浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，其中為虛數(shù)單位，則z的虛部為（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以z的虛部為.故選：B.2.設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，，化簡得，即，，即與共線，當(dāng)與共線時，則存在唯一實數(shù)，使得，，，與不一定相等，即不一定相等，故“”是“與共線”的充分不必要條件.故選：A.3.在空間幾何中下列說法正確的是（）A.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B.過一點有且只有一條直線與已知直線平行C.過一點有且只有一個平面與已知直線平行D.過一點有且只有一個平面與已知直線垂直〖答案〗D〖解析〗A選項：根據(jù)空間兩條直線的垂直關(guān)系有相交垂直和異面垂直兩種情況，故當(dāng)已知點在已知直線上時，可作無數(shù)條直線與已知直線垂直；當(dāng)已知點在直線外時，可以作一條或者無數(shù)條直線與已知直線垂直，故A選項錯誤；B選項：當(dāng)已知點在已知直線上時，不能作出與已知直線平行直線；當(dāng)已知點在已知直線外時，可以作一條與已知直線平行的直線，故B選項錯誤；C選項：當(dāng)已知點已知直線上時，不能作出平面與已知直線平行；當(dāng)已知點在已知直線外時，可作出無數(shù)個平面與已知直線平行，故C選項錯誤；D選項：無論已知點在已知直線上還是已知直線外，假設(shè)過一點能作出兩個平面與已知直線垂直，則這兩個平面平行，顯然與兩平面經(jīng)過一個點相互矛盾，故過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，故D正確.故選：D.4.已知在中，三個內(nèi)角的對邊分別為，若，，邊上的高等于，則的面積為（）A. B.9 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，得，所以.故選：A.5.已知點O為所在平面內(nèi)一點，且，，，則為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗如圖所示，取BC中點D，連接并延長OD至E，使DE=OD，于是四邊形BOCE是平行四邊形，，又，，四點共線，AD是中線，同理可證BO、CO延長線均為的中線，O是的重心．又，，，，，，，O是的垂心，又，O是的外心，有上述可知：，，同理可證，，△ABC是等邊三角形．故選：C.6.已知、為異面直線，平面，平面，若直線滿足，，，，則（）A.， B.，C.直線， D.直線，〖答案〗C〖解析〗選項A，假設(shè)，則，與、為異面直線矛盾，故A錯誤；選項B，假設(shè)，結(jié)合，得到，與矛盾，故B錯誤；選項C、D，因為、為異面直線，所以在空間內(nèi)過一點可以作，則，，即垂直于與所在的平面，又因為平面，平面，所以平面，平面，所以平面既垂直于平面，又垂直于平面，所以平面與平面相交，且交線垂直于平面，故平行于，故C正確.故選：C.7.已知三點在以為圓心，1為半徑的圓上運動，且，為圓所在平面內(nèi)一點，且，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.的最小值是1 B.為定值C.的最大值是10 D.的最小值是8〖答案〗D〖解析〗A選項，因為，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，又因為點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，所以當(dāng)三點共線時，取得最小值，為，故A正確；B選項，因為三點在圓上，所以圓是的外接圓，又因為，所以是圓的直徑，所以，，是定值，故B正確；選項C、D，，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，即的最大值是10，最小值是6，故C正確，D錯誤.故選：D.8.設(shè)A、B、C是函數(shù)與函數(shù)的圖象連續(xù)相鄰的三個交點，若是銳角三角形，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知條件及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得：，所以函數(shù)，的周期，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖像，如圖所示：因為A、B、C為連續(xù)三交點，(不妨設(shè)B在x軸下方)，D為AC的中點，由對稱性知，是以AC為底邊的等腰三角形，所以，由展開整理得：，又，所以，設(shè)點A、B的縱坐標(biāo)分別為，則，即，要使為銳角三角形，則，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時滿足要求，此時，解得，所以的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分.）9.已知鈍角中，若，則下列命題中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，由題意可知，且，則，當(dāng)為銳角時，由在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)為鈍角時，即，則，所以，故A正確；對于B，當(dāng)為鈍角時，則，此時，故B錯誤；對于C，由題意可知，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故C正確；對于D，當(dāng)，，時，符合題意，則，，即，故D錯誤.故選：AC.10.若復(fù)數(shù)，滿足（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，所以，故A正確；對于B，由已知，，所以，故B正確；對于C和D，由，設(shè)，則，故C錯誤，D正確.故選：ABD．11.已知正方體的棱長為2，點P是的中點，點M是正方體內(nèi)（含表面）的動點，且滿足，下列選項正確的是（）A.動點M在側(cè)面內(nèi)軌跡的長度是B.三角形在正方體內(nèi)運動形成幾何體的體積是2C.直線與所成的角為，則的最小值是D.存在某個位置M，使得直線與平面所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗如圖所示，取中點，連接，取中點，連接，在立方體中，因為，為中點，所以，所以，，，四點共面，又因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，，所以平面，又因為平面，所以，因為，且，且均為銳角，所以，又因為平面，且平面，所以，又因為平面，且，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，且，所以平面，又因為，則平面，所以的軌跡為截面，對于A，因為平面，且平面平面，所以動點在平面內(nèi)的軌跡長度為的長，且，故A正確；對于B，三角形在正方體內(nèi)運動形成幾何體為四棱錐，且，又因為，所以，，所以四棱錐的體積為，故B正確；對于C，因為，所以直線與直線所成角為，在直角三角形中，當(dāng)時，，所以，故C正確；對于D，易知與或重合時，直線與平面所成角最大，且為或，因為，所以，所以不存在某個位置，使得直線與平面所成角為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，，且，則______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，.故〖答案〗為：.13.高為1的圓錐，側(cè)面積為，則過其頂點的截面面積最大值為______．〖答案〗2〖解析〗設(shè)底面半徑為，則母線長為，因為側(cè)面積為，所以，解得，當(dāng)截面為中軸面時頂角最大，截面的頂角設(shè)為，則，，所以最大面積為，此時，頂角為.故〖答案〗為：2.14.已知在銳角中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)正弦定理，，又因為，所以：，因為三角形為銳角三角形，因此，解得，所以，所以，因此的范圍為，所以得的范圍為.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知在中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（1）若，，求b；（2）求證：．解：（1）由，得：，∴，結(jié)合余弦定理得：，∵，，∴．（2）由（1）得，∴，∴，，∴，，由可知，，即，∴，即．16.如圖在三棱臺中，四邊形是等腰梯形，平面平面，，．（1）求三棱臺的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）記與的面積分別為和，則由題可得，，如圖過點作，垂足為O，平面平面且交線為，平面，，，，.（2）過點O作，垂足為E，連接，由（1）得平面，平面，，又，平面，平面，平面，，為平面與平面夾角的平面角，是上靠近的四等分點，由得，，平面與平面ABC所成角的余弦值為．17.歐拉公式：（為虛數(shù)單位，），是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到了復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．（1）根據(jù)歐拉公式計算；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在上的值域．解：（1）．（2），因，所以，，，即.18.如圖在平行四邊形中，，，分別為和上的動點（包含端點），且，．（1）若，①請用，表示；②設(shè)與相交于點，求.（2）若，求的取值范圍．解：（1）①，，，．②設(shè)，則，三點共線，，．（2），，，，．19.“風(fēng)箏”是中國傳統(tǒng)文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的歷史．相傳在東周春秋時期，墨翟以木頭制成木鳥，是人類最早的風(fēng)箏起源．后來魯班用竹子，改進墨翟的風(fēng)箏材質(zhì)，直至東漢期間，蔡倫改進造紙術(shù)后，坊間才開始以紙做風(fēng)箏，稱為“紙鳶”．到南北朝時，風(fēng)箏開始成為傳遞信息的工具；從隋唐開始，由于造紙業(yè)的發(fā)達，民間開始用紙來裱糊風(fēng)箏；到了宋代的時候，放風(fēng)箏成為人們喜愛的戶外活動．風(fēng)箏主要由骨架、風(fēng)箏面、尾翼、提線、放飛線五部分組成．如圖（1）就是一個由菱形的風(fēng)箏面ABCD和兩個直角三角形尾翼和所組成的風(fēng)箏．其中，，，，．現(xiàn)將此風(fēng)箏的兩個尾翼分別沿折起，使得點P與點Q重合于點S，并連接，得到如圖（2）所示的四棱錐．（1）求證：平面；（2）若E為棱上一點，記，①若求直線與平面所成角的正切值；②是否存在點E使得直線與直線所成角為，若存在請求出的值，若不存在請說明理由．解：（1）①連接AC，交BD于點O，又∵底面為菱形，∴，由題可得，，且平面，平面，∴平面，又平面∴，∵，平面，平面，∴平面．（2）①連接SO交CE于點G，由（1）得平面，∴為直線CE與平面SBD所成角，∵，AD＝CD＝1，，∴，∵