浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，進(jìn)而可求出集合，確定集合的元素個(gè)數(shù)，利用子集個(gè)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，的元素個(gè)數(shù)為，的子集個(gè)數(shù)是，故選：C.2.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，不妨取，，則，所以，“”“”，另一方面，當(dāng)時(shí)，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知菱形的邊長(zhǎng)為1，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】將平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解.【詳解】.所以.故選：D5.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，得在(或其子集)上為偶函數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，在(或其子集)上為偶函數(shù)，恒成立，恒成立，故選:A.6.某試驗(yàn)小組研究某種植物在一定條件下的生長(zhǎng)規(guī)律，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種植物每周以的增長(zhǎng)率生長(zhǎng).若經(jīng)過(guò)周后，該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的倍，則再經(jīng)過(guò)周，該植物的長(zhǎng)度大約是原來(lái)的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】設(shè)植物原來(lái)的長(zhǎng)度為，由已知可得出，求出的值，利用指數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)植物原來(lái)的長(zhǎng)度為，經(jīng)過(guò)周后，該植物的長(zhǎng)度為原來(lái)的倍，即，即，即，再過(guò)周后該植物的長(zhǎng)度為.因此，再經(jīng)過(guò)周，該植物的長(zhǎng)度大約是原來(lái)的倍.故選：C.7.已知函數(shù).若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，可得出，分、、三種情況討論，在第一種情況下，直接驗(yàn)證即可，在第二、三種情況下，求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，對(duì)任意的，，故對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，，函?shù)為奇函數(shù)，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，所以，，所以，，即，令，當(dāng)時(shí)，則有，顯然成立；當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，解得，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來(lái)求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.8.已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒(méi)有最小值，則的最大值是（）A.2 B.6 C.10 D.14【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，再由在上沒(méi)有最小值，求出答案.【詳解】由題意知，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，相加得，又因?yàn)?，所以，代入得，即，代入得，即，?因?yàn)樵谏蠜](méi)有最小值，設(shè)，則，所以，的最大值是2.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用奇偶性求出及的表達(dá)式；二是利用區(qū)間上沒(méi)有最小值可求的不等關(guān)系.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列式子化簡(jiǎn)正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的正弦公式可判斷A選項(xiàng)；利用輔助角公式可判斷B選項(xiàng)；利用兩角差的正切公式可判斷C選項(xiàng)；利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：BD.10.已知邊長(zhǎng)為的正邊形.若集合且，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：則，，，同理可得，，，故時(shí)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：，，，此時(shí)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則，如下圖所示：易知正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都為，則，故，則，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故當(dāng)時(shí)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)正六邊形的中心為，如下圖所示：易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為，則，故，所以，，，則，由正六邊形的幾何性質(zhì)可得，則，則，結(jié)合圖形可知，故，因此，當(dāng)時(shí)，，D對(duì).故選：ACD.11.若，則（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是0D.的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，利用不等式的性質(zhì)與基本不等式即可解決.【詳解】若，則，，，即.對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故最大值是，故D正確.故選：BCD.12.下列大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)換底公式結(jié)合基本不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及中間值分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合圖象可知當(dāng)時(shí)，則，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榫粸?，且，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榍?，，可得，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，可得，且，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)于與，如圖所示，可知當(dāng)時(shí)，則，令，可得，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)D：構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)，則，令即可得結(jié)果.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.杭州第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成如圖1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).會(huì)徽的幾何圖形如圖2所示，設(shè)弧的長(zhǎng)度是，弧的長(zhǎng)度是，幾何圖形的面積為，扇形的面積為.若，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式及求解即可.【詳解】設(shè)扇形的面積為，，則.所以，即，所以.故答案為：214.與向量共線的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是______.【答案】或【解析】【分析】先求出向量的模，與向量共線的單位向量為，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以與向量共線的單位向量為，所以向量共線的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是或.故答案為：或.15.已知函數(shù)在上既有最大值，又有最小值.若，則______，______.【答案】①.0②.【解析】【分析】根據(jù)在上的值域?yàn)?，判斷出，得到，然后根?jù)三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為不等式的解集問(wèn)題，再根據(jù)方程與不等式的關(guān)系，即可求的值.【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，它在上沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有，所以，其值域?yàn)?由得，，，，其中，所以，因?yàn)?，所以，所以，兩邊平方得，因?yàn)?，根?jù)題意可得的解集為.所以為方程的根，所以，所以，解得.故答案為：0，.16.設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，都存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)的單調(diào)性與值域，根據(jù)題意以及數(shù)形結(jié)合額可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)在、上的值域分別為、，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，則，①當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，由題意可知，，則，解得，此時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，如下圖所示：若對(duì)任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，此時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，如下圖所示：若對(duì)任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，與矛盾，此時(shí)，不存在，綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)值相等求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合圖形將題中的信息等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.求解下列各題：（1）計(jì)算：；（2）已知，求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指對(duì)冪運(yùn)算求解結(jié)果.（2）根據(jù)平方和關(guān)系與倍角公式求解結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】原式.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?18.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）從①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出集合，并解出集合，利用并集的定義可得出集合；（2）根據(jù)所選條件可得出，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：由，得，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】解：若選①，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選②，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選③，因?yàn)?，則，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知向量.（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積及三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形交點(diǎn)問(wèn)題求解即可.【小問(wèn)1詳解】，由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)在上有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，或，即的取值范圍是.20.已知一個(gè)半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米，且按順時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.如果以水輪上點(diǎn)從水面浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)位置）開(kāi)始計(jì)時(shí)，記點(diǎn)距離水面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為.（1）在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一周內(nèi)，求點(diǎn)距離水面高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；（2）在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一周內(nèi)，求點(diǎn)在水面下方的時(shí)間段.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，求出該函數(shù)的最小正周期，可得出的值，再由，結(jié)合的取值范圍，可得出的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）時(shí)，解不等式即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知的最大值為，最小值為，所以，，解得，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，則，所以.當(dāng)時(shí)，，即，可得，又，所以，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：令，得.由，得，所以，解得，即在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)在水面下方的時(shí)段是秒到秒.21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義求值；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合真數(shù)恒正及常數(shù)分離求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)?，由題知，即，化簡(jiǎn)得，即對(duì)任意恒成立，得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，所以①，且②對(duì)恒成立.由①得.②即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以，綜上：的取值范圍是.22.已知函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將化為分段函數(shù)，對(duì)，以及進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況，即可判斷的取值范圍.（2）根據(jù)（1）可判斷是方程的兩個(gè)