云南省2023-2024學(xué)年高二年級下冊質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題

云南省長水教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期質(zhì)量檢測

（二）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

LC；+A：=（）

A.12B.18C.23D.30

2.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是（）

A卜+"=3+：B.皿2xT）］'=乙

C.（sinx）'=-cosxD.（xe*）'=（x+l）e*

3-設(shè)數(shù)列｛%｝和也｝都為等差數(shù)列,記它們的前”項(xiàng)和分別為S”和「,滿足充=,'

則邑=()

4

4.美術(shù)館計劃從6幅油畫，4幅國畫中，選出4幅展出，若兩種畫都要參展，則不同的參

展方案種數(shù)為（）

A.200B.194C.70D.40

5.在二棱錐中，p4,PB，尸c兩兩垂直，且尸z4=］，PB—2,PC—3*二角形

/8C重心為G,則點(diǎn)P到直線NG的距離為（）

試卷第11頁，共33頁

6巫

A.B.C,D.V221

71717

6.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)

學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結(jié)論錯誤的是（）

BOtf

12i

嘉3行1331

?4tlI4?4I

?StfIsto10s1

161s201561

第7行I?213$217I

k京i82SM70M2881

I936M126126MJ691

?1<HTI10451202102s221012045101

Mlltlr1II5516S)304624623)0165$511I

A-i+c"c：+C=c；

B.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)

C.第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為2：H

D.第2020行的第1010個數(shù)最大

7.已知a=ln（也6）/=出,。=也』+1,則“也'的大關(guān)系為（）

e5

AR

?c>a>b?b>a>c

C.,D.,

a>b>cb>c>a

8.己知雙曲線C：1-g=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸，左、右頂點(diǎn)分別為4產(chǎn)”,X軸于

ab

點(diǎn)、F,且而=2麗.當(dāng)N4Q4最大時，點(diǎn)P恰好在c上，則c的離心率為（）

A."B.8C,2D.百

2

試卷第21頁，共33頁

二、多選題

9.已知（1-2x）6=/+%x+gx?+...+gl，貝I（）

A.%=T60

B?（71+a2+a3+a4+a5+a6=1

C.此二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64

D.此二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)

10.有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則下列說法正確的是（）

A.6人站成一排，甲、乙兩人相鄰，則不同的排法種數(shù)為240

B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位（不一定相鄰），則不同的站法

種數(shù)為240

C.6名同學(xué)平均分成三組分別到人、8、c三個工廠參觀，每名同學(xué)必須去，且每個

工廠都有人參觀，則不同的安排方法有90種

D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，每名同學(xué)必須去，且每個活動都有人參加，甲、

乙、丙在一起，則不同的安排方法有36種

H.已知拋物線C/=4x＞焦點(diǎn)為尸，直線y=與拋物線C交于42兩點(diǎn)，過4B

兩點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為尸，Q,且M為的中點(diǎn)，則（）

AD

A.M卻=10B.PF1QF

C.梯形4P02的面積是16D.A/到V軸距離為3.

三、填空題

12.過原點(diǎn)作曲線y=e2*的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為

13.小亮和他的同學(xué)一行五人決定去看電影院新上映的四部電影，則恰有兩人看同一部影

片的選擇共有種.

試卷第31頁，共33頁

14.公比為q的等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和s“=2”-l，若“=log2%，記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

為北，若_1+,+…+-L<4恒成立.則"的最小值為.

四、解答題

15.已知二項(xiàng)式口一亍1的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,其中實(shí)數(shù)“2°.

⑴求〃的值；

(2)二項(xiàng)式的展開式中彳2的系數(shù)為的系數(shù)為3，若/=58，則求。的值.

16.已知數(shù)列m｝的前〃項(xiàng)和s“="2+i_q(〃eN)

(1)求｛g｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛2〃.凡｝的前〃項(xiàng)和7；

17.(1)求c；+6C；+2C；+5C；+3C；+4C；+7C；的值；

(2)若等式〃亡+田=4€：3成立，求正整數(shù)〃的值.

18.已知橢圓￡：《+^=1(.>6>0)過點(diǎn)(°」)，且長軸長為4.

〃2b1

⑴求"的標(biāo)準(zhǔn)方程；

EJ

(2)過點(diǎn)S(I,O)作兩條互相垂直的弦N8,CD,設(shè)弦4B,CO的中點(diǎn)分別為證明；直線

必過定點(diǎn).

19.已知函數(shù)〃x)=31m:+ax2-4x(a>0)-

試卷第41頁，共33頁

⑴當(dāng)4=1時，討論/（尤）的單調(diào)性;

⑵當(dāng)"加，若方程〃x）=6有三個不相等的實(shí)數(shù)根%,3,且…y,證明:

工3一再＜4.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.c

【分析】根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)的計算公式計算即可.

【詳解】C；+A；=3+5x4=23，

故選：C.

2.D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則判斷即可.

【詳解】對于A：r3+IY3X2__L，故A錯誤；

Vx)x1

i7

對于B：[ln(2x-1)了=^—x2=^^,故B錯誤；

172x-l2x-l

對于C：(sirtry=cosx，故c錯誤；

對于D,(xe*)'=eX+xe*=(x+l)eX,故D正確，

故選：D.

3.B

【分析】由等差數(shù)列前”項(xiàng)和公式及下標(biāo)和定理計算即可.

【詳解】數(shù)列｛%｝和低｝都為等差數(shù)列，且?=二，

bn2〃+1

5(4+%)

則邑=___2___=&+生=&.=』

Ts5色+&)bx+b5b37'

2

故選：B.

4.B

【分析】先得到只有油畫參展，和只有國畫參展時的情況數(shù)，再利用總數(shù)減去兩者即可.

【詳解】若只有油畫參展，則共有c：種選擇，若只有國畫參展，則共有c：種選擇，

答案第11頁，共22頁

若兩種畫都要參展，則有C：（）-C：-C：=194.

故選：B.

5.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)到直線的距離即可得解.

【詳解】如圖所示：以尸4依,尸C為無，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0,0,0）,/（1,0,0）,*0,2,0）C（0,0,3）,則

2V17

17

故選：D.

6.D

【分析】對于ABC選項(xiàng)，都可以對照圖表與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，即可得到判斷；對于D選

項(xiàng)，則需要找到二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律分析即可或直接運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接判斷，如第

2020行的二項(xiàng)式系數(shù)是eg。,。，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)最大的是c；黑，從而判斷是第IO"

項(xiàng).

答案第21頁，共22頁

【詳解】對于A：因?yàn)閕+c；+C；+C：=l+5+生@+28=56,C；=W^=56,所以

5672x13x2x183x2x1

1+C：+C：+C；=C；，故A正確；

對于B：第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：1,7,28，其和為1+7+28=36;而

第9行第8個數(shù)字就是36,故B正確；

對于C：依題意：第12行從左到右第2個數(shù)為c；,=12,第12行從左到右第3個數(shù)為

C,=66,所以第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為12:66=2:11，故C正確；

對于D：由圖可知：第行有”+1個數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第2+1(最中間的)個數(shù)字

2

最大；如果”是奇數(shù)，則第四和第四+1個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，所以第

22

2020行的第1011個數(shù)最大，故D錯誤.

故選:D.

7.B

【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)/(*)=叱，判斷其單調(diào)性，得到

X

/(x)max=/(e)=-,故有/(e)>/(5)J(e)>/(2),再運(yùn)用作差法比較了⑸，/⑵即得.

e

【詳解】設(shè)/(*)=也，則八口=匕學(xué)，

XX

當(dāng)0<x<e時,/'(x)>0,/(x)在(0,e)上遞增;

當(dāng)X>e時，f\x)<0，f(x)在(e,+oo)上遞減，

答案第31頁，共22頁

故/(X)—(e)=：.

.1In51In2?b>c,b>a

則mi一>——,->——，即n

e5e2

25c<ab>a>c

由ln5ln221n5-51n21n我4°可知,故

52~1010

故選：B.

8.D

【分析】由而=2酬得°為比'中點(diǎn)，設(shè)紗|=〃，計算出tan/4%4q,得出時,

b

"OH最大，求出此時0點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解即可.

【詳解】由題可得4（_凡0）,4（。,0），設(shè)尸（。,0）

因?yàn)槭現(xiàn)_Lx軸，且而=2萬，所以。為尸尸中點(diǎn)，PF±AXF，

C

設(shè)|?？?〃，則附=2〃，p]-tan^QF=￡±￡,tanZA.QF=—^-

hh

所以tan=tan(Z40F-ZA.QF)

tan/A、QF-tanZA2QF

1+tan^AXQF?tan

c+ac-ahb

hh2a2a<2aa

22當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,

c+ac-ac-a2,"b，

1+h+

hhhhh

即力=力時，tan/4Q4取得最大值，即//?a最大，

答案第41頁，共22頁

此時可得P(c’26),代入雙曲線方程得，￡1_也=1，即/=5,則6=右,

/b2

9.ACD

【分析】A選項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式，令,.=3得到答案；B選項(xiàng)，賦值法得到答案；C選項(xiàng)，

利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出答案；D選項(xiàng)，利用二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性和單調(diào)性得到答案.

［詳解】通項(xiàng)為=qx懺x(-2切=晨(-2),￡，

A選項(xiàng),當(dāng)廠=3時，％=《(-2)3=-160，故A正確；

B選項(xiàng),令元=1得a。+%+p?+%+%+%+。6=(1一2)6=1，

6

令x=0得，a0=I=1>

故%+出+%+。4+。5+。6=1—1=0，故B錯誤；

C選項(xiàng)，此二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為26=64,故C正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)為a，所以當(dāng)r=3時，C：最大，即第4項(xiàng)最大，故D正確.

故選：ACD.

10.ACD

【分析】用捆綁法即可判斷A,用倍縮法即可判斷B,用平均分組公式即可判斷C,用分

類加法分步乘法即可判斷D.

【詳解】對于A,6人站成一排，甲、乙兩人相鄰，可以采用捆綁法，則不同的排法種數(shù)

答案第51頁，共22頁

為A；xA；=2x120=240，故A正確；

對于B,6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進(jìn)行求解，即

AL理=120種，故B錯誤；

A；6

對于C,6名同學(xué)平均分成三組分別到人、8、c三個工廠參觀，每名同學(xué)必須去，且每個

工廠都有人參觀，則有底生代=90種，故C正確；

A；

對于D,6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學(xué)與他們

一組，共有c；=3種分法；

若三組同學(xué)分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組,

有C；C；=3種分法；共有6種分組方法，再分配到三個活動中，共有6A；=36種，D正確.

故選：ACD.

11.BD

【分析】先判斷得直線y=經(jīng)過點(diǎn)尸，再聯(lián)立直線與拋物線方程，得到必+%,%%，進(jìn)

而得到為+々，從而判斷AD,利用兩點(diǎn)求斜率與直線垂直時斜率之積為-1可判斷B,分別

求得|/尸|+1201,|尸01，結(jié)合梯形的面積公式可判斷C.

【詳解】對于A,由題意得尸(1,0),則直線＞=xT經(jīng)過點(diǎn)尸，

答案第61頁，共22頁

y=x-l

設(shè)Z(Xi,必),8(%,%)'則%+%=4,必%=T，

貝1］占+工2=%+1+%+1=6，所以|/2|=再+%+2=8，故A錯誤;

對于B,由題意得「（_1,必）,0（_1,%）,

必一°>2_0_^^2_1所以尸尸1。尸，故B正確;

所以女尸尸?kQF行力二「一1

對于C,由題意可得|NP|+|BQ|=X1+X2+2=8,

|尸。|=|乂-閭=h+%)2-4%%=J16+16=472,

所以梯形APQB的面積是：（|NP|+1801>|尸01=；x8x4收=16/，故C錯誤;

1

對于D,因?yàn)閄”=夕M再+起y）=3,所以至IJ軸距離為3,故D正確.

故選：BD.

⑵（吳）

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（看,e2'。），利用導(dǎo)數(shù)及兩點(diǎn)間斜率公式即可求解.

答案第71頁，共22頁

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x°,e2'。）

Qy=e2x,

/=2e2x,

k=2e2x°?

所以左=2瞪。=J

%

解得/=；，

所以切點(diǎn)為（；,e）.

故答案為：（；,e）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的斜率公式，屬于容易題.

13.360

【分析】從5人中選擇2人看同一部影片，剩余的3人分3人看3部影片或者3人看一部影

片兩種情況，列式求解即可.

【詳解】從5人中選擇2人看同一部影片，再從4部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，

剩余的3人，可分為3人看3部影片或者3人看一部影片兩種情況，

故共有C；C：（A；+C；）=360種情況.

故答案為：360.

14.2

【分析】先利用氏與5“之間的關(guān)系求得凡，再求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求看，從而利

答案第81頁，共22頁

11〃A

用裂項(xiàng)相消法求［「J_,N2）的前項(xiàng)和，從而可得的最小值?

【詳解】由S“=2"-1，當(dāng)"=1時,q=Sj=1；

當(dāng)“22時，a?=Sn-S“_|=2"-2"T=2"i，

檢驗(yàn)：當(dāng)〃=1時，3=1滿足凡=2"、

于是為=2"-L

所以2=kg??！?log21=n-l>

故北=b、+b2T----卜b”=0+1H=—，

當(dāng)""2時,

=2--2-<2

n+\

又J+J+…<4恒成立，所以"―？，即"的最小值為2.

AA4+1

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在本題中，使?jié)M足工+工+…+'<4恒成立，”要大于或等于數(shù)列

T2T3Tn+i

［工］的前”項(xiàng)和的最大值，需要熟練應(yīng)用%與S”之間的關(guān)系和數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法?

⑹（1）〃=8

Q）a=丘或a=-抗

答案第91頁，共22頁

【分析】(1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為2“，可求”的值.

(2)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式表示出力,8,再根據(jù)48的關(guān)系求參數(shù)的值.

【詳解】(1)由題知，二項(xiàng)式系數(shù)和c：+C：+C：+…+C：=2"=256，故〃=8

(2)二項(xiàng)式為□一亍

由二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式得加=(2爐(-亍:=(-“c/號,(廠=0,1,…8)，

令8-①=2,得'=4,所以，=/《=7004,

2

令8號=5,得"2,所以8=/《=28/,

又A=5B，解得。=0(舍去)或a=6■或a=-近，

所以"0或。=_行?

16.(1)0“=2〃-1

出r=2"+1(2〃一3)+6

【分析】(1)利用凡與S“之間的關(guān)系即可求解；

(2)先寫出數(shù)列"J%｝的前〃項(xiàng)和7；，進(jìn)而利用錯位相減法即可求解?

【詳解】(1)5“=”2+1-4中,令”=1得％=l+1-q,解得q=1，

則S”=〃2,%=5〃一S,T=w2-(n-l)2=2n-l(?>2)-

答案第101頁，共22頁

檢驗(yàn)：當(dāng)〃=1時，4]=2x1-1=1輛足上式,

故a”=2〃-1?

（2）2%=（21）x2〃，

i^T；,-2+3x22+5x23+7x24+---+（2n-l）-2"?>

貝|J27；=2?+3x23+5x2"+7x2$+…+（2”-l）-2"+i②

①-②得一]=2+23+24+25+---+2"+1-（2?-1）-2"+1

=2+8^-^^-（2H-1）-21,+I

=2-8+2n+2-（2?-l）-2"+1=-6-（2?-3）-2"+1,

故（=2"+I（2〃-3）+6?

17?⑴448；（2）〃=4

【分析】（1）利用組合數(shù)的性質(zhì)計算化簡即可?

（2）利用給定式子建立方程，求解即可.

【詳解】（1）原式=C；+6C；+2C；+5C；+3C；+4C；+7C；

=7（C；+C；+C；+C；）=7x64=448.

（2）由〃C：+A：=4C"展開得〃J（〃-1）（"214（〃+1）〃（〃T）,因

3!（八）3!

W>3,WGN，

故可化間得：〃（幾—2）+6（〃—2）=4（〃+1），

解得〃=4或〃=-胃（舍）'故〃=4。

答案第111頁，共22頁

2

18.⑴土+/=i

4

(2)證明見解析

【分析】(1)由橢圓的性質(zhì)結(jié)合題意可解；

(2)當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，設(shè)直線/A的方程為，由兩直線垂直斜率關(guān)系得到直

AbAD

線。的方程，聯(lián)立曲線方程用韋達(dá)定理表示出點(diǎn)坐標(biāo)和直線兒W方程即可；當(dāng)直線

之一垂直于x軸時，另一條必垂直于了，直接得到定點(diǎn)即可.

【詳解】⑴依題意，2a=4,故q=2,而6=1，

2

所以橢圓的方程為土+y2=l.

4■

(2)當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，設(shè)直線N8的方程為尤=/y+i(xwO),

A(xi,yl),B(x2,y2)，

,CDJ_AB4曰七辦CD鉆士工口411

由，得直線的方程為x=y+l，

m

22

由[x=my+l消去x得：(m+4)y+2my-3=0；

[x2+4y2=4

—2^/78

則AWm2480>必+%=-2，故石+%=加(必+%)+2=~-----，

Im

于是M(■),由-工代替，得N(.

+4’加2+4m1+4加之'1+4加

答案第121頁，共22頁

當(dāng)44加2即療=1時，直線加，x=：,過點(diǎn)K(}o),

m2+41+4冽2

44m2加2。1MNm-m

-?0------7

m+41+4加1+4加2加之+45m

當(dāng)即時，直線的斜率為1#;4(m2-1)

1+4/m2+4

5m4

直線y+：―"'令

m+44(m2-l)

-4(m2—1)44m2+164

y=0,x=^^-+-z---=---------=一，

5(川+4)(加2+4)5(/+4)5

因此直線"N恒過點(diǎn)K(g,O),

xx

當(dāng)直線AB'C之D一垂直于軸，另一條必垂直于y軸，直線MN為軸，過點(diǎn)Kq,40),

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：

即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理,

特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為

所求點(diǎn).

19.(1)單調(diào)遞增

答案第131頁，共22頁

(2)證明見解析

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，結(jié)合a=l得至！J2X2-4X+3>0，即/在(0,+8)內(nèi)

恒成立，所以/(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增;

(2)/(x)=31nx+|x2-4x,求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到°<西<1<工2<3<苫3,構(gòu)造

g(x)=/(x)-/(2-x),0<x<P求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到再+x?>2,再構(gòu)造

A(X)=/(X)-/(6-X),1<X<3,求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到迎+工3<6,兩式結(jié)合得到答

案.

【詳解】(1)由題意可知：/(x)的定義域?yàn)?0,+8)，