“美麗”的錯誤-談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何利用“錯誤”資源 論文

“美麗”的錯誤——談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何利用“錯誤”資源【摘要】學(xué)生的錯誤是一筆豐厚的“資源”，這些“資源”能讓你追溯學(xué)生的思路，從中你能看到智慧的火花；這些“資源”能讓你反思你的教學(xué)，從中受益；這些“資源”能讓你看到學(xué)生的欠缺，幫助他們彌補(bǔ)。作為新時代的教師，應(yīng)從課堂教學(xué)出發(fā)，學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，教師一定要平和、理智地看待，并輔之以策略處理，充分利用再生資源，讓“錯誤”美麗起來，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。本文通過結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例闡述了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效利用“錯誤”資源的策略?！娟P(guān)鍵詞】資源辯錯糾錯用錯錯誤在數(shù)學(xué)教學(xué)中是普遍的現(xiàn)象。錯誤的出現(xiàn)與學(xué)生的學(xué)業(yè)水平之間沒有明顯的關(guān)系，無論是學(xué)困生還是優(yōu)等生，作業(yè)都或多或少存在這樣那樣的錯誤。有效地指出學(xué)生錯誤是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容之一，然而實(shí)際的教學(xué)中由于種種原因，卻忽略了另一種“美麗的精彩”——“錯誤”，這種認(rèn)識不僅僅是對精彩課堂的一種誤解，長此以往學(xué)生在課堂上將喪失主體性，沒有思考，不僅課堂將不再精彩，學(xué)生也不能在數(shù)學(xué)上得到很好的發(fā)展。我們教師應(yīng)用資源的眼光看待錯誤，讓學(xué)生在糾錯、改錯中感悟道理，領(lǐng)悟方法，發(fā)展思維，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。數(shù)學(xué)實(shí)踐中學(xué)生出現(xiàn)錯誤是美麗的，是他們最樸實(shí)的思想最真實(shí)的暴露。學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，教師一定要平和、理智地看待，并輔之以策略處理，充分利用再生資源，讓“錯誤”美麗起來。一、通過辨錯深化對知識本質(zhì)的理解 在學(xué)習(xí)過程中，出錯，是因為學(xué)生還不成熟，認(rèn)識問題往往帶有片面性；出錯，是因為學(xué)習(xí)是從問題開始，甚至是從錯誤開始的；出錯，才會有點(diǎn)撥、引導(dǎo)和解惑，才會有研究、創(chuàng)新和超越。教師不應(yīng)將錯誤視之為洪水猛獸，惟恐避之不及，或“快刀斬亂麻”，以一個“錯”字堵住學(xué)生的嘴，再接二連三地提問，直至得出“正確答案”；或親自“上陣”，把正確答案“雙手奉上”；或“堵”或“送”，都置學(xué)生的實(shí)際于不顧?？梢韵氲?，不讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、獲得體驗，企圖直接拉住學(xué)生邁向“錯”的腳步，結(jié)果就可能阻斷他們邁向成功的道路。布魯納說“學(xué)生的錯誤都是有價值的”，教師不僅應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去偽存真”，讓學(xué)生帶著火眼金睛發(fā)現(xiàn)錯誤，還要適當(dāng)?shù)卦O(shè)置一些有一定思維價值、能激發(fā)學(xué)生驚奇感的問題，讓學(xué)生在辨析錯誤的同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探索的興趣，并帶著如何解決這些問題的強(qiáng)烈愿望去遷移知識、分析思考，從而加深對知識本質(zhì)的理解。 【案例1】在探索分式方程“增根”產(chǎn)生的原因之后，筆者出示了一解方程的錯解：x2=3x,等式兩邊同時除以x得x=3,對于這個結(jié)果學(xué)生驚奇了，他們發(fā)現(xiàn)這與他們用常規(guī)解法得出的解少了一個根——x=0，這極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，從而給學(xué)生創(chuàng)造一個尋找“錯誤”的機(jī)會，學(xué)生很自覺地去尋找此解法的錯誤原因。不長時間就有學(xué)生站起來回答說：方程兩邊不能都除以x,因為只有x確保它不為0時才可以使用，而此題x=0恰好是這個方程的一個根，這就出現(xiàn)了“失根”的情況。筆者又適時出示了另一解方程的錯解：x=6x,兩邊都除以x得：1=6，此題同樣因為錯誤地運(yùn)用了等式性質(zhì)2，致使出現(xiàn)了荒唐的結(jié)果。這樣的教學(xué)將課堂的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在辨錯的過程中發(fā)現(xiàn)了知識的聯(lián)系點(diǎn)，鞏固了等式性質(zhì)2的應(yīng)用，相信學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中碰到應(yīng)用等式性質(zhì)2的時候會“小心行事”，避免重蹈覆轍。【案例2】講授同底數(shù)冪的乘法時，對于如何計算2a3·3a2，筆者給出了學(xué)生易出現(xiàn)的三種錯誤答案：2a3·3a2=5a5，2a3·3a2=6a5，2a3·3a2=6a6，以此激發(fā)學(xué)生聯(lián)想多項式乘法，有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等知識，有依據(jù)、有步驟地逐一剖析驗證，并通過剖析錯因，“去偽存真”幫助學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，這樣的辯錯形式不僅喚起了學(xué)生解決問題的欲望，而且激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質(zhì)的理解，有效地促進(jìn)了知識點(diǎn)間的融會貫通。二、通過糾錯培養(yǎng)良好的思維品質(zhì) 教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生能從知識的定義、本質(zhì)出發(fā)辨錯，更要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對錯誤進(jìn)行對癥下藥，幫助學(xué)生找出錯誤的來源并發(fā)展該問題，找到更成熟的解法和一般結(jié)論。筆者嘗試在典型的糾錯過程中讓學(xué)生暴露學(xué)生思維，以積極的態(tài)度去面對錯誤和失敗，通過糾錯回顧解題的思路，引導(dǎo)學(xué)生積極整理思維過程，尋找錯誤原因，尋求出知識點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想方法上的漏缺，概括總結(jié)出一般方法和規(guī)律，使解題過程清晰，思維條理化、精確化和概括化，收到較好的效果（一）、漏解探因，排除思維定勢，培養(yǎng)發(fā)散性思維許多學(xué)生在解題時往往滿足于求出一解，導(dǎo)致不完整解題，引導(dǎo)學(xué)生探究分析出現(xiàn)漏解情況的原因，積累經(jīng)驗，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類的嚴(yán)密性，分類標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)化，促使學(xué)生的思維水平有層次、有步驟地向更優(yōu)化的方向發(fā)展。ABABCDABCDABCD錯解：(1)當(dāng)AB為底邊時，設(shè)AB=10，AD=BD=5，S△ABC=AB·CD=30，∴CD=6,∴AC=BC=(m)。(2)當(dāng)AB為腰時，AB=AC=l0，CD=6,AD==8(m)，BD=2m,∴BC=2(m)。學(xué)生的上述解法雖然進(jìn)行了分類，看似正確，但仍漏了一種情況：當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時，AB=BC=10，AD=AB+BD=l8，∴AC==6(m)。引導(dǎo)學(xué)生思考時，不能忽視圖形的位置或形狀，應(yīng)尋找出它們的內(nèi)在聯(lián)系，探索出一般規(guī)律，思維方式不能單一，對基本圖形的基本性質(zhì)和圖形關(guān)系要熟練掌握，且能正確運(yùn)用。因此，對于本題分類標(biāo)準(zhǔn)達(dá)的制定不僅要考慮到圖形的基本性質(zhì)還需考慮到圖形的位置或形狀。在這兩個基本原則的基礎(chǔ)上再制定分類標(biāo)準(zhǔn)時，可以先按圖形的性質(zhì)分成AB為底邊與AB為腰兩大類后再依據(jù)圖形的位置關(guān)系即以高CD在△ABC的形內(nèi)、形外兩個角度再對前兩類進(jìn)行細(xì)化分類，當(dāng)然亦可先考慮圖形位置再考慮圖形性質(zhì)進(jìn)行分類。（二）、反思出錯過程，重構(gòu)知識，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性在刨根究底的糾錯過程中，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化知識，自覺對自己的認(rèn)知活動進(jìn)行回味、思考、總結(jié)和調(diào)節(jié)，構(gòu)建更清晰、穩(wěn)定、條理化的知識結(jié)構(gòu)，統(tǒng)化到蘊(yùn)含在糾錯過程中的具有方向性、規(guī)律性的數(shù)學(xué)方法與思想?！景咐?】銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC滑動且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN。設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y>0)。MAMADNCPQB圖1BMADNCEFGPQ圖2(2)當(dāng)x=________時，PQ恰好落在BC上；(如圖1)(3)當(dāng)PQ在△ABC外部時(如圖2)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系(注明x的取值范圍)，并求出x為何值時y最大，最大值是多少?典型錯誤在解(3)問中，矩形MEFN的面積y=MN·NF，無法用x表示NF，思路受阻，陷入僵局．在考慮自變量x的范圍時，誤認(rèn)為PQ在BC邊上移動，即0<x<6．在運(yùn)動型幾何問題中，要善于從變中尋不變，正確找出不變的圖形結(jié)構(gòu)或不變的數(shù)量關(guān)系，本題中有△AMN∽△ABC，，，∴NF=，當(dāng)x=3時，y有最大值6。本題在(1)(2)問引導(dǎo)學(xué)生思維循序漸進(jìn)，在變化過程中，始終有△AMN∽△ABC，對應(yīng)高的比等于相似比。在變化過程中，PQ的長度始于(2)問中的特殊位置，∴x的取值范圍為2．4<x<6。引導(dǎo)學(xué)生正確識圖，依據(jù)圖形處理好“動”與“靜”，“瞬間”與“過程”的辯證關(guān)系，正確把握變化的圖形位置中不變的數(shù)量關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成糾錯質(zhì)疑的習(xí)慣，加強(qiáng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練，對思維過程中出現(xiàn)的段落點(diǎn)，進(jìn)行批判性回顧、分析和檢查，在反思糾錯的過程中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法(如觀察、猜想、化歸、構(gòu)造函數(shù)等)解決問題的能力，同時通過剖析錯因，滲透一些常用的數(shù)學(xué)思想方法。三、通過用錯激發(fā)創(chuàng)新思維英國心理學(xué)家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中企圖讓學(xué)生完全避免錯誤是不可能的，也是沒有必要的，而課堂上發(fā)生的錯誤并非是一文不值的，它往往反映了學(xué)生的思維能力，反映了學(xué)生的真實(shí)想法，這其中總會包含著合理的成分。教師應(yīng)該善于巧用錯誤，善于發(fā)現(xiàn)錯誤背后隱藏的教育價值，引領(lǐng)學(xué)生從錯中找出合理的一面，從錯中找出與正確方法之間的聯(lián)系，把“錯誤”資源巧妙地予以運(yùn)用，不僅能讓學(xué)生盡快走出誤區(qū)，并能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維?！景咐?】七年級期末復(fù)習(xí)課中筆者給出了一個化簡題目：并請兩位學(xué)生板演，其中一位學(xué)生通過通分求出正確的結(jié)果，而另一位學(xué)生解的過程是:原式＝3（x-1）+2(2-x)=3x-3+4-2x=x+1當(dāng)筆者點(diǎn)評這個學(xué)生的解法時，引來了一些嘲笑，于是筆者立即問：錯在哪兒呢？學(xué)生回答道：“把方程變形（去分母）搬到解計算題上了，結(jié)果丟了分母?！边@個做錯的學(xué)生面紅耳赤，低下了頭。但這時筆者來了一個“順?biāo)浦?，將錯就錯”：剛才這位同學(xué)把計算題當(dāng)作方程來解，雖然解法錯了，但卻給我們一個啟示，若能將該題去掉分母來解，其“解法”確實(shí)簡潔明快，因此我們能否考慮利用解方程的方法來解它呢？由此一個新穎的解法也出來了。解：設(shè)＝A去分母得：3（x-1）+2(2-x)=6A去括號得：3x-3+4-2x=6A合并同類項得：x+1=6A解得：A=。所以此題的結(jié)果是。（這位做錯題目的學(xué)生終于笑了。）這時學(xué)生都贊嘆這種用方程的解法很有創(chuàng)意，同時這種新穎的解法也喚回了這位學(xué)生的自信。這種化腐朽為神奇，產(chǎn)生了意想不到的效果。其實(shí)，像上面的類似錯誤是我們老師經(jīng)常碰到的，學(xué)生解題錯誤的原因是多方面的，而“錯解”往往有它合理的一面，它多是學(xué)生在新舊知識之間的符號、表象或概念、命題之間的聯(lián)系上出現(xiàn)了編碼錯誤，或是產(chǎn)生負(fù)遷移，這是學(xué)習(xí)過程中的正?，F(xiàn)象。也只有這種真實(shí)的思維才能真正反映出學(xué)習(xí)過程的客觀規(guī)律，它實(shí)際上往往帶有普遍性，因而可以以此作為很好的教學(xué)資源。在數(shù)學(xué)知識的探索中，有錯誤是難免的，正如在人生的旅程中，總是難免有各式各樣的錯誤。因此，檢驗改錯的習(xí)慣正是學(xué)生必不可少的一個發(fā)展性學(xué)習(xí)習(xí)慣。由此，在日常練習(xí)中應(yīng)把檢查和驗算當(dāng)作不可缺少的的步驟，養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣。課堂中學(xué)生出現(xiàn)錯誤是美麗的，錯誤是孩子們最樸實(shí)的思想、經(jīng)驗最真實(shí)的暴露，為此，教師在教學(xué)中要善于捕捉或創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動的時機(jī)，為學(xué)生提供創(chuàng)