FY2024蘇科版新八年級數(shù)學(xué)暑假大師課-第07講 等邊三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）

第07講等邊三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）

了解等邊三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。

1密基礎(chǔ)知識一）

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIII-----------------------

一.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

二.等邊三角形的判定

（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若己知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三

個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°,則用判定定理2來證明.

三.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)

為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，

解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直

角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一?/p>

三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°

的角判定.

jQ考點剖析］

lllllllllllllllllllllllllllillllllllllllt---------------------

一.等邊三角形的性質(zhì)（共9小題）

1.（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，在等邊△ABC中，8。平分NABC交AC于點。，過點。作。EJ_BC

于點E,且CE=1.5,則AB的長為（）

A.3B.4.5C.6D.7.5

【分析】由在等邊三角形4BC中，DELBC,可求得NC￡>E=30°,則可求得CO的長，又由BO平分乙48c

交AC于點Q,由三線合一的知識，即可求得答案.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

.,.NA3C=NC=60°,AB=BC=AC,

'：DE1BC,

；.NCDE=30°,

；EC=1.5,

:.CD=2EC=3,

：BO平分/ABC交AC于點D,

：.AD=CD=3,

：.AB=AC=AD+CD=6.

故選：C.

【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.（2022秋?姜堰區(qū)月考）如圖，在等邊△ABC中，AB=4cm,BQ平分NABC,點E在BC的延長線上，

且/E=30°,則CE的長是（）

D

Bc.E

A.\ctnB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?.?等邊△ABC的邊長AB=4c"z,8。平分NABC,

ZACB=60°,DC=AD—2cm,

VZ￡=30°,ZE+ZEDC=ZACB,

：.ZEDC=60°-30°=30°=NE,

：.CD=CE=2cm,

故選：B.

【點評】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的三線合一解答.

3.（2022秋?常州期中）如圖，ZXABC是等邊三角形，P為BC上一點，在AC上取一點。，使AZ）=AP,

且NAPO=70°,則/以B的度數(shù)是（）

【分析】由已知條件A￡>=AP可知乙4OP=NAP。，結(jié)合NAP￡>=70°可得NAOP的度數(shù)，從而得到/以。

的度數(shù)：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到NBAC=60°,結(jié)合NB4B=NBAC-N心力即可解答此題.

【解答】解：??,A￡?=AP,

：.ZADP^ZAPD.

"：ZADP=ZAPD,NAPD=70°,

.?.乙40P=70°,ZB4D=40°.

???△ABC是等邊三角形，

：.ABAC=6Q°,

AZPAB=（）0°-40°=20°.

故選：C.

【點評】本題主要考查等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)，可以結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)進行解答.

4.（2022秋?海門市期末）如圖，Z\ABC是等邊三角形，80是中線，延長2c至E,使CE=CD,DF±

BE,垂足為點F.

（1）求證：CE=2CF；

（2）若CF=2,求△ABC的周長.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知NACB=60°,再由?？贚BE可知NQFC=90°,ZFDC=90°

-NC=30°,由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）由CF=2可得出CD=4,故可得出AC的長，進而可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：???△ABC為等邊三角形，

AZACB=60°,

\'DF±BE,

：.ZDFC=90°,NFDC=90°-NC=30°,

:.DC=2CF.

,:CE=CD

：.CE=2CFi

（2）解：：CF=2,由（1）知CE=2CF,

：.DC^2CF=4.

:△ABC為等邊三角形，8。是中線，

.,.AB=BC=AC=2OC=8,

ZSABC的周長=AB+AC+BC=8+8+8=24.

【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?啟東市期末）如圖，AABC是等邊三角形,4）是8c邊上的中線，點E在上，且￡>E=18C,

則NAFE=()

A.100°B.105°C.110°D.115°

【分析1根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N8AC=60°,NBAQ=L/BAC=30°,ADLBC,BD=CD=』BC,

22

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到N￡?EC=NDCE=45°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

?,.ZBAC=60",

?.?AD是8c邊上的中線，

：.ZBAD=1-/BAC=30°,ADLBC,BD=CD=1-BC,

22

：.ZCDE=90°,

?：DE=^BC,

2

：.DE=DC,

：.ZDEC^ZDCE^45°,

AZAEF=ZDEC=45°,

，N4FE=180°-NBAD-NAEF

=180°-30°-45°

=105°,

故選：B.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，。為8c邊上的中點，以A為圓心，A。為半徑畫弧,

與AC邊交點為E,則/AOE的度數(shù)為（）

A.60°B.105°C.75°D.15°

【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可求出ND4C=30°,結(jié)合A。等于AE求出NAQE的度數(shù)即可.

【解答】解：在等邊AABC中，。為8C邊上的中點，

Z.ZDAC=30°（三線合一），

在△4OE中，AD=AE,

.,.ZA￡D=ZAD￡=A(180°-30°)=75°,

2

故選：C.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于能夠熟練掌握該知識并進行合

理運用.

7.（2022秋?如皋市期中）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC,AB于點E,F,連接CF,若

△AFC是等邊三角形，則NB的度數(shù)是（）

C.30°D.15°

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到/B=NBCF,再利用等邊三角形的性質(zhì)得到NAFC=60°,從而可得

NB的度數(shù).

【解答】解：垂直平分BC,

：.BF=CF,

ZB=NBCF,

?.?△4CF為等邊三角形，

/.ZAFC=60°,

：.ZB=ZBCF=30°.

故選：C.

【點評】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直

平分線的性質(zhì)得到

8.（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，D,E分別是AC,BC上的點，若

ZC￡D=25°,則NBAE=50°.

A

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得/C=/B4C=60°,從而利用三角形的外角性質(zhì)可得/AZ）E=85°,

然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得/4即=/4力日=85°,從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得NZME=10°,

最后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

.?.NC=/8AC=60°,

'：ZCED=25°,

.?./ADE=/CE￡>+NC=85°,

\'AE=AD,

.?.NAE￡）=/A￡>E=85°,

，ZDAE=180°-ZAED-ZADE=10°,

：.ZBAE^ZBAC-ZDAE=60Q-10°=50°,

故答案為：50.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）閱讀材料：

如圖，△ABC中，AB=AC,尸為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為門，底，腰上的高為/?,連

■+^AC,r2=yAB-h,

接AP,貝|JSAABP+SZ\ACP=SAABC,即：—1ri+r2=/i（定值）.

（1）類比與推理

如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形"，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形

內(nèi)任一點”，即：已知等邊△ABC內(nèi)任意一點P到各邊的距離分別為八，，2,，3,等邊AABC的高為/?,試

證明r\+ii+n—h（定值）.

（2）理解與應(yīng)用

△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,BC=6,AABC內(nèi)部是否存在一點O,點O到各邊的距離相等？

存在（填“存在”或“不存在”），若存在，請直接寫出這個距離r的值，r=2.若不存在，請說明

【分析】（1）連接AP,BP,CP.根據(jù)三角形ABC的面積的兩種計算方法進行證明;

（2）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等進行求作.

【解答】證明：（1）連接4P,BP,CP.

則SAABP+SZSBCP+S4ACP=14BC,

t5Jw,,

lyAB*r3+yBC*r1+^ACr2=yABh

VAAfiC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,

.'.ri+n+r3=h（定值）；

（2）存在.

r—2.

【點評】此題主要是考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積公式.注意：直角三角

形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊.

等邊三角形的判定（共6小題）

10.（2022秋?吳江區(qū)校級月考）若一個三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60°,那么這個三角形一定

為（）

A.鈍角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.正三角形

【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解.

【解答】解：根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為正三角形.

故選：D.

【點評】此題考查學(xué)生對有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形的運用.

11.（2022秋?梁溪區(qū)期中）如圖所示，在等腰△ABC中，AB^AC,4尸為BC的中線，。為A尸上的一點,

且BD的垂直平分線過點C并交BD于E.

求證：△BCQ是等邊三角形.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AF_L8C，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出3￡>=Z）C,BC=CD,推出3。

=DC=BC,根據(jù)等邊三角形的判定得出即可.

【解答】證明：4/為BC的中線，

：.AFLBC,

：.BD=DC,

：CE是BO的垂直平分線，

：.BC=CD,

：.BD=DC=BC,

/\BCD是等邊三角形.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運用定

理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?淮安期末）三角形的三邊長a,b,c滿足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0,那么這個三角形

一定是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰非等邊三角形D.鈍角三角形

【分析】利用偶次方及絕對值的非負性可得出a-》=0,b-c—0,c-a—0,進而可得出a=b=c,再結(jié)合

/b,c是三角形的三邊長，即可得出這個三角形是等邊三角形.

【解答】解：：（a-b）4+Cb-c）2+\c-a\=0,

'.a-b=0,b-c=0,c-a=0,

??C?

又,：a,b,c是三角形的三邊長，

，這個三角形是等邊三角形.

故選：B.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定、偶次方及絕對值的非負性，牢記三條邊都相等的三角形是等邊三

角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?吳江區(qū)校級月考）在邊長為9的等邊三角形4BC中，點。是BC上一點，點尸是48上一

動點，以每秒1個單位的速度從點4向點8移動，設(shè)運動時間為f秒.

（1）如圖1,若BQ=6,PQ//AC,求，的值；

（2）如圖2,若點尸從點A向點8運動，同時點。以每秒2個單位的速度從點2經(jīng)點C向點A運動，當

f為何值時，△APQ為等邊三角形？

圖1圖2

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得/BQP=NC=60°,NBPQ=NA=60°,從而得出△8PQ是等邊三角形,

列方程求解即可；

（2）根據(jù)點。所在的位置不同，分類討論△APQ是否為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到等量

關(guān)系，列方程求解即可.

【解答】解：（1）如圖1,,?△ABC是等邊三角形，PQ〃AC,

：.ZBQP^ZC=60°,ZBPQ^ZA=60",

又/B=60°,

,NB=NBQP=ZBPQ,

...△BPQ是等邊三角形，

：.BP=BQ,

由題意可知：AP=t,則BP=9-f,

A97=6,

解得：，=3,

.,.當，的值為3時，PQ//AC；

(2)如圖2,①當點。在邊BC上時,

此時△APQ不可能為等邊三角形;

②當點。在邊AC上時，

若△APQ為等邊三角形，則AP=AQ,

由題意可知，AP=t,BC+CQ=2f,

：.AQ=BC+AC-(BC+C。)=9+9-2/=18-It,

即：18-2t=t,解得：f=6,

.?.當f=6時，△AP。為等邊三角形.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形、等腰三角形、以及全等三角形的綜合運用，以動點問

題為背景，根據(jù)等邊三角形、等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)尋找等量關(guān)系，再列方程求解，能根據(jù)題

目要求進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

14.(2022秋?常州期中)如圖，AB=AC,ZBAC=120°,ADLAC,AE±AB.

(1)求NC的度數(shù)；

(2)求證：△AOE是等邊三角形.

【分析】(1)因為AB=AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個底角相等，又N84C=120。，根

據(jù)三角形內(nèi)角和，可求出NC的度數(shù)為30°.

(2)AD±AC,AE1AB,ZADE^ZAED=60Q,三個角是60°的三角形是等邊三角形.

【解答】(D解：：AB=AC,ZBAC=120°,

AZB=ZC=30°,

故答案為：30°.

(2)證明：?；N8=NC=30°,ADLAC,AELAB.

/4￡>C=NAEB=60°,

，ZADC=NAEB=ZEAD=60°,

...△ADE是等邊三角形.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的底角相等，以及等邊三角形的判定定理，三個角是60°

的三角形，是等邊三角形.

15.(2022秋?江都區(qū)校級月考)等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點。在△ABC外，且NABP=N4CQ,

8P=CQ,問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論.

【分析】先證aABP絲ZVIC。得AP=AQ,再證/%Q=60°,從而得出△APQ是等邊三角形.

【解答】解：△AP。為等邊三角形.

證明：?:△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC.

在AAB尸與△AC。中，

，AB=AC

,?,<ZABP=ZACQ>

BP=CQ

:./\ABPmXACQ(SAS).

：.AP^AQ,NBAP=NCAQ.

,.?/B4C=/BAP+/%C=60°,

.NB4Q=NC4Q+N勿C=60°,

/\APQ是等邊二角形.

【點評】考查了等邊三角形的判定及全等三角形的判定方法.

三.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）

16.（2022秋?梁溪區(qū)期中）一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛100海里到達B地,

再由B地向北偏西20°的方向行駛100海里到達C地，則A,C兩地相距（）

C.60海里D.40海里

【分析】先求得/CBA=60°,然后可判斷△ABC為等邊三角形，從而可求得AC的長.

【解答】解：如圖所示：連接AC.

?.?點B在點A的南偏西40°方向，點C在點B的北偏西20°方向,

.?.NABQ=40°,/CBD=20°,

:./ABO+/C8O=60°.

又,：BC=BA,

.'.△ABC為等邊三角形.

.?.AC=BC=AB=100海里.

故選：A.

北

【點評】本題主要考查的是方向角、等邊三角形的性質(zhì)和判定，證得△A8C為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

17.(2022秋?玄武區(qū)期中)如圖，ZVIBC為等邊三角形，BQ_LAC交AC于點。，DE〃BC交AB于■點E.

(1)求證：△ADE是等邊三角形.

(2)求證：AE=^AB.

2

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可.

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：(1);△ABC為等邊三角形，

.,.NA=/A8C=/C=60°.

'：DE//BC,

：.ZAED=ZABC=60°,NAOE=NC=60°.

...△AOE是等邊三角形.

(2)?.'△ABC為等邊三角形,

：.AB=BC=AC.

0平分NABC,

:.AD=1AC.

2

?..△AOE是等邊三角形，

：.AE=AD.

:.AE=1AB.

2

【點評】此題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答.

18.(2022秋?姑蘇區(qū)期中)如圖，在四邊形ABCO中，AB=AD,CB=CD,NA=60°,點E為上一

點，連接8。，CE交于點F,CE//AB.

(1)判斷△OEF的形狀，并說明理由；

(2)若A￡>=12,CE=8,求C尸的長.

.E

54------F/}>D

C

【分析】(1)先證明△ABO是等邊三角形，可得/ABO=/4￡>B=60°,由平行線的性質(zhì)可得/CEE>=/

ADB=NDFE=60°,可得結(jié)論：

(2)由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求AE=CE=8,即可求解.

【解答】解：(1)是等邊三角形，

理由如下：'：AB=AD,/A=60°,

...△ABO是等邊三角形，

AZABD=ZADB=60a,

'：CE//AB,

.?./CEC=N4=60°,ZDFE^ZABD=60°,

NCED=NADB=NDFE,

...△￡>EF是等邊三角形；

(2)連接AC交BD于點0,

'：AB=AD,CB=CD,

...AC是8。的垂直平分線,

即ACVBD,

'：AB=^AD,NBAD=60°,

.'.ZBAC=ZDAC=30Q,

,JCE//AB,

：.ZBAC=ZACE=ZCAD=30°,

：.AE=CE=S,

：.DE=AD-AE^U-S=4,

?..△OE尸是等邊三角形，

:.EF=DE=4,

.?.CF=CE-M=8-4=4.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明AE=CE是解題的關(guān)鍵.

19.（2022秋?南通期末）已知等邊△A8C的邊長為5,點。為直線BC上一點，BD=\,交直線

AC于點E,則DE的長為4或6.

【分析】分0在線段BC上，和。在線段CB的延長線上，兩種情況，討論求解即可.

【解答】解：①當。在線段BC上，如圖：

?等邊△ABC的邊長為5,

.,.NA=N8=NC=60°,AB=AC=BC=5,

?；BD=l,

：.CD=BC-BD=4,

,:DE〃AB,

；.NEDC=NB=60°,ZD￡A=ZA=60°,

.?.△DEC為等邊三角形，

：.DE=CD=4；

②當。在線段CB的延長線上，如圖：

同法可得：△OEC為等邊三角形，

：.DE=CD=BC+BD=6；

綜上：OE的長為：4或6；

故答案為：4或6.

E

【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握，兩直線平行，同位角相等，證明三角形是等邊三

角形，是解題的關(guān)鍵.注意，分類討論.

20.(2022秋?鼓樓區(qū)校級月考)如圖所示，在等邊△ABC中，AB=9cm,點P從點C出發(fā)沿CB邊向點8

以2cm/s的速度移動，點。從點8出發(fā)沿BA邊向點A以5cm/s的速度移動.P,。兩點同時出發(fā)，它們移

動的時間為ts.

(1)你能用含的式子表示2尸和8。的長度嗎？請你表示出來.

(2)請問幾秒后，△PB。第一次為等邊三角形？

(3)若P,。兩點分別從C,8兩點同時出發(fā)，并且按順時針方向沿△ABC三邊運動，請問經(jīng)過幾秒后點

P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可求得BC的長，用f可表示出BP和BQ的長；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可知8Q=8P,可得到關(guān)于/的方程，可求得■的值；

(3)設(shè)經(jīng)過r秒后第一次相遇，由條件可得到關(guān)于f的方程，可求得f的值，可求得點P走過的路程，可

確定出P點的位置.

【解答】解：(1);△ABC為等邊三角形，

.'.BC=AB=9cm,

???點P的運動速度為2cm/s,運動時間為ts,

：.BP=BC-CP=（9-2，）cm.

??,點Q的運動速度為5cm/s,運動時間為ts,

/.BQ=5t(cm)；

(2)若△P3Q為等邊三角形，

則有3Q=BP,即9-21=5"解得r=9,

7

???幺時，△PB。第一次為等邊三角形；

7

(3)設(shè)As時、Q與P第一次相遇，

根據(jù)題意得5f-2f=18,解得f=6,

即6s時，兩點第一次相遇.

當f=6s時，P走過的路程為2X6=12cm,

而9V12C18,即此時P在AB邊上，

.?.經(jīng)過6秒后點P與點。在AB上第一次相遇.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、方程思想等知識.該題為運動型題目，解決這類問題的關(guān)

鍵是化“動”為“靜”，即用時間和速度表示出線段的長.

21.(2022秋?泰州月考)如圖，已知點。、E在△ABC的邊BC上，AB=AC,AD=AE.

(1)求證：BD—CE；

(2)若AO=BO=OE=CE,求/BAE的度數(shù).

【分析】(1)作AFL8c于點F,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到8F=CF,DF=EF,相減后即可得

到正確的結(jié)論.

(2)根據(jù)等邊三角形的判定得到△4OE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角

的和差關(guān)系即可求解.

【解答】(1)證明：如圖，過點A作A凡LBC于F.

9

：AB=ACfAD=AE.

:?BF=CF,DF=EF,

：.BD=CE.

t

(2)：AD=DE=AEf

―?/\ADE是等邊三角形，

：.ZDAE=ZADE=60<3.

*：AD=BD,

：.ZDAB=ZDBA.

：.ZDAB^^ZADE=30°.

2

r.ZBAE=ZBAD+ZDAE=90°.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用等邊三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

22.(2022秋?沐陽縣期中)已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM,aCBN都是等邊三角形，AN

交MC于點E,BM交CN于點F.

(1)求證：AN=BM；

(2)求證：△CEF為等邊三角形.

【分析】(1)由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進而可由SAS得到AACN絲△MCB,結(jié)論

得證；

(2)由(1)中的全等可得NC4N=NCM8,進而得出/4CE,由AS4得出△C4Eg/\CMF,即

CE=CF,又ECF=60°,所以△CEF為等邊三角形.

【解答】證明：(1)?.?△ACM,ZiCBN是等邊三角形，

：.AC=MC,BC=NC,ZACM^ZNCB=60°,

NACM+NMCN=NNCB+NMCN,即NACN=NMCB,

在△ACW和△A/C8中，

'AC=MC

:NACN=/HCB，

NC=BC

:.△ACNWXMCB(SAS),

(2):△CAN之△CMB,

:./CAN=NCMB,

又YNMC尸=180°-NACM-NNCB=180°-60°-60°=60°,

：.ZMCF=NACE,

在△CAE和△CMF中，

，ZCAE=ZCMF

V<CA=CM，

ZACE=ZMCF

：.l\C\E仝XCMF(ASA),

:.CE=CF,

??.△CEF為等腰三角形，

又：NEC尸=60°,

.?.△CE尸為等邊三角形.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用.

23.(2022秋?啟東市校級月考)數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：

例I：等腰三角形ABC中，ZA=110°,求的度數(shù).(答案：35°)

例2：等腰三角形ABC中，ZA=40°,求NB的度數(shù).(答案：40°或70°或100°)

張老師啟發(fā)同學(xué)們進行變式，小敏編的題目如下：

變式題：等腰三角形ABC中，/A=80°,求的度數(shù).

(1)請你解答上面的變式題.

(2)請繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形A8C中，ZA=60°,則NB的度數(shù)為6完.

(3)根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，NA的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.請你直接寫出當/A

滿足什么條件時，能得到三個不同的度數(shù).

【分析】(1)Z4是頂角，則NB是底角，根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等即可求解；NB是頂角，則NA

是底角，則根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；NC是頂角，則NB與/

A都是底角，根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等即可求解；

(2)分兩種情況：①90&V180；②0<x<90,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：(1)當乙4=80°為頂角時，

/8=18。°-NA=50。.

2

當是頂角，則乙4是底角，則/8=180°-80°-80°=20°；

當NC是頂角，則N8與NA都是底角，則/8=乙4=80°,

綜上所述，NB的度數(shù)為50°或20°或80°；

(2)因為有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，所以/8=60°,

故答案為：60°.

(3)分兩種情況:設(shè)乙4=x。，

①當90WxV180時,Q4只能為頂角,

.../2的度數(shù)只有一個；

②當0<x<90時，

若NA為頂角，則NB=(180。-X)°.

若NA為底角，NB為頂角，則NB=(180-2%)°；

若NA為底角，N8為底角，則/B=x°.

當也也——180-2%且180-2xWx且工^———^x,

22

即xW60時，NB有三個不同的度數(shù).

綜上所述，可知當0°<ZA<90°且xK60°時，NB有三個不同的度數(shù).

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

24.(2022秋?銅山區(qū)校級月考)已知：如圖，△D4C、△EBC均是等邊三角形，點A、C、B在同一條直

線上，且AE、8。分別與CD、CE交于點M、N.求證：

(1)AE=DB；

(2)△CMN為等邊三角形.

【分析】(1)根據(jù)△D4C、均是等邊三角形，求證△4CE名△￡?(SAS)即可得出結(jié)論.

(2)由(1)可知：AACE公ZXDCB,和△D4C、/XEBC均是等邊三角形，求證△ACM絲△QCN(ASA)即

可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1△EBC均是等邊三角形，

：.AC=DC,EC=BC,N4CO=N8CE=60°,

ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,即ZACE=ZDCB.

"AC=DC

在AACE和aOCB中，，ZACE=ZDCB

EC=BC

A(SAS).：.AE=DB.

（2）由（1）可知：△ACE^XDCB,

：./C4E=/CDB,即ZCAM=ZCDN.

?.?△D4C、△EBC均是等邊三角形，

.'.AC=DC,ZACM=ZBCE=60°.

又點A、C、5在同一條直線上，

.,./￡>CE=180°-ZACD-ZBCE=180°-60°-60°=60°,

即/DCN=60°.:.NACM=NDCN.

rZCAM=ZCDN

在△ACM和△OCN中,<AC=DC

ZACM=ZDCN

...△ACM四△DCN（ASA）.

：.CM=CN.又NDCN=60°,

...△CMN為等邊三角形.

【點評】此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等

知識點的理解和掌握，此題難度不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題.

*⑨真題演練、

----------------------lllllltllllllllllllllllllllllllllllllllll------------------------

一.選擇題（共5小題）

1.（2022秋?梁溪區(qū)期中）下列命題不正確的是（）

A.等腰三角形的底角不能是鈍角

B.等腰三角形不能是直角三角形

C.若一個三角形有三條對稱軸，那么它一定是等邊三角形

D.兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形可以拼成一個等邊三角形

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定的知識，對各選項逐項分析，即可得出結(jié)果.

【解答】解：本題可采用排除法；

A、利用等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等，若兩底角均為鈍角，不能構(gòu)成三角形，故這種說法

錯誤，故不選A：

8、舉反例：等腰直角三角形，故B不正確.

即答案選B.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要對所學(xué)過的知

識進行總結(jié)和復(fù)習(xí)，以便靈活的運用所學(xué)的知識.

2.（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，NAO8=60°,OA=OB,動點C從點。出發(fā)，沿射線08方向移

動，以AC為邊在右側(cè)作等邊△AC。，連接BD,則8力所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是（）

C.垂直D.平行、相交或垂直

【分析】先判斷出OA=OB,ZOAB=ZABO,分兩種情況判斷出NA8C=NAOB=60°,進而判斷出aAOC

也△A8D,即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?乙4。8=60°,OA=OB,

/\OAB是等邊三角形，

：.OA=AB,ZOAB=ZABO=60°

①當點C在線段。8上時，如圖1,

?.?△ACD是等邊三角形，

：.AC=AD,NC4O=60°,

：.ZOAC=ZBAD,

，OA=BA

在△AOC和△ABD中，，NOAC=/BAD，

AC=AD

.?.△A0d4B。(SAS),

AZABD=ZAOC=60°,

：.ZDBE^\80°-ZABO-ZABD=60°=NAOB,

J.BD//OA,

②當點C在OB的延長線上時，如圖2,

同①的方法得出OA//BD,

是等邊三角形，

：.AC=AD,NCA￡）=60°,

：.ZOAC=ZBAD,

"OA=BA

在△AOC和△48。中，，Z0AC=ZBAD>

AC=AD

...△AOCg/MB。（SAS）,

AZABD=ZAOC=GO0,

AZDBE=1800-ZABO-ZABD=60Q=NAOB,

J.BD//OA,

故選:A.

BC

圖2

【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出NABQ=60°是解本

題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?射陽縣校級月考）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時針方向（圖中箭頭方向）

標注各等分點的序號0、1、2、3、4、5、6、7、8,將不同邊上的序號和為8的兩點依次連接起來，這樣就

建立了“三角形”坐標系.在建立的“三角形”坐標系內(nèi)，每一點的坐標用過這一點且平行（或重合）于

原三角形三條邊的直線與三邊交點的序號來表示（水平方向開始、按順時針方向、取與三角形外箭頭方向

一致的一側(cè)序號），如點A的坐標可表示為（1,2,5）,點8的坐標可表示為（4,3,1）,按此方法,

若點C的坐標為（2,tn,w-2），則"?=（）

A.2B.3C.4D.6

【分析】根據(jù)點A的坐標可表示為（1,2,5）,點8的坐標可表示為（4,3,1）,得到經(jīng)過該點的三條

直線對應(yīng)著等邊三角形三邊上的三個數(shù)，依次為左，上，下，即可解答.

【解答】解：由題意得：

點C的坐標為（2,4,2）,

故選：C.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?揚州期中）在下列結(jié)論中：

（1）有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形

（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形

（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形

（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形

其中正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個內(nèi)角都

相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題.

【解答】解：（1）：因為外角和與其對應(yīng)的內(nèi)角的和是180°,已知有一個外角是120°,即是有一個內(nèi)

角是60°,有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.該結(jié)論正確.

（2）：兩個外角相等說明該三角形中兩個內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三

角形是等邊三角形.該結(jié)論錯誤.

(3)：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是

等邊三角形.該結(jié)論錯誤.

(4)：三個外角都相等的三角形是等邊三角形.正確；

故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用的等邊三角形的判定方法解決問題.

5.(2022秋葉B江區(qū)月考)如圖，直線〃?〃“，△ABC是等邊三角形，頂點8在直線"上，直線〃i交AB

于點E,交AC于點凡若Nl=140°,則N2的度數(shù)是()

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NA=/B=NC=60°,由三角形外角的性質(zhì)可得NAEF的度數(shù),

由平行線的性質(zhì)可得同旁內(nèi)角互補，可得結(jié)論.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

二/A=60°.

對于△4EF,"：Z\=ZA+ZAEF=\40Q,

/.ZA￡F=140°-60°=80°,

：.NDEB=NAEF=80°,

m//n,

：.Z2+ZDEB=180°,

.,.Z2=180°-80°=100°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，題目比較基礎(chǔ)，熟練學(xué)

握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共13小題）

6.（2022秋?江陰市期中）已知△ABC中，A8=AC=6,/C=60°,則BC=6.

【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到N8=/C=60°,則可判斷△48C為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)得到BC=AB.

【解答】解：：AB=AC=6,

：.ZB^ZC=60Q,

.?.△ABC為等邊三角形，

:.BC=AB=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等，三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

7.（2022秋?建鄴區(qū)校級月考）如圖，己知AABC是等邊三角形，AO是中線，E在AC上，AE=AD,則

NEDC=15°.

【分析】由A。是等邊aABC的中線，根據(jù)等邊三角形中：三線合一的性質(zhì)，即可求得ACBC,NCAD

=30°,又由4O=AE,根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得NAOE的度數(shù)，繼而求得答案.

【解答】解：:A。是等邊△ABC的中線，

：.ADA.BC,NBA￡）=NC4O=工NBAC=』X60°=30°,

22

AZADC=90c,

'：AD=AE,

，NAOE=NAED=上（180°-ZCAD）=75°,

2

AZEDC^ZADC-ZADE=90Q-75°=15°.

故答案為：15°.

【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.此題難度不大，解題

的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

8.（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC中，乙4=60°,力為AB上一點，且4C=2AO+B。，

ZB=4ZACD,則NDC8的度數(shù)是20°.

【分析】通過作輔助線構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，得到角相等，邊相等，根據(jù)三角形全等,

得到角相等，利用外角的性質(zhì)列方程求解.

【解答】解：如圖延長A8到E使BE=A￡）,連接CE,

：.AE=AD+DB+BE=2AD+BD,

"：AC=2AD+BD,

：.AE=AC,；NA=60°,

.?.△AEC是等邊三角形，

/.ZE=ZACE=60°,

■:ZABC=4ZACD,

設(shè)則/ABC=4x,

fAD=BE

在△ACC與△EBC中，.NA=NE，

AC=EC

二△AOC絲△EBC,

NACD=NECB=x,

NABC=NE+NBCE,

.?.4x=60°+x,；/=20°,

AZBCD=60°-20°-20°=20°,

故答案為：20°

D,

BZ\\

【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，外交的性質(zhì)，列方程求解

等知識點.

9.（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，。是8C上一點，BD=2,OE，8c交

【分析】在RtZ\BEC中，求出BE即可解決問題;

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

/.ZB=60°,

,：DE1.BC,

:.NEDB=90°,NBED=30°,

,;BD=2,

:.EB=2BD=4,

：.AE=AB-BE=6-4=2,

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知

識，屬于中考常考題型.

10.（2022秋?漣水縣期中）等邊三角形的每一個內(nèi)角均為度.

【分析】根據(jù)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，都是60°解答.

【解答】解：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的每一個內(nèi)角均為60度.

故答案為：60.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單.

11.（2022秋?靖江市校級月考）如圖，CQ是等邊△ABC的中線，DELAC,垂足為點E.若QE的長度為

3cm,則點D到BC的距離為3cm.

【分析】過點。作OF_L8C,垂足為F,利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得CO平分/AC8,然后利用角

平分線的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：過點D作。垂足為F,

,:CD是等邊△A8C的中線，

."。平分/—

DELAC,DFYBC,

.'.DE=DF=3cm,

...點D到BC的距離為3cm,

故答案為：3.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o

助線是解題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，在一個池塘旁有一條筆直公路MN,池塘對面有一個建筑A,小明在公路

一側(cè)點B處測得NA8N=60°,為了得到他與建筑物4之間的距離，小明沿公路MN繼續(xù)向東走到點C處,

測得NACB=60°,并測得他走了48米，則AB為48米.

MB公路CN

【分析】證明△ABC是等邊三角形，可得結(jié)論.

【解答】解：'：ZABC=ZACB=60°,

：.^ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=4S米.

故答案為：48.

【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)造等邊三角形解決問題.

13.（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，延長到點￡>,使CD=AC,連接AD若

AB=1,則AD的長為

【分析】由aABC是等邊三角形，得出邊相等都為4,每個內(nèi)角是60。，再根據(jù)CD=AC,推出/O=N

00=30°,從而推出/BA￡>=90°,再根據(jù)勾股定理求出AO的長.

【解答】解：?.?△ABC是等邊三角形，

：