廣東省惠州市2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

廣東省惠州市2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．2．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．4．函數(shù)（且）的圖像是下列圖像中的（）A． B．C． D．5．如圖，在中，面，，是的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知向量，，若，則的值為（）A． B．1 C． D．7．關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知點(diǎn)O是邊長為2的正三角形ABC的中心，則（）A． B． C． D．9．在△ABC中，角所對的邊分別為,且則最大角為（）A． B． C． D．10．某正弦型函數(shù)的圖像如圖，則該函數(shù)的解析式可以為（）.A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則________（用反三角函數(shù)表示）12．已知，且，則________．13．設(shè)為實(shí)數(shù)，為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，.記，則的取值范圍為，現(xiàn)定義無窮數(shù)列如下：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，若，則________.14．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線與D有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.15．若圓與圓的公共弦長為，則________.16．在中，，，則角_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．足球，有“世界第一運(yùn)動的美譽(yù)，是全球體育界最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動之一．足球傳球是足球運(yùn)動技術(shù)之一，是比賽中組織進(jìn)攻、組織戰(zhàn)術(shù)配合和進(jìn)行射門的主要手段．足球截球也是足球運(yùn)動技術(shù)的一種，是將對方控制或傳出的球占為己有，或破壞對方對球的控制的技術(shù)，是比賽中由守轉(zhuǎn)攻的主要手段．這兩種運(yùn)動技術(shù)都需要球運(yùn)動員的正確判斷和選擇．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球友誼賽，A、B兩名運(yùn)動員是甲隊(duì)隊(duì)員，C是乙隊(duì)隊(duì)員，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．現(xiàn)A沿北偏西60°方向水平傳球，球速為10m/s，同時(shí)B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同時(shí)也以10m/s的速度前去截球．假設(shè)球與B、C都在同一平面運(yùn)動，且均保持勻速直線運(yùn)動．（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，試判斷B能否接到球？請說明理由．（2）若C改變（1）的方向前去截球，試判斷C能否球成功？請說明理由．18．從高三學(xué)生中抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績.（答案精確到0.1）19．已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)(2，3)，且被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.20．已知向量.（I）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，向量與共線？（II）若向量，且三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.21．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

先計(jì)算向量夾角，再利用投影定義計(jì)算即可.【詳解】由向量，，則，，向量在向量方向上的投影為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

不難發(fā)現(xiàn)從而可得【詳解】,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)大?。?、A【解析】

化圓心角為弧度值，再由扇形面積公式求解即可．【詳解】扇形的半徑為，圓心角為，即，該扇形的面積為，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用．4、C【解析】

將函數(shù)表示為分段函數(shù)的形式，由此確定函數(shù)圖像.【詳解】依題意，.由此判斷出正確的選項(xiàng)為C.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像的識別，考查分段函數(shù)解析式的求法，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】試題分析：因?yàn)槊?，所以，則三角形為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以三角形是直角三角形，易證，所以面，即，則三角形為直角三角形，即共有7個(gè)直角三角形；故選C．考點(diǎn)：空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．6、B【解析】

直接利用向量的數(shù)量積列出方程求解即可．【詳解】向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，滿足題意，所以可排除選項(xiàng)B、C、A，故選D【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題有兩個(gè)思路：求最值，說明恒成立參變分離，再求最值。8、B【解析】

直接由正三角形的性質(zhì)求出兩向量的模和夾角，由數(shù)量積定義計(jì)算．【詳解】∵點(diǎn)O是邊長為2的正三角形ABC的中心，∴，，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．9、C【解析】

根據(jù)正弦定理可得三邊的比例關(guān)系；由大邊對大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，從而求得角的大小.【詳解】由正弦定理可得：設(shè)，，最大為最大角本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角形中大邊對大角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析：由圖象可得最大值為2，則A=2，周期，∴∴，又，是五點(diǎn)法中的第一個(gè)點(diǎn)，∴，∴把A,B排除，對于C：，故選C考點(diǎn)：本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是確定的值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】∵，，∴.故答案為12、【解析】試題分析：由得：解方程組：得：或因?yàn)?，所以所以不合題意，舍去所以，所以，答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的三角函數(shù)公式.13、【解析】

根據(jù)已知條件，計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察得出無窮數(shù)列呈周期性變化，即可求出的值。【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，……，無窮數(shù)列周期性變化，周期為2，所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過取整函數(shù)得到數(shù)列，觀察數(shù)列的特征，求數(shù)列中的某項(xiàng)值。14、【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，直線過定點(diǎn)，根據(jù)圖像確定直線斜率的取值范圍.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示，直線過定點(diǎn)，由圖可知，而，所以.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式表示區(qū)域的畫法，考查直線過定點(diǎn)問題，考查直線斜率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】將兩個(gè)方程兩邊相減可得，即代入可得，則公共弦長為，所以，解之得，應(yīng)填．16、或【解析】

本題首先可以通過解三角形面積公式得出的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍得出角的值。【詳解】由解三角形面積公式可得：即因?yàn)?，所以或【點(diǎn)睛】在解三角形過程中，要注意求出來的角的值可能有多種情況。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）能接到；（2）不能接到【解析】

（1）在中由條件可得，，進(jìn)一步可得為等邊三角形，然后計(jì)算運(yùn)動到點(diǎn)所需時(shí)間即可判斷；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，作于，求出直線的方程，然后計(jì)算到直線的距離即可判斷．【詳解】（1）如圖所示，在中，，，,,，由題意可知，如果不運(yùn)動，經(jīng)過，可以接到球，在上取點(diǎn)，使得,,為等邊三角形，,，隊(duì)員運(yùn)動到點(diǎn)要，此時(shí)球運(yùn)動了.所以能接到球．（2）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，作于，所以直線的方程為：，經(jīng)過，運(yùn)動了．點(diǎn)到直線的距離，所以以為圓心，半徑長為的圓與直線相離．故改變（1）的方向前去截球，不能截到球．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的實(shí)際應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，考查了推理與運(yùn)算能力，屬中檔題．18、（1）眾數(shù)為75分，中位數(shù)為分；（2）76.2分【解析】

（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可求得眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念可求得中位數(shù)；.（2）由平均數(shù)的概念和頻率直方圖可求得平均數(shù).【詳解】（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可知，這50名學(xué)生成績的眾數(shù)為75分.因?yàn)閿?shù)學(xué)競賽成績在的頻率為，數(shù)學(xué)競賽成績在的頻率為.所以中位數(shù)為.（2）這50名學(xué)生的平均成績?yōu)?【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率直方圖求得數(shù)字特征，關(guān)鍵在于理解各數(shù)字特征的含義，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離可得：圓心到直線的距離．根據(jù)直線與圓相切，可得．即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程：，即：，可得圓心到直線的距離，又，可得：．即可得出直線的方程．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，代入圓的方程可得：，解得可得弦長，即可驗(yàn)證是否滿足條件．【詳解】（1）圓心到直線的距離．直線與圓相切，．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程：，即：，，又，．解得：．直線的方程為：．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，代入圓的方程可得：，解得，可得弦長，滿足條件．綜上所述的方程為：或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式、分類討論方法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用向量的運(yùn)算法則、共線定理即可得出；（2）利用向量共線定理、平面向量基本定理即可得出．【詳解】（1）kk（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．2（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k與2共線∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k．（2）∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴．∴存在實(shí)數(shù)λ，使得，又與不共線，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算法則、共線定理、平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．21、（