1.4無(wú)窮小與無(wú)窮大

當(dāng)1.4無(wú)窮小與無(wú)窮大

一、無(wú)窮小定義1.若時(shí),函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮小.時(shí)為無(wú)窮小.說(shuō)明:1.稱(chēng)一個(gè)函數(shù)為無(wú)窮小必須說(shuō)明自變量的變化趨勢(shì)時(shí),函數(shù)(或)則稱(chēng)函數(shù)為

若(或)則時(shí)的無(wú)窮小.2.除0以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小!3.0可以

看成無(wú)窮小!2、無(wú)窮大記作時(shí),函數(shù)(或)則稱(chēng)函數(shù)為定義2.若(或)則時(shí)的無(wú)窮大.說(shuō)明:1）.稱(chēng)一個(gè)函數(shù)為無(wú)窮大必須說(shuō)明自變量的變化趨勢(shì)例如2）.無(wú)窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).3）.函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真!例如,函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無(wú)窮大!4）.趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，不能視為無(wú)窮小前者絕對(duì)值無(wú)限變大，后者絕對(duì)值無(wú)限變小3、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.定理2.在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明:4、無(wú)窮小運(yùn)算法則

1.有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.

2.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.3.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.4.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.說(shuō)明:無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，例1.求解:利用定理2可知都是無(wú)窮小,引例.但可見(jiàn)無(wú)窮小趨于0的速度是多樣的.二、無(wú)窮小的比較定義.若則稱(chēng)

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱(chēng)

是比

低階的無(wú)窮小;則稱(chēng)

是

的同階無(wú)窮小;則稱(chēng)

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱(chēng)

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作例如,當(dāng)～時(shí)～～又如，故時(shí)是關(guān)于x的二階無(wú)窮小,～且例1.證明:當(dāng)時(shí),～證:～定理.設(shè)且存在