鞍山市重點中學2024屆數學高一下期末經典試題含解析

鞍山市重點中學2024屆數學高一下期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．圓錐的高和底面半徑之比，且圓錐的體積，則圓錐的表面積為（）A． B． C． D．2．已知直線與圓相切，則的值是()A．1 B． C． D．3．為了了解我校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為，第2小組的頻數為12，則抽取的學生總人數是（）A．24 B．48 C．56 D．644．定義運算:.若不等式的解集是空集，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．5．若函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度后得到的函數圖象關于對稱，則的值為A． B． C． D．6．過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．17．設的內角所對邊分別為．則該三角形（）A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．不能確定8．圓與圓的位置關系是（）A．外離 B．相交 C．內切 D．外切9．已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A． B． C．1 D．210．直線過且在軸與軸上的截距相等，則的方程為（）A． B．C．和 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知變量x，y線性相關，其一組數據如下表所示.若根據這組數據求得y關于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.412．學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為100且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖，則支出在元的同學人數為________13．已知向量，則與的夾角為______．14．在中，內角，，所對的邊分別為，，，，且，則面積的最大值為______.15．．已知，若是以點O為直角頂點的等腰直角三角形，則的面積為．16．直線的傾斜角為_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前n項和為，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）證明：.18．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．五一放假期間高速公路免費是讓實惠給老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某時間段內車流量(單位:千輛/小時)與汽車的平均速度(單位:千米/小時)之間滿足的函數關系（為常數），當汽車的平均速度為千米/小時時，車流量為千輛/小時.（1）在該時間段內，當汽車的平均速度為多少時車流量達到最大值？（2）為保證在該時間段內車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？20．已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點．(Ⅰ)求證：PC∥平面EBD；(Ⅱ)求證：平面PBC⊥平面PCD．21．已知冪函數的圖像過點.（1）求函數的解析式；（2）設函數在是單調函數，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據圓錐的體積求出底面圓的半徑和高,求出母線長，即可計算圓錐的表面積．【詳解】圓錐的高和底面半徑之比，∴，又圓錐的體積，即，解得；∴，母線長為，則圓錐的表面積為．故選：D．【點睛】本題考查圓錐的體積和表面積公式，考查計算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

利用直線與圓相切的條件列方程求解.【詳解】因為直線與圓相切，所以，，，故選D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，通常利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系進行判斷，考查運算能力，屬于基本題.3、B【解析】

根據頻率分布直方圖可知從左到右的前3個小組的頻率之和，再根據頻率之比可求出第二組頻率，結合頻數即可求解.【詳解】由直方圖可知，從左到右的前3個小組的頻率之和為，又前3個小組的頻率之比為，所以第二組的頻率為，所以學生總數，故選B.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率，頻數，總體，屬于中檔題.4、B【解析】

根據定義可得的解集是空集，即恒成立，再對分類討論可得結果.【詳解】由題意得的解集是空集，即恒成立.當時，不等式即為，不等式恒成立；當時，若不等式恒成立，則即解得.綜上可知:.故選：B【點睛】本題考查了二次不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于基礎題.5、C【解析】

先由題意求出平移后的函數解析式，再由對稱中心，即可求出結果.【詳解】函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度后,可得函數的圖像，又函數的圖象關于對稱，，，故，又，時，.故選C.【點睛】本題主要考查由平移后的函數性質求參數的問題，熟記正弦函數的對稱性，以及函數的平移原則即可，屬于?？碱}型.6、B【解析】

利用重心以及向量的三點共線的結論得到的關系式，再利用基本不等式求最小值.【詳解】設重心為，因為重心分中線的比為，則有，，則，又因為三點共線，所以，則，取等號時.故選B.【點睛】（1）三角形的重心是三條中線的交點，且重心分中線的比例為；（2）運用基本不等式時，注意取等號時條件是否成立.7、C【解析】

利用正弦定理以及大邊對大角定理求出角，從而判斷出該三角形解的個數．【詳解】由正弦定理得，所以，，，，或，因此，該三角形有兩解，故選C.【點睛】本題考查三角形解的個數的判斷，解題時可以充分利用解的個數的等價條件來進行判斷，具體來講，在中，給定、、，該三角形解的個數判斷如下：（1）為直角或鈍角，，一解；，無解；（2）為銳角，或，一解；，兩解；，無解.8、D【解析】

根據圓的方程求得兩圓的圓心和半徑，根據圓心距和兩圓半徑的關系可確定位置關系.【詳解】由圓的方程可知圓圓心為，半徑；圓圓心為，半徑圓心距為：兩圓的位置關系為：外切本題正確選項：【點睛】本題考查圓與圓的位置關系的判定，關鍵是能夠通過圓的方程確定兩圓的圓心和半徑，從而根據圓心距和半徑的關系確定位置關系.9、C【解析】

利用等比數列的前項和公式列出方程組，能求出首項．【詳解】等比數列的前項和為，，，，解得，．故選：．【點睛】本題考查等比數列的首項的求法，考查等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10、B【解析】

對直線是否過原點分類討論，若直線過原點滿足題意，求出方程；若直線不過原點，在軸與軸上的截距相等，且不為0，設直線方程為將點代入，即可求解.【詳解】若直線過原點方程為，在軸與軸上的截距均為0，滿足題意；若直線過原點，依題意設方程為，代入方程無解.故選:B.【點睛】本題考查直線在上的截距關系，要注意過原點的直線在軸上的截距是軸上的截距的任意倍，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4.3【解析】

由所給數據求出，根據回歸直線過中心點可求解．【詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【點睛】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質是解題關鍵，即回歸直線必過中心點．12、30【解析】

由頻率分布直方圖求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同學的人數，得到答案．【詳解】由頻率分布直方圖，可得支出在元的概率，，所以支出在元的同學的人數為人．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及概率的計算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質，合理求得相應的概率是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．13、【解析】

設與的夾角為，由條件，平方可得，由此求得的值．【詳解】設與的夾角為，，則由，平方可得，解得，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義，向量的模的定義，已知三角函數值求角的大小，屬于中檔題．14、【解析】

根據正弦定理將轉化為，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根據面積公式求解.【詳解】根據正弦定理可轉化為，化簡得由余弦定理得因為所以，當且僅當時取所以則面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15、4【解析】由得；由是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，.由得.又，則，所以又，則，則，所以所以；則則的面積為16、【解析】

先求得直線的斜率，由此求得對應的傾斜角.【詳解】依題意可知，直線的斜率為，故傾斜角為.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線斜率和傾斜角的計算，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）將已知遞推式取倒數得，，再結合等比數列的定義，即可得證；（2）由（1）得，再利用基本不等式以及放縮法和等比數列的求和公式，結合不等式的性質，即可得證．【詳解】（1），，可得，即有，可得數列為公比為2，首項為2的等比數列；（2）由（1）可得，即，由基本不等式可得，，即有．【點睛】本題考查等比數列的定義和通項公式、求和公式、考查構造數列法以及放縮法的運用，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．18、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據二倍角公式,三角形內角和,所以,整理為關于的二次方程，解得角的大?。唬?）根據三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據余弦定理再求，最后根據證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考點：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面積公式.【方法點睛】本題涉及到解三角形問題，所以有關三角問題的公式都有涉及，當出現時，就要考慮一個條件，,,這樣就做到了有效的消元，涉及三角形的面積問題，就要考慮公式,靈活使用其中的一個.19、（1）當汽車的平均速度時車流量達到最大值。（2）【解析】

（1）首先根據題意求出，再利用基本不等式即可求出答案.（2）根據題意列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）有題知：，解得.所以，因為，當且僅當時，取“”.所以當汽車的平均速度時車流量達到最大值.（2）有題知：，整理得：，解得：.所以當時，在該時間段內車流量至少為千輛/小時.【點睛】本題第一問考查利用基本不等式求最值，第二問考查了二次不等式的解法，屬于中檔題.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】試題分析：（1）連，與交于，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；

（2）證明，即可證得平面平面．試題解析：(Ⅰ)連接AC交BD與O，連接EO,∵E、O分別為PA、AC的中點，∴EO∥PC，∵PC?平面EBD，EO?平面EBD∴PC∥平面EBD(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD為正方形，∴BC⊥CD，∵PD∩CD＝D,PD、CD?平面PCD∴BC⊥平面P