2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)恒成立與有解問(wèn)題

專(zhuān)題18導(dǎo)數(shù)恒成立與有解問(wèn)題

一、【知識(shí)梳理】

【方法技巧】

1.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題的策略

(D分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

(2)恒成立0432f(x)max；

aS廣(X)恒成立OaW廣(x)min；

a^f{x)能成立=己2廣(x)min；

aWF(X)能成立f{x)max.

2.根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是對(duì)

參數(shù)分類(lèi)討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只

需找一個(gè)值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

3.含參不等式能成立問(wèn)題(有解問(wèn)題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題解決，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化有：

⑴必3X2^N,/*(Xl)>g(X2)=F(X)min>g(x)min.

⑵XfXlGM,弋X2WN,/(^1)>^(^2)min><g(^)max.

(3月矛1￡憶3X2GN,_f(xi)>g(E)Q_f(x)max>g(x)min.

⑷三荀￡憶YXzRN,f(^1)>g(X2)max>^(A)max.

4.在解決不等式恒(能)成立,求參數(shù)的取值范圍這一類(lèi)問(wèn)題時(shí),最常用的方法是分離參數(shù)法,

轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，但在求最值時(shí)如果出現(xiàn)“也'型的代數(shù)式，就設(shè)法求其最值.“也'型

的代數(shù)式，是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的有效方法就是利用洛必達(dá)法則.

洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件

(1)lim_f(x)=O及l(fā)img(x)=0；

x--ax-*-a

⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且H(x)W0；

一

(3)lim/〉那么lim:;=lim,}=A.

Lag(A)x-ag^X)x-ag(㈤

法則2若函數(shù)Ax)和g(x)滿足下列條件

(1)lim/*(分=8及l(fā)img{x}=00.

x-axfa

⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，Ax)與g(x)可導(dǎo)且g，(x)N0；

/\f'(x)F”/f'(x)

(3)lim/)、=/，那么lim：/(［A)=lini

x-ag(A)x-a雙切x-ag(切

二、【題型歸類(lèi)】

【題型一】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

【典例1】已知函數(shù)_f(x)=e"+&r-x.

⑴當(dāng)3=1時(shí)，討論Ax)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時(shí)，f{x}+1?求a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=l?時(shí)，f(x)=ex+x-x,x￡R,

ff(x)=e'+2x—1.

故當(dāng)x￡(—8,0)時(shí)，f'(A)<0；

當(dāng)(0,+8)時(shí)，f'(x)>0.

所以F(x)在(一8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

⑵由F(x)N1f+l得，

e'+af—xN^d+l,其中xNO,

①當(dāng)x=0時(shí)，不等式為121,顯然成立，此時(shí)adR.

②當(dāng)x>0時(shí)，分離參數(shù)a,

x131

e-x-]

得32—2，

x

x131

e~2X~x~]

記g(x)=-------2---------------，

x

(X-2)\Qx—^x—x—1\

g'(x)=_-----------3----------.

1

X

令爾x)2-1(x〉0),

則〃(x)=e"—x—4,令〃(x)=e*—x—1,

H'(x)=e"一l〉0,

故〃(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

因此"(x)>〃(0)=0,故函數(shù)爾x)在(0,+8)上遞增,

.,"(X)>爾0)=0,即e"1—，』一x—1〉0恒成立,

故當(dāng)xd(0,2)時(shí)，g'(x)>0,故￡)單調(diào)遞增;

當(dāng)xG(2,+8)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

7_e2

因此，g⑸max=g(2)="，

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【典例2］已知函數(shù)F(x)=l+ln*

X

(1)若函數(shù)F(x)在區(qū)間(a,a+J上存在極值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

k

⑵如果當(dāng)時(shí)，不等式F(x)一工20恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

x十1

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

,/、1—1—InxInx

f'(x)=-----2——二一^^，

XX

令f'(x)=0,得x=l.

當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，f'(x)V0,F(x)單調(diào)遞減.

所以x=l為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，

所以0<a<l<a+^,

故;<a<l,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1)

(2)原不等式可化為當(dāng)時(shí)，AW-(X+1)_(1+@X)恒成立,

(x+1)(1+lnx)

令g(x)=(xNl),

X

則g'(x)=

1+ln^+1+-x—(x+1)(1+lnx)

x.

xTnx

-X2?

再令力(x)=x—Inx(x21),

則3(A)=1--^0,

x

所以力(x)2/⑴=1,所以g'(x)>0,

所以g(x)為增函數(shù)，

所以g(x)2g⑴=2,

故72,即實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-8,2].

【典例3]已知函數(shù)f{x)=(x—2)e'—.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=F(x)在點(diǎn)(0,HO))處的切線方程；

(2)當(dāng)xN2時(shí)，_f(x)20恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)丁=0時(shí),f(x)=1-2)e*,

廣(0)=(0—2)e°=-2,

f'(x)=(x—l)e:k=f'(0)=(0—1)e°=—1,

所以切線方程為y+2=—(x—0),

即x+y+2=0.

(2)方法一當(dāng)xN2時(shí)，F(xiàn)(x)20恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，(x—2)e'-1ax2+zxN0恒成

立.

即住/一(x—2)e*在［2,+8)上恒成立.

當(dāng)x=2時(shí)，0?aWO,所以a￡R.

當(dāng)x>2時(shí)，~x~x>0f

所以aw(：—2)e'=紅恒成立.

12X

~X—X

設(shè)g(x)=旦，則g'(x)=2(x、l)e：

XX

因?yàn)閤>2,所以g'(x)〉0,

所以g(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)>g(2)=e)所以aWe)

綜上所述，a的取值范圍是(-8,1］.

方法二/(x)=(x—1)(e*一a),

①當(dāng)aWO時(shí)，因?yàn)閤》2,

所以x—1>0,e—a>0,所以f(x)>0,

則f(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

f(x)>f(2)=0成立.

②當(dāng)0<aWe。時(shí)，f'(x)20,

所以f(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)與f(2)=0成立.

③當(dāng)aAe?時(shí)，在區(qū)間(2,Ina)上，f'(jr)<0；

在區(qū)間(Ina,+8)上，f'(入)〉0,

所以/1(x)在(2,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，f(x)20不恒成立，不符

合題意.綜上所述，a的取值范圍是(一8,el.

【題型二】分類(lèi)討論法求參數(shù)范圍

【典例1】已知函數(shù)f(x)=lnx—ax,a￡R.

⑴求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式F(x)+dVO在(1,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)函數(shù)/"(X)的定義域?yàn)?0,+8),F(X)=:一a.

①當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)>0恒成立，

則f(x)只有單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8).

②當(dāng)己>0時(shí)，由/(x)>0,

得0<xV±

a

由「UX0,得x*；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間是g,+8).

(2)F(x)+aV0在(1,+8)上恒成立，即Inx—a(x—1)V0在(1,+8)上恒成立.

設(shè)g(x)=lnX—H(X—1),x>0,則g，(x)=：—2注意到g(l)=0,

①當(dāng)時(shí)，g'(入)<0在X￡(1,+8)上恒成立，

則g(x)在x￡(l,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)Vg⑴=0,即時(shí)滿足題意.

②當(dāng)OVwVl時(shí)，令H(入)>0,

得0VxV±

a

令g，(x)V0,得

a

則g(x)在(1,J上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，g(x)>g(l)=o,

即0<a<l時(shí)不滿足題意(舍去).

③當(dāng)aWO時(shí)，g'(x)=-a>0,

則g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe(l,+8)時(shí),g(x)>g(l)=0,

即aWO時(shí)不滿足題意(舍去).

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

【典例2］已知函數(shù)『(x)=(x+a—l)e",g{x)+ax,其中a為常數(shù).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若對(duì)任意的xe［0,+8),不等式f(x)Ng(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)閍=2,所以/U)=(x+l)e*,所以,(0)=1,

f'(x)=(x+2)e”,所以F(0)—2,

所以所求切線方程2x—y+l=0.

(2)令方(x)=f(x)一g(x),

由題意得力(x)min20在［0,+8)上恒成立，

因?yàn)榱?x)=(a~1)ex—~x—ax,

所以〃(x)=(x+a)(e、一1).

①若則當(dāng)x￡［0,+8)時(shí)，〃(工)20,所以函數(shù)力(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以力(X)min=^(O)~a—\,

則a-1^0,得心1.

②若乃<0,則當(dāng)［0,—己)時(shí)，h'(x)W0；

當(dāng)［—a+8)時(shí)，H(x)20,

所以函數(shù)力(x)在［0,一力上單調(diào)遞減，在［―a+8)上單調(diào)遞增，

所以力(X)min=/?(—d),

又因?yàn)榱?一a)V力(0)=a—ivo,所以不合題意.

綜上，實(shí)數(shù),的取值范圍為［1,+8).

【典例3】已知函數(shù)_f(x)=ae'T—lnx+lna.

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求曲線尸f(x)在點(diǎn)(1,F(l))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

⑵若F(x)21,求己的取值范圍.

【解析】f(x)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=ae*T—l

X

(1)當(dāng)a=e時(shí)，F(xiàn)(x)=e'—lnx+1,f'(1)=e—1,曲線y=F(x)在點(diǎn)(1,F(l))處的切線

方程為y~(e+1)=(e—l)(x—l),即y=(e—l)x+2.

直線尸(e—l)x+2在x軸，y軸上的截距分別為一:，2.

e—1

2

因此所求三角形的面積為一-

e—1

(2)當(dāng)0〈水1時(shí),f(D=a+ln水1.

當(dāng)a=l時(shí)，F(xiàn)(x)=e'f—Inx,f'(x)=e'f一士當(dāng)(0,1)時(shí)，f'(x)<0；

x

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，/(x)>0.所以當(dāng)x=l時(shí)，Ax)取得最小值，最小值為/U)=L從而

f{x)：B*1.

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)=aei—Inx+lna^e'-'—In

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

【題型三】等價(jià)轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍

【典例1】已知函數(shù)f(x)=ei一乃才+lnx(3￡R).

⑴若函數(shù)F(x)在x=l處的切線與直線3x—p=0平行，求a的值；

(2)若不等式_f(x)21nx—a+1對(duì)一切［1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)己的取值范圍.

【解析】(1)/(x)=e-—a+1，

：.f'⑴=2—a=3,

??3.—-1,

經(jīng)檢驗(yàn)a——\滿足題意，，己=一1,

(2)f(x)21nx—a+1可化為

e'f-ax+a—120,x>0,

令(P(^)=exi—ax~\~a~\,

則當(dāng)X￡［l,+8)時(shí)，0(X)min2O,

xl

■:仃(jr)=e~—a9

①當(dāng)aW：時(shí),O'(x)>0,

???0(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

0(X)min=0(1)=1一己+己一1=020恒成立，

??.HW，符合題意.

e

②當(dāng)於一時(shí)，令6,(x)=0,得x=lna+1.

e

當(dāng)(0,Ina+1)時(shí)，6’(T)<0,

當(dāng)x￡(lna+l,+8)時(shí)，〃(X)>0,

:.。(才)在(0,Ina+1)上單調(diào)遞減,

在(Ina+lf+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)In4+1W1,即時(shí)，O(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增,

0(X)min=0(1)=020恒成立，

.".-<5^1符合題意.

e

當(dāng)Ina+l〉L即a>l時(shí)，O(x)在［1,Ina+1)上單調(diào)遞減，在(Ina+L+8)上單調(diào)遞

增，

0(x)gn=0(Ina+1)<0(1)=0與0(x)>O矛盾.故a〉l不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,1],

【典例2】已知函數(shù)/'(x)=-ax'+lnx(aGR).

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在xG(l,+8),f(力〉一a,求a的取值范圍.

【解析】(1)函數(shù)F5)的定義域?yàn)?0,+°0),

/、11—2ax

f(x)=—2ax+~=z------

xx

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)>0,則/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a>0時(shí)，由/(x)=0,得x=-7=

72a

由下(x)〉0,

由f(x)<0,

于是有f(x)在OO|上單調(diào)遞減.

(2)由f{x)>—a,

得a(/一1)-111x<0,(1,+°°),

—Inx<0,jr2—1>0,

當(dāng)aWO時(shí)，<3(y—1)—InT<0,滿足題意;

當(dāng)時(shí),

令g(a)=笈(、-1)—Inx(x>l),

o—1

g'(x)=------->0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(l)=0,不符合題意,

X

當(dāng)0〈水；時(shí),

kg⑴=o,

則當(dāng)(Ka與時(shí)，ElxG(1,+°°),g(x)<0,

綜上，a的取值范圍為J,3

【典例3]已知函數(shù)廣(x)=3—(a+2)x+alnx,

⑴當(dāng)少2時(shí)，求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若存在x￡[l,+8),使/*(x)〈〃成立，求實(shí)數(shù)己的取值范圍.

,/、，/、/、、、a2x—(a+2)x+a(2x—a)(x—1)

【解析】(1),?3>0,F(x)=2x—(己+2)+-=--------——-——---------——

XXX

1,

當(dāng)f'(x)〉0時(shí)，0<x<l或x>~,

當(dāng)/(x)<0時(shí)，l<x1,

；"(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),已+8

單調(diào)遞減區(qū)間為(1,fl.

⑵?.?存在xG[1,+8)使f(x)<a成立oa>f(x)M

由(1)可得，①當(dāng)少2時(shí),

aa2a

aX)min=F4aIaln2〈石,

即ln1—^<2,

令方=*O(Z)=ln,

112--力

0/(1

----(X

t2-2t\

，0(力在(1,2)上單調(diào)遞增,在(2,+8)上單調(diào)遞減,

.1.0(%)max=。⑵=1112—1〈2恒成立，

即當(dāng)力2時(shí)，不等式恒成立；

i>"上單調(diào)遞減，在與

(另解：當(dāng)a>2時(shí)，/<x)在+8上單調(diào)遞增,

,卜/(1)=-1—a〈a.)

②當(dāng)aW2時(shí)，f(x)在xd[l,+8)上單調(diào)遞增,

F(x)min=f(l)=—a—l<a,a>-

綜合①②得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一f+8).

【題型四】雙變量的恒(能)成立問(wèn)題

>

【典例1】設(shè)/(x)=2+xlnx,g(x)=￡—才2一3.

x

(1)如果存在的，用￡[0,2],使得g(x1)一g(X2)2〃成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)可

⑵如果對(duì)于任意的s,崖;，2,都有/<s)2g(力成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)存在不，x2e[0,2],

使得g(xi)—g(x2)2〃成立，

等價(jià)于[g(Xl)—g(x2)]max》〃成立.

g'(x)=3x—2x=x(3x—2),

2

令g'(㈤=0,得x=0或x=~f

_85

?々3廠27，

又g(o)=-3,又2)=1,

???當(dāng)[0,2]時(shí)，g(x)max=g(2)=1,

?,?滿足條件的最大整數(shù)〃為4.

1

2

⑵對(duì)任意的s,te2一有f(s)2g(力,

則HOmin2g(X)max.

由(1)知當(dāng)XG2時(shí)，g(X)max=g(2)=1,

-1

2

當(dāng)2-時(shí),f(x)=；+xln61恒成立,

」

即a^x—xlnx恒成立.

令力(x)=x~xlnx,x^\―,2

:?h'(x)=1—2xlnx-x,

令0(x)=l—2xlnx—x,

O'(x)=-3—21nx<0,

-1

-2

3(x)在上單調(diào)遞減,

?

」2

又〃⑴=0,

1

-

當(dāng)2時(shí)，h'(x)20,

當(dāng)[1,2]時(shí)，h'(x)WO,

1

-

：?h(x)在2上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減,

???力(X)max=/?⑴=1,

故心1.

J實(shí)數(shù)N的取值范圍是［1，+8).

【典例2］已知函數(shù)f(x)="-l)(xeR),a為正實(shí)數(shù).

e

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Vz,不等式"(荀)一代加1〈1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?~(x)=&')-D(XGR),

e

所以/5)=上口

(xdR),

e

因?yàn)閍>0,所以令/''(x)〉0,得0〈水3；

令，(x)<0,得木0或x>3.

所以/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(3,+8).

(2)由⑴知第￡)在(0,3)上單調(diào)遞增,在(3,4)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在［0,4］上的最大值是A3)=、.

e

又/(0)=—水0,/(4)=115e-4>0,

所以F(0)〈f(4),

所以F(x)在［0,4］上的最小值為r(0)=-a

若Vxi,x2^［0,4］,不等式|—/1(入2)］<1恒成立，

則需/1(X)max—F(X)min〈l在［0,4］上恒成立，即廣(3)—/(0)<1,

5閂P3

即F+水1,解得13.

e5十e

Q3

又a>0,所以0<a<—,—3.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,

【典例3】設(shè)f{x)=xe,g(x)=^x+x.

⑴令b(x)=f(x)+g(x),求方(x)的最小值；

⑵若任意xi,劉￡[-1,+°°),且矛1>如有血_f(xi)—_f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實(shí)

數(shù)"的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)槭?x)=f(x)+g(x)

=xex+^x+x,

所以#(x)=(x+l)(e'+l),

令尸(x)〉0,解得x>—1,

令"(x)<0,解得；K-l,

所以6x)在(一8,—1)上單調(diào)遞減，

在(-1,十8)上單調(diào)遞增，

11

---

故1)=2e

⑵因?yàn)槿嗡济?,彭￡[—L+8),且為>如

有力"(小)一f(>2)]>g51)—g(x2)恒成立，

所以mf(xi)—g(Xi)>mf(X2)—g(X2)恒成立，

令力(x)=MTx)—g(x)=%的'一；才2—x,xEi[—1,+°°),即只需力(x)在[―1,+8)上單調(diào)

遞增即可.

故力/(x)=(x+1)(混一1)20在[-1,+8)上恒成立，故加2上而士1We,故w2e,

ee

即實(shí)數(shù)力的取值范圍是[e,+8).

【題型五】洛必達(dá)法則

【典例1】已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+l).若對(duì)任意x>0都有_f(x)>ax成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

【解析】方法一令。(x)=F(x)—ax=(x+1)ln(x+l)—ax(x>0),

則O/(x)=ln(x+l)+1一2，

VJT>0,.\lnU+l)>0.

⑴當(dāng)1一己2。即aWl時(shí)，O'(T)>0,

???0(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又0(0)=0,

???0(才)>0恒成立，故HWI滿足題意.

(2)當(dāng)1—水0,即〃>1時(shí)，令O'(x)=0,Wx=ea~]—l,

：.x^(0,/T—l)時(shí)，6,(x)<0；

(ea-1—1,+8)時(shí)，0,(x)>0,

???0(x)在(0,e—-1)上單調(diào)遞減，在(/T—1,+8)上單調(diào)遞增，

,0(X)min=?！?)<0(0)=0與0(X)>0恒成立矛盾，故@>1不滿足題意.

綜上有wWl,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,1].

方法二(0,+8)時(shí)，(x+1)ln(x+l)>ax恒成立，

即a〈(x+l)?(x+D恒成立.

令g(x)=(x+D;x+l)(x〉。),

(x)=I*+D

令k{x)=x—ln(jr+l)(jr>0),

，A(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

?，?A(x)〉A(chǔ)(0)=0,

x—ln(^r+l)>0恒成立，

???/(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法貝！J知limg(x)=lim^-^=lim[ln(^+l)+1]=1,

0x-,-OX^-*0

???aWl,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,1].

【典例2】已知函數(shù)f(x)=x(e"—l)—af(a￡R).

(1)若Ax)在x=—1處有極值，求a的值.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)20,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴/(x)=e-1+xe'—2ax

=(x+1)Q—lax—X,

依題意知f'(―1)=28一1=0,「,石=；?

(2)方法一當(dāng)x>0時(shí),f(x)20,

即x(e"—1)—ax^O,

即ex—\—ax^Q,

令O(x)=e"—l—ax(x>0),貝！J0(x)min2O,

6,(A)=ex—a.

①當(dāng)aWl時(shí)，O'(x)=e"—GO,

:.0(才)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

O(x)>。(0)=0,

???aWl滿足條件.

②當(dāng)打>1.時(shí)，若0〈x〈lna,則6,(x)<0,

若x>ln2則0，(x)>0.

，。(才)在(0,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增,

O(x)min=0(lna)=a—1—alna20.

令g(a)=a—1—alna(a>l),

:?g，(a)=1—(1+lna)=—Ina<0,

???g(a)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

Jg?<g⑴=0與g{a)20矛盾，

故。>1不滿足條件，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,1].

方法二當(dāng)x>0時(shí),f{x}20,

即x(e'—l)~ax^0,

即e"—1—HX20,

即

X1

P—I

即aW——恒成立，

x

X1

P—I

令力(X)=-------(￡>0),

X

.h,7xeV-l)+l

??n\X)—2,

x

令k{x)=e*(x—1)+1(x>0),

.\k'(x)=e'?x>0,

.,.A(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,.??A(x)〉A(chǔ)(0)=0,

:?H(T)>0,

??"(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

QX--1

由洛必達(dá)法則知，lim為(x)=lim-------=lime'=l,

x—0X-0XA--0

，aWl.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,1].

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

1

【訓(xùn)練一】已知為函數(shù)f(x)=x'lnX的極值點(diǎn).

(1)求a的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)二，若對(duì)VxP(O'+8),皿GR,使得廣⑸-久加川，求發(fā)的取值范

圍.

【解析】⑴/(x)=axFx+x一

=y-1(alnx+1),

卜1=0，解得a=2,

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x(21nx+1),函數(shù)F(x)在［。，福)上單調(diào)遞減,

+°°上單

調(diào)遞增,

1

所以X：為函數(shù)F(x)=x"nX的極小值點(diǎn)，因此a=2.

(2)由(1)知/1(x)min={/=—函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)=4(1一x)e-“.

①當(dāng)k>0時(shí)，

當(dāng)xVl時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)M>1時(shí)，g'(x)V0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

對(duì)Vxi@(0,+8),三上2=—"，使得g(x2)=g—e；V—IV—(Wxi),符合題意.

②當(dāng)4=0時(shí)，g(x)=0,對(duì)有f(x)—g(x2)<0,不符合題意.

③當(dāng)aV0時(shí),

當(dāng)xVl時(shí)，g'(x)V0,g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

k

g(X)min=g(D=一,

e

若對(duì)"不￡(0,+°°),3A2^R,使得—g(就20,只需gJLnWAx)

解得kW—1.

綜上所述，A￡(—8,—1U(0,+°°).

【訓(xùn)練二】已知函數(shù)『x)=b-x.

⑴若曲線P=F(x)在點(diǎn)(0,MO))處切線的斜率為1,求/U)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若不等式廣(x)2ea，lnx-對(duì)x￡(0,e］恒成立，求女的取值范圍.

【解析】⑴/(x)=ab—1,則/(O)=a—1=L即片2.

:?f(x)=2e2%—1,令/(x)=0,得x=一42.

當(dāng)求一」產(chǎn)時(shí)，f'(x)<0；

當(dāng)x>-12時(shí),f'(分>0.

故F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,一野，單調(diào)遞增區(qū)間為(一野，+8)

⑵由f{x}2e"lnjr-ax,xR(0,e］,

即a/—x》e''(lnx—1),有生^

ex

故僅需■,：―121nx—1即可.

ex

設(shè)函數(shù)g(x)，；T,

則Ine：―等價(jià)于巧》.

ex

,/、2—Inx

?"(x)=-j—,

???當(dāng)x￡(0,e］時(shí)，g，(x)>0,則g(x)在(0,e］上單調(diào)遞增,

:.當(dāng)三￡(0,e］時(shí),g(e邙2g(x)等價(jià)于

即恒成立.

X

1nx

設(shè)函數(shù)爾x)=——，xe(0,e］,

X

11r>v11

貝！J力，(x)=-----2—三0,即力(x)在(0,e］上單調(diào)遞增，???力(x)max=/?(e)=—，貝!1石2-即可,

xee

，a的取值范圍為：，+8).

1——a

【訓(xùn)練三】設(shè)函數(shù)F(x)=—Jf+ax—lnjr(aeR).

⑴當(dāng)石=1時(shí)，求函數(shù)F(x)的極值；

a—1

(2)若對(duì)任意石￡(4,5)及任意xi,上2仁［1,2］,恒有一不加+ln2>"(XI)—_f(x2)|成立，求實(shí)

數(shù)必的取值范圍.

【解析】(1)由題意知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)?0,+8).

x-］

當(dāng)a=l時(shí)，_f(x)=x—lnx,f'(x)=l-—=----，

xx

當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增，

???函數(shù)f(x)的極小值為f(l)=l,無(wú)極大值.

⑵由題意知f'(x)=a)x+a—~

x

(1(x-￡}1)

=，

X

當(dāng)(4,5)時(shí)，1—a<—3,OvJj；,

所以在區(qū)間［1,2］上，ff(x)W0,則/*(x)單調(diào)遞減，Hl)是Ax)的最大值，"2)是/'(x)的

最小值.

OQ

IF(xi)—f(x2)|W_f(l)—廣(2)~+ln2.

a—

???對(duì)任意(4,5)及任意xi,[1,2],恒有一屋z+ln2>|/1(荀)一代生)|成立,

a—1,a.3,/0a—3

.?.『z+ln2>---+ln2,得勿>R

.a—3221

Vae(4,5),

：?信①,故實(shí)數(shù)7的取值范圍是

Ip

【訓(xùn)練四】設(shè)函數(shù)f(x)=——二，g(x)=a(f—D—Inx(aGR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

xe

⑴證明：當(dāng)x>l時(shí)，廣(入)>0；

⑵討論g(x)的單調(diào)性；

⑶若不等式f(x)<g(x)對(duì)x￡(l,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)證明：/<x)=Jr-,

xe

令令x)=ex~i~x,則sf(x)=e"T—l,

當(dāng)x〉l時(shí)，s，(x)>0,所以s(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，又s(l)=0,所以s(x)>0,

從而當(dāng)x>l時(shí)，f{x)>0.

/、，/、12加一1,、

(2)g(父=2ax-=------(￡>0),

xx

當(dāng)aWO時(shí)，gf(x)<0,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

當(dāng).3>0時(shí)，由W(x)=0得x=J第

g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

+8時(shí)，H(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增.

(3)由(1)知,當(dāng)x>l時(shí)，f{x}>0.

當(dāng)HWO,X>1時(shí),g(x)=a(f—1)—In水0,

故當(dāng)f(x)〈g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立時(shí)，必有-0.

1」1

當(dāng)tz°〈水5時(shí)，市>1，

g(x)在[，出上單調(diào)遞減,

<g⑴=0,而，所以此時(shí)〃x)〈g(x)在區(qū)間

(1,+8)內(nèi)不恒成立.

當(dāng)時(shí)，令力(x)=g(x)—f(x)(x21),

當(dāng)X>1時(shí)，〃(x)=2ax—工+二一e->x—2+二一

XXXXXXX

因此，力(X)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,

又又1)=0,

所以當(dāng)x>l時(shí)，力(x)=g(x)—F(x)>0,

即f(x)<g(x)恒成乂.

綜上，a的取值范圍為

【訓(xùn)練五】F(x)=xe\g(x)=~x+x.

(1)令分(x)=F(x)+g(x),求C(x)的最小值；

⑵若任意xi,劉￡[-1,+°°),且為>如有力"(矛1)—_f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實(shí)

數(shù)力的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?(x)=F(x)+g(x)=xe、+；V+x,

所以#(x)=(x+l)(e'+l),

令F(x)>0,解得入>一1,

令尸(x)<0,解得水一1,

所以分(x)在(一8,—1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增.

故尸(入)?^=尸(一1)=一<一±

2e

(2)因?yàn)槿我獠?，X2￡[—1,+°°),且矛1>如有而"(荀)一_f(x2)]>g(xi)—g(*2)恒成立，

所以mf(xi')—gkx、〉mf(x。一儀加恒成立.

h{x}=mf^x)-g{x)=mxQ—~x—x,[—L+°°),

即只需證爾X)在[-1,+8)上單調(diào)遞增即可.

故力'(x)=(x+1)(廢"一1)20在[―1,+8)上恒成立，

故必三二，而且We,故必2e,

ee

即實(shí)數(shù)力的取值范圍是[e,+8).

【訓(xùn)練六】f^X)=XQX,g{x)+x.

⑴令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意Xi,至￡[-1,+8),且荀>如有加f(xi)—f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實(shí)

數(shù)力的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)榫W(wǎng)X)=f(x)+g(x)=xe'+(x2+x,

所以/(x)=(x+L)(e*+l),

令尸(x)〉0,解得x〉一l,

令尸'(x)<0,解得x〈一1,

所以6x)在(-8,—1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增.

故F(x)min=F(-1)=—.一’.

2e

⑵因?yàn)槿我鈞i,X2^[―L+°°),且汨>如

有力[F(X1)一廣(入2)]>g(xi)—gG)恒成立，

所以"(xi)—g(xj一點(diǎn)加恒成立.

h^x)=mf{x}~g{x)=mxex—^x—x,[—1,+°°),

即只需證力(x)在[—1,+8)上單調(diào)遞增即可.

故H(x)=(x+1)(雁”-1)20在[―1,+8)上恒成立，

故必22，

e

而二We,故勿2e,

e

即實(shí)數(shù)力的取值范圍是[e,+°°).

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【解答題】

1.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+l).若對(duì)任意x>0都有f(x)>ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

【解析】法一令0(x)=f(x)—ax

=(x+1)ln(x+l)—ax(x>0),

則O'(x)=ln(x+l)+1—a,

,：x>0,.?」n(x+l)>0.

(1)當(dāng)1—a20,即aWl時(shí)，O'(x)>0,

...0(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又。(0)=0,

。(x)>0恒成立，故aWl滿足題意.

(2)當(dāng)l-a<0,即a>l時(shí)，

令O'(x)=0,得*=尸|—1,

，xe(0,e'T-1)時(shí)，O'(x)<0；

xG(e"T—1,+8)時(shí),<p'(x)>0,

.??0(x)在(0,ei—1)上單調(diào)遞減，在(e"T—1,+8)上單調(diào)遞增，

，0(x)Hin=0(e"T-1)<。(0)=0與0(x)>O恒成立矛盾，故a>l不滿足題意.

綜上有aWl,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,1].

法二xC(0,+8)時(shí)，(x+1)ln(x+l)>ax恒成立，

(x+1)In(x+1)

即a<,恒成立.

x

./、(x+1)In(x+1)/八、

令g(x)=-------------；-------------(X>。)，

x—In(x+D

()2

???/XX

令/(x)=x—ln(x+l)(x>0),

,/、1X

:"kw=1-^+T=I+T>0,

；.A(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

，A(x)>A(0)=0,

ln(x+l)>0恒成立,

：.g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則知

但g(x)=七5m(x+i)

x

=r，［ln(x+l)+1］=1,

???aWl,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,1］.

2.設(shè)函數(shù)f{x}=ax—xYx\x—(2己-1)^+乃一1(a￡R).若對(duì)任意的［1,+°°),f{x}20

恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解析】f'(x)=2ax—1—Inx—(2a—1)

=2a(x—1)—Inx,

令g(x)=f(x)=2a(x—1)—Inx,

…，/、12ax-1

則g(x)=2a-—=---------,

XX

令H(X)=0,得x=；,

①若aWO,貝UH(x)<0,

則F(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，

：.f'(x)Wf，(1)=0.

；?f(x)在［L+°°)上單調(diào)遞減，

f{x)^/(D=0,不滿足題意.

②若則;Wl,

2La

當(dāng)xd(o,g時(shí)，g'(x)<o,

當(dāng)xe七，+8)時(shí)，g'(x)>0,

：.f'(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

：.f(x)2F⑴=0,，f(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

.?"(x)》fa)=o,滿足題意.

③若0VEV1，則;>1,當(dāng)L白I時(shí)，g'(x)vo,

22aL乙a)

當(dāng)丫金島，+8)時(shí)，g'(x)>0,

：.f'(X)在(I，力上單調(diào)遞減，

在七，+8)上單調(diào)遞增，

又f(1)=0,.?.當(dāng)xG(l,時(shí)，f(x)<0,

.?"(x)單調(diào)遞減，.."(x)<AD=0.不滿足題意.

綜上，3的取值范圍為

3.已知f{x)=alnx+x~^x,g(x)=(a—2)x,若存在照￡e,使得f(x。Wg(Ab)

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】由F(xo)Wg(xo),

得(照一In照)22器一2照，

記/(x)=x—Inx(x>0),

則尸，(x)=3(x>0),

X

...當(dāng)0<x<l時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,b(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,戶(hù)(x)單調(diào)遞增.

...尸(*)>尸(D=l>o,

、/一2劉

??a?z.

Ao-InXQ

x-2x「1

記G\x)—q，一，e,

x-InxLe

則夕(x)=

(2x—2)(x—Inx)—(x—2)(x—1)

(x-Inx)2

(x—1)(x—21nx+2)

(x-Inx)2

1

V^ee,

_e

.,.2—21nx=2(1—Inx)20,

jr—2Inx+2>0,

???當(dāng)1)時(shí)，G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(l,e)時(shí)，G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞

增.

G(x)min=G(l)=-1,

??G^X)min——1,

故實(shí)數(shù)》的取值范圍為［—1，+8).

4.已知函數(shù)F(x)=萬(wàn)一E+l)x+血nx+勿，f'(x)為函數(shù)_f(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論Ax)的單調(diào)性；

⑵若x/(X)—F(x)20恒成立，求"的取值范圍.

【解析】⑴F(X)=LE+1)/1*+喝(廠")"T),

XXX

①當(dāng)勿WO,x￡(o,1)時(shí)，/(x)〈0,F(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，f'(x)〉0,Ax)單調(diào)遞增.

②當(dāng)0〈欣1,(0,4時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)(m,1)時(shí)，f'(x)<0,f{x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，f(才)>0,/<x)單調(diào)遞增.

③當(dāng)勿=1,(0,+8)時(shí)，f(x)20,Hx)單調(diào)遞增.

④當(dāng)0>1,x￡(0,1)時(shí)，f'(x)>0,廣(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)(1,4時(shí)，fl(x)<0,F(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)(勿，+8)時(shí)，f'(x)〉0,F(x)單調(diào)遞增.

(2)由題意知xf'(x)-f{x}20恒成立，

即萬(wàn)一血nx20恒成立，

2

???萬(wàn)2血nx.

當(dāng)x=l時(shí)，—^mlnx恒成立，

殳

當(dāng)￡>1時(shí)，----2例

21nx

當(dāng)0〈水1時(shí)，----W力.

21nx

2

人/\x

令名⑸=不’

…M21nx—1)

則夕3=2(lnxf，

當(dāng)0〈水1時(shí)，g'(x)〈0,

g(x)單調(diào)遞減且g(x)<0,

勿20.

當(dāng)x>l時(shí)，令g，(x)=0,得x=拉,

???當(dāng)1<X〈/時(shí)，g'(T)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>/時(shí)，w(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

；?g(x)2g(#)=e，,"We.

綜上知0W勿We.

5.已知函數(shù)F(x)=x(旌、-1).

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，求函數(shù)Ax)的圖象在(1,*1))處的切線方程；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f^x)^x~