.

故選：D

8.已知函數(shù)滿足〃x+3)=l-〃l-x),且函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，若/(1)=1,則

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2024)=()

A.0B.1012C.2024D.3036

【答案】B

【詳解】由題意函數(shù)/（X+1）為偶函數(shù)，所以/（X+1）=〃T+1）,“X）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

所以〃x+3）=l-〃l-x）=l-〃l+x）=l-[l-〃3-x）]=〃3-x）=〃x-l）,

所以函數(shù)〃x）的周期為4,在/（x+3）=l—/（l—x）中，分別令x=0和1,

得〃1）+八3）=1,/（0）+/（4）=1,即/（2）+/（4）=1,

所以〃1）+〃2）+*3）+〃4）=2,

所以/⑴+/（2）+L+/（2024）=506x2=1012.

故選：B.

9.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建

筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖1,它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐

P-ABCD,其中底面邊長和攢尖高的比值為若點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則異面直線PB與CE所成角的正

切值為（）

【答案】C

【詳解】解：如圖,連接2。，設(shè)。為80的中點(diǎn)，.

???異面直線尸3與CE所成角為NOEC或其補(bǔ)角.

連接OC,OP,

所以，在正四棱錐P—ABCD中，OP±OC,BD±OC,OPcBD=O,

.?.OC_L平面依

s.OC^OE,設(shè)==則由題意得3=JL,OB=OC=也〃，

h22

OE=-BP=-y/OB2+OP2=-

222

oc\[la2

??在R/OEC中，tanZOEC=—

UHj3'

2

故選：C.

10.已知點(diǎn)尸為直線4:機(jī)+6=0與直線4：2x+my-機(jī)-6=0(〃zeR)的交點(diǎn)，點(diǎn)。為圓

C:(x+3y+(y+3)2=8上的動(dòng)點(diǎn)，貝力尸。1的取值范圍為()

A.[2A/2,8A/2]B.(2魚,8近]C.卜區(qū)66D.(應(yīng),6形]

【答案】A

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為直線4：〃吠一2丁一%+6=0與直線4：2x+〃9一加一6=0的交點(diǎn)，

所以由2機(jī)+(-2)機(jī)=0可得乙,心且4過定點(diǎn)(1,3),'過定點(diǎn)(3,1),

所以點(diǎn)尸的軌跡是以點(diǎn)(L3)與點(diǎn)(3,1)為直徑端點(diǎn)的圓，圓心為(2,2),半徑一業(yè)-叱二-1)?=與

2

而圓。:(工+3)2+。+3)2=8的圓心為(一3,-3),半徑為R=2后，

所以兩個(gè)圓心的距離d="(2+3『+(2+3)2=5拒,S.d>r+R,所以兩圓相離，

所以IPQI的最大值為：d+r+E=80，IPQI的最小值為：d-r-R=2^2,

所以I尸。I的取值范圍是[20,80].

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，根據(jù)直線/垂直以及過定點(diǎn)得到點(diǎn)尸的軌跡是圓，從而得解.

11.設(shè)等比數(shù)列｛4｝中，%，%使函數(shù)〃x)=x3+3a3x2+a7X+d在尤=T時(shí)取得極值。，則的的值是()

A.±石或±3五B.6或3后C.±372D.372

【答案】D

,2

【詳解】由題意知：/(x)=3x+6o3x+a7,

f(-1)=-1+3a3-%+a；=0

/⑺在x=-l處取得極值0,

/'(―1)=3—6a3+%=0

4=：或a=2

解得:3

%=3%=9

當(dāng)%=1,%=3時(shí)，/'(尤)=3x。+6x+3=3(x+l)~W0,

\/(X)在R上單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)為=2,%=9時(shí)，(x)=3f+12x+9=3(x+l)(x+3),

.?.當(dāng)xe(—,—3)一(一1,+?)時(shí)，/^x)>0；當(dāng)xe(-3,-1)時(shí)，/(%)<0；

\/(x)在(—,-3),(-1,+0))上單調(diào)遞增，在(-3,-1)上單調(diào)遞減，

."=-1是/(力的極小值點(diǎn)，滿足題意；

aj=a3a7=18,又%與。3，％同號(hào)，:.%=3近.

故選：D.

12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為％=一1,A(-l,0),p,。為C上兩點(diǎn)，且AP=4AQ(X>1),

則下列選項(xiàng)簿誤的是()

A.OPOQ=5B.APAQ>8

C.若2=2,則|尸@=半D.若S&QO=4也，則|尸。|=16石

【答案】C

【詳解】由拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-L,可得-5=-1,解得p=2,

所以拋物線口y=4尤，

設(shè)直線PQ：x="-l,且P，

聯(lián)立方程組，整理得產(chǎn)-40+4=0,

貝UA=16/-16>0,解得/>1,且必+%=小，yry2=4,

由OPOQ=（"%）+%%=1+4=5,所以A正確；

16

由=+g+1+%為=6+門*>6+；y%=8,所以B正確;

當(dāng)4=2時(shí)，由AP=2AQ,可得弘=2y2,

則乂=2夜，力=血■或丹=-2亞,%=-忘，所以|尸。|=卑，所以C錯(cuò)誤；

由SPQO=|sPOA-S,20Al=+%/-4%.必=2A/產(chǎn)-1=4?,

解得r=±3,所以帆-為|=8忘,則|PQ|=&7再僅［-%|=16君,所以D正確.

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)/(x)=4e'f(O)x+2(尸(尤)是〃x)的導(dǎo)函數(shù))，則曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

為.

【答案】2x-y+6=0.

【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)尸(0,/(。))，因?yàn)?'(x)=4e"f(O),

令x=0,得"(O)=4e。-尸(0),

由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：k=f'(O)=2,

X/(O)=4e°-r(O)xO+2=6,所以尸(0,6),

故曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為：y—6=2(%-0),

整理得：2x-y+6=0.

故答案為：2x-y+6=0.

丫2V22

14.已知尸是雙曲線。：1-?=2（九＞0）上任意一點(diǎn)，若尸到C的兩條漸近線的距離之積為:，則C上的

點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為.

【答案】

22

【詳解】所求的雙曲線方程為亍q—O）,則漸近線方程為］±凡=0,

設(shè)點(diǎn)P（%幾），則今-0=4=考-2y；=82，

o4

點(diǎn)P到C的兩條浙近線的距離之積為1-I".=W-2=陰=2

3、33

7FTW

1丫2

解得：2=4,故雙曲線C方程為：—-/=1,

42-

故a=0,c=石，故雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c-a=石-0.

故答案為：A/3-A/2.

15.已知長方體A8CD-AgCR中，側(cè)面8CG4的面積為2,若在棱AD上存在一點(diǎn)/,使得，M3C為等

邊三角形，則四棱錐M-3CG及外接球表面積的最小值為.

【答案】還口

3

點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，設(shè)BC=x,則A8=^x,Cq=2,點(diǎn)N是BC的中

【詳解】如圖，由對(duì)稱性可知,

2x

點(diǎn),

由底面矩形BCG用的對(duì)角線的交點(diǎn)H作底面BCG4的垂線，過等邊三角形的中心G作平面AffiC的垂

線，兩條垂線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。是四棱錐外接球的球心,

笈=0笈=0才+折=片+小+且]3+與22、^7^="

22

124（x）3xV3尤23

當(dāng)卜2=±,即.%時(shí)，等號(hào)成立，則爐的最小值為友，

-3x3

所以四棱錐M-BCG4外接球表面積的最小值為正兀.

3

故答案為：越兀

3

16.若ABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為〃,6,c,tan匹叱-sin],”=缶，點(diǎn)。在邊5c上，且

cosC+smC

_ADB的面積為三叵，則8=.

2

【答案】3-73

cosC-sinCsinB_cosC-sinC

【詳解】因?yàn)閠anB=,所以

cosC+sinCcosBcosC+sinC

所以cosCcosB—sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC,所以cos（3+C）=sin（B+C）,

即—cosNMC=sinNBAC,所以tanNBAC=—l,

因?yàn)榈腃e（O,兀），所以ZBAC=Y，

因?yàn)槊骬二指

csinABAC

所以sinC=

a2

JrTT

又°<c<“所以c二'

TT

因?yàn)辄c(diǎn)。在邊5c上，AD=b,所以C=/AOC=7，

6

jTVT^JJI

因?yàn)閆ADC=N3+NBAD,ZB=71----------=—,所以NBAO=—,

461212

所以短）=8D=6,

所以SMM=，A?DB-sin/Ar?B=，b2xsin&=^^，得b=6-l,

△ADB2262

在A4DC中，ZDAC=--—=—,

4123

由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosZDAC=2b1-2b1、［一；］=3b。,

得CD=?=3-6

BDC

故答案為：3-6

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中

若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注

意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.陜西省從2022年秋季啟動(dòng)新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國統(tǒng)一高考科目的語文、數(shù)學(xué)、外語,

“1”為首選科目.要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學(xué)、

生物學(xué)4門科目中確定2門，共計(jì)產(chǎn)生12種組合.某班有學(xué)生50名，在選科時(shí)，首選科目選歷史和物理

的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:

歷史物理合計(jì)

男生12425

女生91625

合計(jì)104050

附：/其中n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)；

(2)從選擇物理類的40名學(xué)生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學(xué)成立學(xué)習(xí)小組，該小組設(shè)正、副組長各一

名，求正、副組長中至少有一名女同學(xué)的概率.

【詳解】(1)

將表中的數(shù)據(jù)帶入，得到

,n(ad-bc]250x(216-16)2八

7——、/'、/~~------r=——-------------=8>7.879.....................................................................3分

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)25x25x10x40

所以有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān).........................................5分

(2)

由題意知，抽取的5名同學(xué)中，男生有3名，設(shè)為A,B,C,女生2名，設(shè)為E,........6分

從這5名同學(xué)中選取2名同學(xué)擔(dān)任正副組長，所有的可能情況有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共計(jì)10種基本情況，且每種情況的發(fā)生是等

可能的，...............................................................................8分

其中至少有一名女生的情況有A。，AE,BD,BE,CD,CE,DE,共計(jì)有7種情況，...10分

7

所以尸(至少有一名女生)=—.........................................................12分

18.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,記S"是數(shù)列｛a.｝的前”項(xiàng)和，若S5=%+20,Sl5=a2a3as.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

4s1

Q)若d>0,b.=—數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為T“，求證：Tn<n+~.

aa

n'n+\2

【詳解】(1)由1=%+20,怎=5(4；-)=5a3,得5《=%+20,解得%=5,.............1分

由5]5=。2/4，幾=15("；=]5,,所以15a8=5。2a8，所以氏=0或。2=3,.............3分

當(dāng)〃8=。時(shí)d=~~—=—1,止匕時(shí)〃〃=q+(〃-3)d=8—〃；.................................4分

8—3

當(dāng)出=3時(shí)d=〃3一生=2,止匕時(shí)％=%+(〃-3)d=2〃-1；..................................5分

綜上可得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為=8-九或%=2〃-1；....................................6分

(2)因?yàn)閐>0,所以%=2〃-1,則S/1+2〃7)"=〃2,................................7分

22

4Sn4n4M-1+1

a」%=（2〃-1）⑶+1）=（2〃-1）（2w+1）

19.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABC。為菱形，/948=巳，側(cè)面SCO是邊長為4的正三角形，SA=2y/10.

s

(1)證明：平面SCO_L平面ABC。；

(2)求點(diǎn)A到平面SBC的距離.

【詳解】(1)證明：取C。中點(diǎn)區(qū)連接SE,AE,BE,1分

所以CE=2,ZBCD=j,ZABE=|,故BE=SE=26,.................................................................3分

y.AE2AB2+BE2-28,SA=2A/10,

所以SA2=AE2+SE2,故AE_LSE,4分

因?yàn)锳Eu平面ABCD,CDu平面ABC。，AEcCD=E,

所以SE_L平面ABC。，又因?yàn)镾Eu平面SCO,

所以平面SCD_L平面A8CD6分

(2)由(1)知SE_L平面ABC。，且5萬=2如,

在，ABC中，AB=BC=4,

所以SBC=gABxBCxsinNABC=gx4x4xsing=4有，

=|X5AABCX*S，￡=|X4V3X2A/3=8.................................................................................8分

在△SBC中，SC=BC=4,SBNSE^+BE。=2底,

所以SB邊上的高h(yuǎn)=小不一（廚=710,

所以打cjx2AM=2厲........................................................1。分

設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d,

則匕。=匕-誣，即35刀品'4=8,解得“=平，

所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為生叵.....................................................12分

5

22

20.已知橢圓C的方程會(huì)+齊=1(〃>6>0),右焦點(diǎn)為“1,0),且離心率為g

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A3是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過尸的直線/交C于O,E兩點(diǎn)(其中。點(diǎn)在x軸上方)，求力即與△AEF

的面積之比的取值范圍.

【詳解】(1)設(shè)橢圓焦距為2c,

1_________

由題意可得c=l,e=/r=5，;.a=2]=77^7=6，......................................3分

22

故橢圓方程為上+二=1.................................................................4分

43

(2)當(dāng)/斜率不存在時(shí)，易知^^^=衿曾=三*=；；......................................5分

SAEFIAFIa+c3

②當(dāng)/斜率存在時(shí),設(shè)/：x=?+l?w0）,。（芭，％）（%〉0）,石區(qū)，%）（%〈。），

x=ty+l

由y2，得（3〃+4）/+69—9=0,顯然△=36〃+36（3〃+4）>0，

—+—=1

143

-6/9

所以》+為=門'必%=一罰’.....................................................7分

1311

因?yàn)镾.=]IA用"%1=耳?（—%），SBDF=-\BF\-\yi\=--yl9

1

所以菱=4=44

..........................................................9分

36”

禺為（%+%）2（3/+4）24r44

,AJ十*2

所以<。,

又（M+%）2=4+23%+￡=乂|%]2,

10分

%%%%%y

設(shè)2=3則左<0,--<k+-+2<0,解得一3<Z<一!且左片一1,

%3%3

C1

綜上可得產(chǎn)的取值范圍為(R1).......................................................12分

?.AEF9

21.已知函數(shù)〃x）=lnx+x2-2辦,aeR,

（1）當(dāng)?！?時(shí)，討論“力的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)“X）有兩個(gè)極值點(diǎn)%,%2（不<%2），求2/（再）-/（%2）的最小值.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=lnx+x2—2雙,%>0,

所以尸(幻=)+2彳_24=2廠—24犬+1,.................................................................................................1分

XX

令g(%)=2/-2tzx+l,貝!JA=4〃-8=4(〃2—2)，

因?yàn)閍>0,

當(dāng)時(shí)，A<0,則g(%)20,BPAx)>0,

此時(shí)了(九)在(0,+8)上單調(diào)遞增，..........................................................3分

=

當(dāng)。時(shí)，A>0?由g(X)=°，得---3-~~~Z，且％3<%4，

當(dāng)0<%<%3或%>%4時(shí)，g(x)>0,Bpf\x)>0；

當(dāng)時(shí),g(九)<。,BPf\x)<0,

所以/⑴在（0,馬），（孫位）上單調(diào)遞增，在（七，乂）上單調(diào)遞減；............................5分

綜上，當(dāng)0<[4五時(shí)，/⑴在（0,+8）上單調(diào)遞增，

當(dāng)近時(shí)，，（龍）在（0,毛）,（岑y）上單調(diào)遞增，在（不，龍4）上單調(diào)遞減，

a—J/2Q+y—2

其中$=6分

2----，/2

（2）由（1）可知，%，%為了⑺的兩個(gè)極值點(diǎn)，且％3<%4,

所以玉=x3,x2=x4,且4馬是方程2%2一2分+1=0的兩不等正根,

此時(shí)?！迪?，x1+x2=a>0,xrx2

(亞、

所以玉￡0,2

r.￡-------,+00且有2axx=2x；+1,lax2=+1,......................8分

I2)I2J

則2/(%1)—/(%2)=2(in%+x：-2ax1)—(inx2+x；—2%)

=2(in尤]+尤；—2芍—1)—(lnx?+x；—2尤；—1)=—2x；+2In占—Inx,+x：—1

1,13,

+21n----lnx?-l=x"——-——lnx；-21n2-l................................10分

2X2--2-

令/=￥，則fe[g,+ooi3

,令g[)=/------In"21n2—1,

''It2

則/…

當(dāng)re時(shí)，g,(r)<0,則g⑺單調(diào)遞減,

當(dāng)，?L+8)時(shí)，g'⑺>0,則g⑺單調(diào)遞增,

所以g(%=g(l)=-寸，

所以2/($)-/(%)的最小值為一號(hào)吧.................................................12分

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.已知在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的

%=jfi+J3cosa

極坐標(biāo)方程為O=2sin0；在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),

y=，3sina

點(diǎn)A的極坐標(biāo)為［而,：］且點(diǎn)A在曲線C之上.

(1)求曲線G的普通方程以及曲線C?的極坐標(biāo)方程;

(2)已知直線/:x-gy=0與曲線G，Cz分別交于p,Q兩點(diǎn)，其中尸，。異于原點(diǎn)。，求△AP。的面積.

【詳解】⑴因?yàn)榍€G的極坐標(biāo)方程為。=2sin0,所以"=2psin。，

X-QCOS。

由y=/7sin0,得曲線G的直角坐標(biāo)方程為f+尸一2y=0；

y=%2+/

x=m+Jicosa

由曲線。2的參數(shù)方程為r,(。為參數(shù))，又cos2°+sin2a=1,

y=yj3sina

得+y2=3,...........................................................................2分

22

因?yàn)镻.9,所以(pcos。一根y+(psin8)2=3,gpp-ImpcosO+m=3,

即曲線C2的極坐標(biāo)方程為p2-Impcos0+m1=3.

又點(diǎn)在曲線G上，所以6-2y/3m+m2=3