中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題09 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題（解析版）

專題09因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題(解析版)知識(shí)剖析知識(shí)剖析通用的解題思路：經(jīng)典例題經(jīng)典例題第工類：設(shè)點(diǎn)法 (2)∵4=-m2-3m+4,解得m=-3或0,∴拋物線與直線BC的交點(diǎn)為(-3,4)(0,4),交BC于點(diǎn)G,∴P(m,-m2-3m+4),G(m,4),∴PG=-m2-3m+4-4=-m2-3m,∵DOI/BC,∴∵GH=4,∴BG=GH=-m,HE=DE=4+m,∵以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似且∠PGB=∠DEH=90°,∴△PGB∽△DEH,∴∴GB=PG,∴-m=-m2-3m,∴m=-2或m=0(舍),即：m=-2,C.且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式.(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).2=-4a:,:.過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q,又∵拋物線過點(diǎn)C(0,2),3.(雅禮)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,0),且與y軸交于點(diǎn)(0,1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)C為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心，CB為半徑的圓交x軸于M,N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè)).(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出弦(3)當(dāng)△ABM與△ABN相似時(shí)，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).:.拋物線的解析式為.(2)MN的長(zhǎng)不發(fā)生變化.理由：如圖1所示，過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H,連接BC、CN.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為.∵CH⊥MN,∴MH=HN.∵HN2=CN2-CH2=CB2-CH2,(3)如圖2所示：①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí).∵M(jìn)N經(jīng)過點(diǎn)C,∴MN為圓C的直徑.∴MC=2.∵點(diǎn)C(2,0),∴M(0,0)·AABM∽△ANB,∴即AB2=AM·AN.如圖4所示：(1)求∠OCD的度數(shù)；(2)當(dāng)m=3,1<x<3時(shí)，存在點(diǎn)M使得△OPM∽△OCP,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；【解答】解：(1)設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b,解得∴y=-x+m+1,令x=0,得到y(tǒng)=m+1,∴D(0,m+1),令y=0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),;∵△OPM∽△OCP,∴:·:·,CP=√Z,(舍棄),,CP=√z,:(3)不存在.理由如下：①當(dāng)1<x<5時(shí)，如圖1中，00的解析式為y=5x,∴1△<0,∴沒有實(shí)數(shù)根.②當(dāng)x·1時(shí)，如圖2中，③當(dāng)x開時(shí)，如圖3中，拋物線的解析式是聯(lián)立方程經(jīng),解得(不符合題意，舍),a(40.∴△PGA∽△ACB,∴9(1)求拋物線的解析式；(2)圖1中，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過P,B兩點(diǎn)作直線1交y軸于點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)E.是否存在這樣的直線l:以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似?若存在，請(qǐng)求出這樣的直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)圖2中，點(diǎn)C和點(diǎn)C'關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)M在拋物線上，且∠MBA=∠CBC',求M點(diǎn)的橫坐標(biāo).:·:·圖1?圖2?過B(3,0),C(0.3)(2)存在直線l使得以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，當(dāng)l⊥AC時(shí)，以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，∴∠ACD=∠EBO,∴△ACO=△DBO(ASA),∴A(-1,0),∴D(O,1),由B(3,0),D(O,1)的坐標(biāo)得，直線BD的解析式為：(3)連接BM,CC',作C'H⊥BC交BC于H,∵拋物線對(duì)稱軸為直線：∴CH=CH=√2,∵OB=OC=3,∴BC=3√2,∴BH=3√2-√2=2√2,∴由點(diǎn)B、N的坐標(biāo)得，直線BN解析式為：解得：或3(舍去),∴M的橫坐標(biāo),如圖：或。(2)如圖1,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,1),在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△ACP與△CDO相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2,將直線AB平移到直線EF,其中點(diǎn)E為(0,1),點(diǎn)F在x軸上，連接AE,若AE⊥EF且AB=2EF,求k的值.【解答】解：(1)對(duì)由題意可得OD=b,OC=2b,∴圖2令x=0,則y=b,令y=0,則x=2b,∴C(2b,0),D(0,b),(2)存在，∵B(6,1)在和上，.,k=1×6=6,解得b=4,∴OD=4,OC=8,:直線AB的解析式為反比例函數(shù)的解析式為99即P(2,0);即P(2,0);:·:·;9(3)由題意可得平移后的直線EF解析式為,∴F(2,0),∵E(0.1),∴EF=√22+22=√5,過點(diǎn)F作FG⊥AB于G,過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BH⊥AM于點(diǎn)H,如圖，,,HB=2,AH=4,,(2)求直線BD的函數(shù)解析式；【解答】解：(1)∵BO=3AO=3,∴點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)A(-1,0);:拋物線解析式為：·;(2)如圖1,過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,∴CO//DE,∴:.直線BD的函數(shù)解析式為與y軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)C,8如圖2,過點(diǎn)A作AK⊥BD于K,∴DK=√AD2-AK2=√8-4=2,∴DK=AK,∴∠ADB=45°,當(dāng)ABAD∽△BPQ,∴:當(dāng)ADAB∽△BPQ,∴:9.如圖，已知拋物線y=ax2+3ax-4a與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A,與y軸正半軸相交于點(diǎn)B,OB=OA,直線l過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)E.(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,四邊形FAEB的面積為S,請(qǐng)寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷S是否存在最大值，如果存在，求出這個(gè)最大值；并寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.(3)連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得△DBE和△DAC相似?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),∴直線AB的解析式為y=x+4∴DE=-x2-3x+4-(x+4)=-x2-4x(如圖1).①當(dāng)∠DBE=90°時(shí)，∵OA=OB,∴∠OAB=45°,∴∠BDE=∠ADC=45°,②當(dāng)∠BED=90°時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4,∴-m2-3m+4=4,10.如圖，已知拋物線為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，與y軸(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?備用圖【解答】解：(1)拋物線令y=0,解得x=-2或x=4,∴A(-2,0),B(4,0).∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：(2)由拋物線解析式，令x=0,得y=-k,∴C(0,-k),OC=k.以∠ABP為鈍角.因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB①若△ABC∽△APB,則有∠BAC=∠PAB,如答圖2-1所示.設(shè)P(x,y),過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y,因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所tan∠BAC=tan∠PAB,即：代入拋物線解析式解得：x=8或x=-2(與點(diǎn)A重合，舍去),∴P(8,5k).∵△ABC∽△APB,即解得：②若△ABC∽△PAB,則有∠ABC=∠PAB,如答圖2-2所示.設(shè)P(x,y),過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y,,代入拋物線解析式····解得：x=6或x=-2(與點(diǎn)A重合，舍去),,解得k=±√2(3)如答圖3,由(1)知：D(-5,3√3),如答圖2-2,過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N,則DN=3√3,ON=5,BN=4+5=9,過點(diǎn)D作DK//x軸，則∠KDF=∠DBA=30°.過點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G,則由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF,運(yùn)動(dòng)時(shí)間：∴t=AF+FG,即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線AF+FG的長(zhǎng)度值.由垂線段最短可知，折線AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為DK與x軸之間的垂線段.∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2,直線BD解析式為：為直徑的OM交y軸于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N.∠ONE=30°,|x?-x?=8.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接AD、BD,在(1)中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△ABP與△ADB相似(除去全等這一情況)?若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；【解答】解：(1)圓的半徑如答圖1,連接ME,∵·NE是切線，∴ME⊥NE.答圖199:拋物線的解析式為：(2)如答圖2,由拋物線的對(duì)稱性可知：AD=BD,∠DAB=∠DBA.若在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)圖象上存在點(diǎn)P,使△ABP與△ADB相似，必須有∠BAP=∠BPA=∠BAD.設(shè)AP交拋物線的對(duì)稱軸于D點(diǎn)，顯然:∴直線AP的解析式為