四川省內江市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省內江市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題（理）第I卷（選擇題）一、選擇題1.若集合有6個非空真子集，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由集合有6個非空真子集，得集合中有3個元素，為，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A2.已知是虛數(shù)單位，，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，，所以.故選：C.3.三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則的最小值與最大值之和為（）A.11 B.12 C.13 D.14〖答案〗B〖解析〗按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分（3）三個平面中沒有平行的平面：（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成部分；（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分，所以三個不平面將空間分成、、、部分，的最小值與最大值之和為12.故選：B4.在等比數(shù)列中，為其前項和，若，則的值為（）A.25 B.30 C.35 D.40〖答案〗C〖解析〗因為為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，可得，所以.故選：C5.如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（）A.3 B.7 C.15 D.31〖答案〗C〖解析〗循環(huán)前，第一次循環(huán)，，，則，第二次循環(huán)，，，則，第三次循環(huán)，，，則，第四次循環(huán)，，，輸出.故選：C6.已知點A、B、C在圓上運動，且，若點的坐標為，則的最大值為（）A.3 B.5 C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗因為，所以為直徑且過原點，的中點為原點，所以由平行四邊形法則可得：，所以，所以當共線且方向相同時模長最長，即當運動到時，取得最大值為.故選：C.7.文明是一座城市最靚麗的底色，也是一座城市最暖的名片．自內江市開展“讓文明出行成為甜城靚麗風景”文明實踐日活動以來，全市廣大學子以實際行動提升城市文明形象，助力全國文明城市創(chuàng)建工作．在活動中，甲、乙兩名同學利用周末時間到交通路口開展文明勸導志愿服務工作，他們可以從四個路口中隨機選擇一個路口，設事件為“甲和乙至少有一人選擇了路口”，事件為“甲和乙選擇的路口不相同”，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知甲乙隨機選擇路口有種方法，而甲乙都不選A路口的可能有種，即事件M的樣本點有7個，而在甲乙至少一人選擇A路口的前提下，兩人選擇的路口不同有種情況，所以.故選：B.8.設函數(shù)，若存在，且，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于，當時，，又，，而在原點左側第一個使得的x的值為，即，由于存在，且，使得，故需滿足，即的取值范圍是，故選：B9.已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)x都有成立，且函數(shù)為偶函數(shù)，，則（）A.-1 B.0 C.1012 D.2024〖答案〗B〖解析〗由，即的一個周期為4，由為偶函數(shù)可知關于軸對稱，即，又可知，所以，顯然，所以.故選：B10.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知函數(shù)有兩個零點，即有兩個不等實數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個不同交點；設，則，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；當時，，當時，，作出的圖象如圖：當直線與圖象相切時，設切點為，此時，則，故此時，結合圖象可知，要使函數(shù)的圖象有兩個不同交點，需滿足，故，故選：D.11.已知雙曲線，以雙曲線的右頂點為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于M、N兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取中點B，連接AB，則，且，則點到漸近線的距離為，，，結合可得，則，解得：（舍去）或，則.故選：D.12.對于曲線，給出下列三個結論：①曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都小于；③曲線所圍成的區(qū)域的面積大于3且小于4．其中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③〖答案〗D〖解析〗對于①，中令得，，同理令得，，故經過點，又當或時，方程無解，綜上，恰好經過4個整點，①正確；對于②，設曲線上一點坐標為，故，則此點到原點的距離為,其中，當且僅當時，等號成立，即，故，②正確；對于③，根據(jù)②中所求，曲線上一點到原點的最小距離為，又由對稱性可知，關于軸對稱，關于原點對稱，畫出的圖形如下：由于圍成的區(qū)域為以原點為圓心，1為半徑的圓，此時區(qū)域面積為，而外圍的正方形的面積為，故曲線所圍成的區(qū)域的面積大于3且小于4，③正確.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.設函數(shù)，則曲線在處的切線方程為_______.〖答案〗〖解析〗，又，，故曲線在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.若函數(shù)是奇函數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)是奇函數(shù)，，當時，，，而當時，，則，當時，，，而當時，，則，所以，.故〖答案〗為：15.已知實數(shù)x，y滿足且（為常數(shù)）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由于實數(shù)x，y滿足，故作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖示（含邊界），要使（為常數(shù)）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，即其中，取到可行域中的最小值時，目標式與可行域的邊界有重合，需使得直線與直線或重合，此時直線在y軸上的截距最小，z取最大值，即有，故〖答案〗為：16.平面內條直線可以將平面分成若干塊區(qū)域，記分成的區(qū)域數(shù)的最大值為，則數(shù)列的前項和為______.〖答案〗〖解析〗一條直線將平面分成2個區(qū)域，即，兩條直線最多將平面分為4個區(qū)域，即，三條直線最多將平面分為7個區(qū)域，即，四條直線最多將平面分為11個區(qū)域，即，由此可得規(guī)律如下：，將各式相加得：，即，也適合，則，故，故的前項和為，故〖答案〗為：三、解答題17.2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024?內江市中區(qū)新春極光焰火草地狂歡節(jié)”在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節(jié)目．前5場的觀眾人數(shù)（單位：萬人）與場次的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：場次編號12345觀眾人數(shù)0.70.811.21.3（1）已知可用線性回歸模型擬合與的關系，請建立關于的線性回歸方程；（2）若該煙花秀節(jié)目分A、B、C三個等次的票價，某機構隨機調查了該煙花秀節(jié)目現(xiàn)場200位觀眾的性別與購票情況，得到的部分數(shù)據(jù)如表所示，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷能否有的把握認為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關．購買A等票購買非A等票總計男性觀眾50女性觀眾60總計100200參考公式及參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）由表格可知，，，所以，則；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)補全表格如下：

購買A等票購買非A等票總計男性觀眾405090女性觀眾6050110總計100100200所以，故沒有的把握認為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關.18.在斜中，角A、B、C所對的邊分別為．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）由于，故，則，代入，得，解得或，由于為斜三角形，故舍去；則；（2）由，得，則，即，由于，故C為銳角，則，故，又，故，則，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）若PD與平面所成的角為30°，求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：取的中點M，連接，，又平面平面PBC，平面平面，平面，故平面，而平面，故，又底面是直角梯形，且，則，而平面，故平面，平面,故平面平面；（2）解：取中點N，連接，則，則四邊形為平行四邊形，則，故平面，則為PD與平面所成的角，即，由于平面，平面，故，，，故，在中，，則，在中，為等邊三角形，取中點O，的中點為Q，連接，則，以點O為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，平面的一個法向量為，則，故平面與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線E的準線方程為：，過焦點的直線與拋物線交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線的切線，兩條切線分別與軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線交于M、N兩點，直線DF與拋物線交于P、Q兩點.（1）求拋物線的標準方程；（2）是否存在實數(shù)，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）因為拋物線E的準線方程為：，所以；（2）設，聯(lián)立拋物線有，下面先求拋物線過點的切線方程，設該切線方程為，與拋物線聯(lián)立有，則，又，即，則，則，所以拋物線E在處切線方程為，B處的切線方程為，所以，則，直線分別與拋物線方程聯(lián)立有，設，則，由弦長公式知，同理有，又，所以，則,即，所以存實數(shù)，使得恒成立.21.已知函數(shù)．（1）若的圖象不在軸的下方，求的取值集合；（2）證明：．（1）解：的定義域為，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，因為的圖象不在軸的下方，所以恒成立，所以，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，又因為，，，，所以，故的取值集合為.（2）證明：由（1）可知，當時，，即，即，所以，（當時取等），令，所以，則，所以，故，，……，，由累加法可得：，即，令，恒成立，所以在區(qū)間上單調遞減，所以，所以，所以，所以請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為．（1）求曲線和的普通方程，并指出曲線和所表示的曲線類型；（2）若曲線和交于點A、B，點在曲線上，且的面積為，求點的直角坐標．解：（1）由于曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），故消去α可得曲線的普通方程為，即曲線表示以為圓心，1為半徑的圓；曲線的極坐標方程為，將代入得