高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第一章集合與常用邏輯用語(第一節(jié)集合)

2011版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：第一章《集合與常用邏輯用語》〖知識特點(diǎn)〗1、集合是高中數(shù)學(xué)家的起始章節(jié)，主要是強(qiáng)調(diào)其工具性和應(yīng)用性。另外，由于Venn圖的利用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用也很廣泛。2、常用邏輯用語是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具，以考查四種命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞和全稱命題、特稱命題的否定為主，屬容易題目。3、集合與常用邏輯用語與其他知識的聯(lián)系也非常密切，常以本章知識為工具考查函數(shù)、方程、三角、解析幾何、立體幾何中的知識點(diǎn)?！贾攸c(diǎn)關(guān)注〗1、集合的概念、集合間的關(guān)系及運(yùn)算是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，正確理解概念是解決此類問題的關(guān)鍵。2、對命題及充要條件這部分內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注兩個(gè)方面內(nèi)容：一是命題的四種形式及原命題與逆否命題的等價(jià)；二是充要條件的判定。3、全稱命題、特稱命題的否定也是高考考查的重點(diǎn)，正確理解兩種命題的否定形式是解決此類問題的關(guān)鍵。4、本章內(nèi)容為補(bǔ)集思想、正難則反思想提供了理論依據(jù)，同時(shí)也應(yīng)注意這兩種思想的應(yīng)用?！嫉匚慌c作用〗“集合與常用邏輯用語”這一章主要是講述集合的初步知識與常用邏輯用語知識兩部分，集合的初步知識是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書中原來就有的內(nèi)容。這部分內(nèi)容主要包括集合的有關(guān)概念、集合的表示、集合的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算。常用邏輯用語知識則是新增內(nèi)容，這部分主要是介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”，四種命題及其相互關(guān)系，全稱量詞和存在量詞及含有它們的命題以及充要條件等有關(guān)知識。集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，一方面，許多重要的學(xué)科，如數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)等，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上。另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用，因此在歷年高考中都有考查集合問題的題目。一是考查集合的有關(guān)概念，集合之間的關(guān)系，集合的運(yùn)算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合語言的應(yīng)用，集合思想的應(yīng)用。邏輯是研究思維形式及規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要全面理解概念，正確地進(jìn)行表述、推理和判斷，這就離不開對邏輯知識的掌握和運(yùn)用。更廣泛地說，在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，基本的邏輯知識也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具，是人們文化素質(zhì)的組成部分。常用邏輯用語是每年高考的必考內(nèi)容，其中量詞是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，是考查的重點(diǎn)。高考對本部分的考查主要有兩個(gè)方面：一是全稱量詞與存在量詞、全稱命題與特稱命題，一般以選擇題形式出現(xiàn)，考查兩種命題的否定命題的寫法，是高考的熱點(diǎn)；二是充要條件的推理判斷以及四種命題的相互關(guān)系問題等，這些內(nèi)容大多是以其他數(shù)學(xué)知識為載體，具有較強(qiáng)的綜合性。一般在解答題中出現(xiàn)，考查對概念的理解與應(yīng)用，難度不會太大。第一節(jié)集合【高考目標(biāo)定位】一、考綱點(diǎn)擊1、了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系；2、能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題；3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；4、在具體情境中，了解全集與空集的含義；5、理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；6、理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；7、能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算。二、熱點(diǎn)難點(diǎn)提示1、從考查內(nèi)容上看，高考題仍以考查集合的概念和集合的運(yùn)算為主；2、從能力要求上看，注重基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，要求具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合運(yùn)算問題，常與不等關(guān)系、不等式的解集相聯(lián)系；3、從考查形式上看，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)?！究季V知識梳理】1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；（3）表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R2．集合的包含關(guān)系：（1）集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）；集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作AB；（2）簡單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集（其中2n－1個(gè)真子集）；3．全集與補(bǔ)集：（1）包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；（2）若S是一個(gè)集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集；（3）簡單性質(zhì)：1）()=A；2）S=，=S4．交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集（2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法5．集合的簡單性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）；（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）?！緹狳c(diǎn)難點(diǎn)精析】一、集合的基本概念1、相關(guān)鏈接（1）由元素與集合的關(guān)系，可以分析集合中元素的特征：確定性、互異性和無序性。（2）在解決集合的概念的問題時(shí)，要注意養(yǎng)成自學(xué)使用符號的意識和能力，運(yùn)用集合的觀點(diǎn)分析、處理實(shí)際問題。（3）集合的表示方法：有列舉法、描述法和Venn圖，在解題時(shí)要根據(jù)題目選擇合適的方法。注：要特別注意集合中的元素所代表的特征。如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示數(shù)集，B表示二次函數(shù)y=x2+2的圖象上所有點(diǎn)組成的集合，二者不能混淆。2、例題解析例1．（2009廣東卷理）已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有 ()A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.無窮多個(gè)答案B解析由得，則，有2個(gè)，選B.例2．(2009山東卷理)集合,,若,則的值為 ()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵,,∴∴,故選D.例3．下列集合中表示同一集合的是（C）A．M={(3，2)}，N={(2，3)} B．M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}C．M={4，5}，N={5，4} D．M={1，2}，N={(1，2)}答案：C解析：由集合中元素的特征（確定性、無序性、唯一性）即得。二、集合間的基本關(guān)系和運(yùn)算1、相關(guān)鏈接（1）子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n個(gè)元素，剛其子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n-1,非空真子集個(gè)數(shù)為2n-2.（2）全集是一個(gè)相對概念，一個(gè)全集又可以是另一個(gè)集合的子集或真子集，是我們?yōu)檠芯考详P(guān)系臨時(shí)選定的一個(gè)集合.（3）集合A與其補(bǔ)集的區(qū)別與聯(lián)系:兩者沒有相同的元素,兩者的所有元素合在一起,就是全集.（4）集合的基本運(yùn)算包括交集、并集和補(bǔ)集.在解題時(shí)要注意Venn圖及補(bǔ)集思想的應(yīng)用。（5）集合的簡單性質(zhì)：（1）（2），，，（3）（4）；（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。（6）；若AB，BC，則AC2、例題解析例1：例2：已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．分析：解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．從反面考慮問題在集合中的運(yùn)用主要就是運(yùn)用補(bǔ)集思想．本題若直接求解，情形較復(fù)雜，也不容易得到正確結(jié)果，若我們先考慮其反面，再求其補(bǔ)集，就比較容易得到正確的解答．解：由題知可解得A={y|y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4},我們不妨先考慮當(dāng)A∩B＝φ時(shí)a的范圍．如圖由，得∴或.即A∩B＝φ時(shí)a的范圍為或.而A∩B≠φ時(shí)a的范圍顯然是其補(bǔ)集,從而所求范圍為.注（2）解決含參數(shù)問題的集合運(yùn)算，首先要理清題目要求，看清集合間存在的相互關(guān)系，注意分類討論思想的應(yīng)用。空集作為一個(gè)特殊集合與非空集合間的關(guān)系，在解題中漏掉它極易導(dǎo)致錯(cuò)解。三、集合與其他知識的綜合應(yīng)用例1：（廣東汕頭達(dá)濠中學(xué)·20XX年高一月考）（本題滿分14分）已知：，，若，求：實(shí)數(shù)組成的集合。解答：由題意得：，∵，∴……4分（1）時(shí)，；…………6分（2）時(shí)，，；…………8分(3)時(shí)，，…………10分∴的集合是…………14分例2：（湖北部分高中·20XX屆高三聯(lián)考）（本小題滿分12分）已知集合，集合，集合，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.解答：（Ⅰ）依題意得：或，………4分（Ⅱ）∴①若，則不滿足∴…6分②若，則，由得……8分③若，則，由得…10分綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為………………12分【感悟高考真題】1（2010浙江理數(shù)）（1）設(shè)P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，則（A）（B）（C）（D）解析：，可知B正確，本題主要考察了集合的基本運(yùn)算，屬容易題2．（2010陜西文數(shù)）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,則A∩B= [D](A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2}(C){x－1≤x≤1} (D){x－1≤x＜1}解析：本題考查集合的基本運(yùn)算由交集定義得{x－1≤x≤2}∩｛xx＜1｝={x－1≤x＜1}3．（2010遼寧文數(shù)）（1）已知集合，，則（A） （B） （C） （D）解析：選D.在集合中，去掉，剩下的元素構(gòu)成4．（2010上海文數(shù)）1.已知集合，，則2。解析：考查并集的概念，顯然m=25．（2010重慶理數(shù)）(12)設(shè)U=，A=，若，則實(shí)數(shù)m=_________.解析：，A={0,3},故m=-36．（2010四川理數(shù)）（16）設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集。其中真命題是（寫出所有真命題的序號）解析：直接驗(yàn)證可知①正確.當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤－y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確對于集合S＝{0}，顯然滿足素有條件，但S是有限集,③錯(cuò)誤取S＝{0}，T＝{0,1}，滿足,但由于0－1＝－1T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤答案：①②7．（2010江蘇卷）1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=______▲_____.[解析]考查集合的運(yùn)算推理。3B,a+2=3,a=1.【考點(diǎn)精題精練】一、選擇題1.（20XX屆·浙江省舟山高三七校調(diào)測（理））若集合M=｛y|y=｝，P=｛y|y=｝，則M∩P=(C)A｛y|y>1｝B｛y|y≥1｝C｛y|y>0｝D｛y|y≥0｝2.（20XX屆·廣東省梅州揭陽高三聯(lián)考（文））設(shè)，則M－N等于（D） A．{4，5，6，7，8，9，10} B．{7，8} C．{4，5，6，9，10} D．{4，5，6} 3.（20XX屆·河南省長葛市第三實(shí)驗(yàn)高中高三一模（理））已知集合為(A)A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}4.（20XX屆·山西四校高三聯(lián)考（文））設(shè)全集為，集合，則A. B.C.D.5.（20XX屆·浙江湖州中學(xué)高三下月考（文））設(shè)集合,,,則等（D）A. B. C. D.6.（20XX屆·安徽省安慶市高三二模（文））已知集合，、，則(B)A.B.C.D.7、（浙江金華一中●20XX年月考）已知集合P={1，2}，Q={x∈R|kx+1=0}，若P∪Q=P，則實(shí)數(shù)k的值構(gòu)成的集合是（）A．{1，}B．{，}C．{0，1，}D．{0，，}8、（遼寧開原高中●月考）如果，，，那么（）A、B、C、D、9、（20XX屆·安徽懷寧中學(xué)高三期末模擬（一））已知集合M={x|(x+2)(x－1)<0}，N={x|x+1<0}，則M∩N=（C）A.(－1，1) B.(－2，1) C.(－2，－1) D.(1，2)10、（江西九江一中●月考）在從集合A到集合B的映射中，下列說法正確的是（）A．集合B中的某一個(gè)元素b的原象可能不止一個(gè)B．集合A中的某一個(gè)元素a的象可能不止一個(gè)C．集合A中的兩個(gè)不同元素所對應(yīng)的象必不相同D．集合B中的兩個(gè)不同元素的原象可能相同11、（山西山大附中●聯(lián)考）若，則滿足上述條件的集合的個(gè)數(shù)是 A、4 B、312、（福建古田一中●月考）圖中陰影部分所表示的集合是（）A.B∩［CU(A∪C)］B.(A∪B)∪(B∪C)C.(A∪C)∩(CUB)D.［CU(A∩C)］∪B二、填空題11、用列舉法表示集合：=。12、（江蘇句容三中●測試）設(shè)全集則右圖中陰影部分表示的集合為___．13、（江蘇句容三中●測試）集合，，若，則的值為___4．14、（陜西西安鐵一中●月考）50名學(xué)生參加體能和智能測驗(yàn)，已知體能優(yōu)秀的有40人，智能優(yōu)秀的有31人，兩項(xiàng)都不優(yōu)秀的有4人，問這種測驗(yàn)都優(yōu)秀的有25人。三、解答題1、若集合，其中，且。如果，且中的所有元素之和為403.（1）求；（2）求集合。解：（1）由可知必為某兩個(gè)