2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量的基本概念例1【多選題】如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O為其中心，則下列判斷正確的是（ABC）A.AB=OC B.AB//DE C.解：由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征，知AB與OC方向相同，長(zhǎng)度相等，所以AB=OC，故AAB與DE方向相反，所以AB//DE，故B由正六邊形的性質(zhì)，知AD=BE，故CAD與FC不共線，所以不相等，故D錯(cuò)誤.故選ABC.【點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解向量的概念，請(qǐng)?zhí)貏e注意以下幾點(diǎn):①a//b，有a與b方向相同或相反兩種情形.②向量的模與數(shù)的絕對(duì)值有所不同，如a=b?a=±b.③零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行.④對(duì)于任意非零向量a，aa是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法.變式1（1）下列命題正確的是（B）A.任一向量與它的相反向量都不相等B.長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量C.平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量D.若a≠b解：零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)誤.由相等向量的定義，知B正確.兩個(gè)向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四邊形ABCD中，AB//CD，且AB=CD，但AB≠CD，故C錯(cuò)誤.a≠b，（2）在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則在如圖所示的向量中，相等向量有（AA.1組 B.2組 C.3組 D.4組解：由相等向量的定義,可知題圖中只有一組向量相等，即CE=EA.故選考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算命題角度1向量加、減法的幾何意義例2已知單位向量e1，e2，?,e2024，則e1+解：當(dāng)單位向量e1，e2，?,e2024方向相同時(shí)，e當(dāng)單位向量e1，e2，?,e2024首尾相連時(shí)，則e1+e故填2024；0.【點(diǎn)撥】運(yùn)用三角形法則時(shí)，注意向量三角不等式a-b≤a±b≤a|+|變式2在四邊形ABCD中，若AC=AB+AD，且|ABA.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四邊形解：因?yàn)锳C=AB+AD，所以四邊形ABCD為平行四邊形.因?yàn)锳B+AD=AB-AD，所以AC=命題角度2平面向量的線性運(yùn)算例3如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=4FC，BE=2EC，A.16 B.-16 C.-解：由題意，可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB【點(diǎn)撥】①平面向量的線性運(yùn)算除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量來求解.②求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，通過向量相等或平行得到含參系數(shù)的方程，進(jìn)而求參數(shù)的值.變式3（1）[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，CDA.3m-2n B.-2m解：如圖，因?yàn)镃D=CA+AD=CA+12DB=（2）如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB=（DA.AC-AD B.2AC-2AD解：因?yàn)镃，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD//AB，且AB=2CD.所以AB考點(diǎn)三向量共線定理及應(yīng)用命題角度1向量共線問題例4已知a，b是兩個(gè)不共線的平面向量，向量AB=λa+b，ACA.λ+μ=2 B.λ-μ解：由AB//AC，設(shè)因?yàn)锳B=λa+b，AC=a-μbλ,μ【點(diǎn)撥】a//b?b=λaa≠0是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)，注意待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用.若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.對(duì)于向量共線定理，當(dāng)變式4（1）已知向量a,b不共線，若ka-b與a+2A.-1 B.-12 解：因?yàn)閗a-b與a+2b共線，所以k=λ,2λ=-1,已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a解：依題意，設(shè)a+b=mc，b+c=na，則有(a+b)-b+c=mc-n命題角度2三點(diǎn)共線問題例5（1）設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)平面向量，已知PQ=a+kb，QR=2a-b.若A.-12 B.12 C.解：若P，Q，R三點(diǎn)共線，則PQ→=λQR→?a+（2）已知PA=23PB+tPC，若A,BA.23 B.25 C.1解：因?yàn)镻A=23PB+tPC，且A，B，C三點(diǎn)共線，所以23+t=1.解得t=13，【點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線問題可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.變式5（1）設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量，已知BA=a+2b,BCA.A，B，D三點(diǎn)共線 B.B，C，D三點(diǎn)共線C.A，B，C三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線解：因?yàn)锽A=a+2b，BC=4a-4b，CD=-a+2b，所以AC=AB+BC=3a-6b=-3（2）已知△A