遼寧省七校協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省七校協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.12 B.10 C.8 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，解得，所以.故選：B.2.相關(guān)變量x，y的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關(guān)分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為．則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由散點圖可知這兩個變量為負相關(guān)，所以．因為剔除點后，剩下點的數(shù)據(jù)更具有線性相關(guān)性，更接近1，所以．故選：D．3.下列求導運算中錯誤的是（

）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A選項：，故A正確；B選項：，故B正確；C選項：，故C錯誤；D選項：，故D正確.故選：C4.下列說法正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05C.“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的充分不必要條件D.若隨機變量，滿足，則〖答案〗B〖解析〗A選項，，故從小到大選取第8個和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，即，A錯誤；B選項，，故可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；C選項，事件A，B互斥不能推出事件A，B對立，但事件A，B對立，則一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件，C錯誤；D選項，若隨機變量，滿足，則，D錯誤.故選：B5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A.60 B.61 C.75 D.76〖答案〗B〖解析〗被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，∴，當且僅當，即時取等號，∴當時取最小值為．故選：B.6.若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，函數(shù)的定義域為，求導得，當曲線在點處的切線平行于直線時，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點坐標為，所以點到直線的最小距離即點到直線的距離．故選：D7.下列說法錯誤的是（）A.若隨機變量，則B.若隨機變量服從兩點分布，且，則C.若隨機變量的分布列為，則D.若隨機變量，則的分布列中最大的只有〖答案〗D〖解析〗A選項，，由正態(tài)分布的對稱性可知，A正確；B選項，若隨機變量服從兩點分布，且，即分布列為：01所以02故，則，B正確；C選項，分布列中概率之和為1，即，解得，C正確；D選項，隨機變量，令，即，解得，因為，所以或3，則的分布列中最大的有或，D錯誤.故選：D8.意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A. B.是偶數(shù)C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，對選項A：，故A錯誤；對選項B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項都是奇、奇、偶重復(fù)循環(huán)，，不能被3整除，且為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，故B錯誤；對選項C：若選項C正確，又，則，同理，依次類推，可得，顯然錯誤，故C錯誤；對選項D：，所以，故D正確.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，，則是等比數(shù)列C.若等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D.若等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，當時，，當時，，且不滿足上式，則，則不是等差數(shù)列，故錯誤；對于B，由條件變形可得，所以，且，所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，故正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，同理，所以，所以成等差數(shù)列，故正確；對于D，設(shè)，則，，所以此數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤；故選：BC10.一工廠將兩盒產(chǎn)品送檢，甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品．先從甲盒中隨機取出一個產(chǎn)品放入乙盒，分別以，和表示由甲盒取出的產(chǎn)品是一等品，二等品和三等品的事件；再從乙盒中隨機取出一產(chǎn)品，以表示由乙盒取出的產(chǎn)品是一等品的事件．則下列結(jié)論中正確的是（）A.； B.；C.事件與事件相互獨立； D.，，是兩兩互斥的事件．〖答案〗ABD〖解析〗因為甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，則,乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品,則,則，故A，B正確；因為,又，，則，則兩事件不相互獨立，故C錯誤；根據(jù)互斥事件的定義可知，，，是兩兩互斥的事件，故D正確，故選：ABD.11.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大項 D.〖答案〗AB〖解析〗由，或，而，，同號，則，，即數(shù)列前項大于，從第項開始小于1，對于A，，又，則，A正確；對于B，由，得，則，B正確；對于C，顯然是遞減正項數(shù)列，且，，因此是數(shù)列中的最大項，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列中，，，則______.〖答案〗〖解析〗由等比中項的性質(zhì)可得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，故〖答案〗為：6.13.設(shè)函數(shù)是的導函數(shù).某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意，，，令解得，又，故的對稱中心為.故當時，.故〖答案〗為：14.已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結(jié)束，則恰好檢測四次停止的概率為_____（用數(shù)字作答）．〖答案〗〖解析〗由題意可知，2次檢測結(jié)束的概率為，3次檢測結(jié)束的概率為，則恰好檢測四次停止的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為等差數(shù)列的前n項和，已知．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，解得，∴；（2）由（1）知，，∴，∴，∴．16.已知函數(shù)（，）的圖象過點，且．（1）求，的值；（2）求曲線過點的切線方程．解：（1）因為函數(shù)圖象過點，所以①．又，，所以②，由①②解得，．（2）由（1）知，設(shè)所求切線在曲線上的切點為，則，所以切線方程為，又切線過點，所以，可得，，，解得，所以切點為，切線方程為．故曲線過點的切線方程為．17.某企業(yè)響應(yīng)國家“強芯固基”號召，為匯聚科研力量，準備科學合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬元）對年收入的附加額y（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額7．30（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱對應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個年份中任意取3個，記X表示這三個年份為“優(yōu)”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．解：（1）依題意，，，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）由題意，7個年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個，所以X的可能取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列如下：X0123P所以X的期望是.18.某調(diào)查機構(gòu)為了解市民對該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿意程度，從使用了5G手機的市民中隨機選取了200人進行了問卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：（1）由直方圖可認為A市市民對5G網(wǎng)絡(luò)滿意度得分z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差s，并已求得．若A市恰有2萬名5G手機用戶，試估計這些5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）；（2）該調(diào)查機構(gòu)為參與本次調(diào)查的5G手機用戶舉行了抽獎活動，每人最多有10輪抽獎活動，每一輪抽獎相互獨立，中獎率均為．每一輪抽獎，若中獎，獎金為100元話費且繼續(xù)參加下一輪抽獎；若未中獎，則抽獎活動結(jié)束，現(xiàn)小王參與了此次抽獎活動．①求小王獲得900元話費的概率；②求小王所獲話費總額X的數(shù)學期望（結(jié)果精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量z服從正態(tài)分布，即，則，．解：（1）依題意，樣本平均數(shù)為，即，由，得，而所以2萬名5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間人數(shù)約為（人）．（2）①小王獲得900元話費表明其前9輪連續(xù)中獎且第10輪未中獎，所以所求的概率為．②依題意，X的可能取值有0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，即，，，當，時，，說明小王前i輪連續(xù)中獎且第輪未中獎，此時，又滿足，，因此，于是，令，則，兩式相減得，化簡得，則（元），所以小王所獲話費總額X的數(shù)學期望為99.90元．19.設(shè)數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對于任意的，都有成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)數(shù)列，問：數(shù)列中是否存在三項，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.解：（1）由，①得，②由①-②得，即，對①取得，，所以，所以為常數(shù)，所以為等比數(shù)列，首項為1，公比為，即，；（2）由，可得對于任意有，③則，