概率統(tǒng)計(jì)課件：中心極限定理

中心極限定理定理1獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,注：則

Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.即n

足夠大時(shí)，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)記近似近似服從定理2德莫佛—拉普拉斯定理（DeMoivre-Laplace）設(shè)是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù),是事件中發(fā)生的概率,則對(duì)任意區(qū)間,成立在每次試驗(yàn)證明引人隨機(jī)變量則次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)由于是獨(dú)立試驗(yàn),所以

相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即于是由同分布的中心極限定理，得于是對(duì)任意區(qū)間有例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)在任選的6000粒種子中，良種所占比例與

1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),則X~B(6000,1/6)中心極限定理的應(yīng)用近似比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果用中心極限定理用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)用Poisson分布用Chebyshev不等式例2

設(shè)有30個(gè)電子器件

它們的使用情況如下:

損壞,

接著使用;

損壞,

接著使用等等.

設(shè)器件

的使用壽命服從參數(shù)的指數(shù)分布.

令

為30個(gè)器件使用的總時(shí)數(shù),問

超過350h的概率是多少？

解

設(shè)為

的使用壽命，器件

服從參數(shù)的指數(shù)分布.

相互獨(dú)立,由中心極限定理得

例3

某單位設(shè)置一電話總機(jī),共有200架電話分機(jī).設(shè)每個(gè)電話分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話,假定每個(gè)電話分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的,問總機(jī)需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個(gè)分機(jī)都能即時(shí)使用.解設(shè)為同時(shí)使用的電話分機(jī)個(gè)數(shù),

設(shè)安裝了N條外線,

引人隨機(jī)變量則由于使用與否是獨(dú)立的,所以相互獨(dú)立,且都服從相同的(0—1)分布,即保證每個(gè)分機(jī)都能即時(shí)使用,

由題意查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表取

例4

某車間有200臺(tái)車床，每臺(tái)獨(dú)立工作，開工率為0.6.開工時(shí)每臺(tái)耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力,才能以

99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個(gè)車間

a千瓦的電力設(shè)X為200臺(tái)車床的開工數(shù).X~B(200,0.6),問題轉(zhuǎn)化為求

a,使X~N(120,48)(近似)由于將X近似地看成正態(tài)分布，故0)32.17(481200?-=÷???è?-FF反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)例5

檢查員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品,每檢查一只產(chǎn)品需要用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘.假設(shè)產(chǎn)品需要重復(fù)檢查的概率為0.5,求檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)的概率.解檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)即檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于8小時(shí).設(shè)X為檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒)設(shè)Xk

為檢查第k

個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒),k=1,2,…,1900

XkP10200.50.5相互獨(dú)立,且同分布,解法二—1900個(gè)產(chǎn)品中需重復(fù)檢查的個(gè)數(shù)例6

對(duì)敵人的防御工事用炮火進(jìn)行100次轟擊,

設(shè)每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學(xué)期望為2,均方差為1.5.如果各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的,求100次轟擊

(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.解設(shè)Xk

表示第

k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨(dú)立，

設(shè)X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則(1)(2)例7

售報(bào)員在報(bào)攤上賣報(bào),已知每個(gè)過路人在報(bào)攤上買報(bào)的概率為1/3.令X

是出售了100份報(bào)時(shí)過路人的數(shù)目，求P(280

X320).解令Xi

為售出了第

i–1份報(bào)紙后到售出第i

份報(bào)紙時(shí)的過路人數(shù),i=1,2,…,