依“你”展翅于課堂 論文

依“你”展翅于課堂——淺談數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)[摘要]本文簡單介紹了數(shù)學(xué)猜想的概念,指出在數(shù)學(xué)教學(xué)中打破傳統(tǒng)教學(xué)觀念,課堂以學(xué)生為主體.積極引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想和創(chuàng)造.通過對中學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)問題的分析與探討.總結(jié)出直覺,歸納,類比,構(gòu)造和探索等數(shù)學(xué)猜想方法.不僅能激發(fā)學(xué)生濃厚的求知欲和成就感，而且能培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).更有助于提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).為此,舉出實(shí)例加以說明.[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)猜想；數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)會(huì)猜想“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”我們縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史,很多的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想開始,然后再設(shè)法證明.但是在傳統(tǒng)的教學(xué)中,過分的去強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性,強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的邏輯思維而忽略了猜想等非邏輯性思維能力的培養(yǎng),甚至扼殺學(xué)生的猜想思維.正因?yàn)槿绱?著名的美國數(shù)學(xué)教育家波利亞大聲疾呼：“讓我們教猜想吧！”一、轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念長期以來,數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著一種忽略猜想思維的傾向,認(rèn)為數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)的是邏輯思維,不能把非邏輯的思維引進(jìn)課堂教給學(xué)生.在課堂提問、作業(yè)練習(xí)中不允許學(xué)生帶有猜測的成分.假如某個(gè)學(xué)生猜想出問題的結(jié)果,老師還要批評.“不能憑猜想！”久而久之,學(xué)生的大腦中就沒有“猜想”了.在這種觀念下,學(xué)生的猜想天性就得不到發(fā)展.現(xiàn)行教科書是經(jīng)過邏輯加工好的、完成了的形式,是一個(gè)比較嚴(yán)格的演繹體系,記載著一系列科學(xué)事實(shí)與結(jié)論,而這些事實(shí)與結(jié)論是怎樣產(chǎn)生的問題往往被忽視.一些缺乏教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師往往簡單地照本宣科.由此,發(fā)現(xiàn)定理、公式以及證明方法的過程,探求解題思路的過程等.這些數(shù)學(xué)思維的最精彩最生動(dòng)的部分都被隱藏起來.學(xué)生不能從老師那里學(xué)到發(fā)現(xiàn)問題,分析和解決問題的方法.這樣一來,既會(huì)扼殺學(xué)生的創(chuàng)造性,又會(huì)使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.要改變這種狀況需要進(jìn)行多方面的綜合治理,包括教學(xué)方法的改革,以及注重引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行猜想.經(jīng)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)猜想意識(shí),猜想能力是從學(xué)習(xí)過程中逐步形成和提高的,猜想問題也是從簡單到復(fù)雜,從低層次向高層次轉(zhuǎn)化的,猜想思維也是一種重要思維,它的訓(xùn)練對于培養(yǎng)能力.開發(fā)智力有著重要作用.二、數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)猜想是指根據(jù)某些已知的事實(shí)材料和教學(xué)知識(shí),通過理性思維的能動(dòng)作用,對未知量及其關(guān)系所做出的一種預(yù)測性推斷.科學(xué)領(lǐng)域的重大發(fā)現(xiàn)有許多是依靠合理猜想得出的.閱讀歐拉傳記和波利亞的名著《數(shù)學(xué)與猜想》就會(huì)發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的許多著名公式與定理就是通過不厭其繁的歸納類比、細(xì)心觀察等過程中猜想出來的.今天我們知道的有關(guān)數(shù)的性質(zhì)也有許多是由觀察猜測得到的,波利亞曾指出數(shù)學(xué)教學(xué)要“教發(fā)現(xiàn),教猜想,教證明”,猜想無論是對數(shù)學(xué)研究,還是對數(shù)學(xué)教學(xué)都起著很重要的作用.因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視學(xué)生猜想能力的培養(yǎng).因此,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程,經(jīng)過教育上的再編制給學(xué)生創(chuàng)設(shè)開展教學(xué)活動(dòng)的環(huán)境,模擬當(dāng)年數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程,精心設(shè)計(jì)問題系列,引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)簡化的理想形式下親身經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)過程,十分重要的是形式猜想,培養(yǎng)猜想能力.同時(shí),領(lǐng)悟猜想過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法,體會(huì)到尋求真理的興趣和喜悅,也有助于激發(fā)其熱情培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力.三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)猜想數(shù)學(xué)猜想可分為直覺猜想、歸納猜想、類比猜想、構(gòu)造猜想、探索猜想,根據(jù)教學(xué)內(nèi)容靈活地運(yùn)用這些猜想能培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力.(一)直覺猜想直覺猜想就是在一定的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,憑自己的直覺想象力,大致地、模糊地確定一下問題的結(jié)果或解題途徑,然后再證明.例1函數(shù)在上的最大值與參數(shù),有關(guān).問,取什么值時(shí)為最大？證明你的結(jié)論.分析原函數(shù)通過變形可得.考慮到正弦函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)及其圖象特征,運(yùn)用直覺思維可猜得答案是“”.當(dāng)時(shí),記為.不難算得,在區(qū)間上,有三點(diǎn),,,使取得最大值,它就是要求的最大值.直覺猜想,結(jié)論不一定正確.下面運(yùn)用邏輯思維證明：對任何,不同時(shí)為零時(shí)有用反證法證明之：設(shè)則應(yīng)有,,.即又即由可得則有即,由可得則有即所以.考慮到、不同時(shí)為零,從而推得,但當(dāng),時(shí)有：.與式矛盾.原猜想結(jié)論獲證. 在本題中直覺猜想所起的作用是毛估,毛估對于發(fā)現(xiàn)解題途徑有極重要的意義.許多數(shù)學(xué)問題,包括世界名題的解決,都是從圖形或數(shù)據(jù)的直接觀察中獲得某種直覺猜想,然后再進(jìn)行邏輯證明的.(二)歸納猜想當(dāng)我們研究一般性的問題而難以解決時(shí),可先退一步去研究這個(gè)問題的特例.用具體的數(shù)字代替字母做一些實(shí)驗(yàn),對這些特殊問題的性質(zhì)進(jìn)行歸納,再根據(jù)歸納的結(jié)果去猜想原問題的規(guī)律和性質(zhì),這就是歸納猜想.它具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性,是從已知推出未知的方法,但它不是以現(xiàn)成的一般知識(shí)為前提.而是以已知的關(guān)于科學(xué)事實(shí)的知識(shí)為前提,因而能夠概括,解釋新的科學(xué)事實(shí),擴(kuò)展認(rèn)識(shí)成果,形成新的一般原理.(對新課的有關(guān)性質(zhì)、定理,如果直接告訴它的內(nèi)容讓學(xué)生記憶,則不利于學(xué)生對性質(zhì),定理的理解和應(yīng)用.相反,引導(dǎo)學(xué)生自己歸納猜想出性質(zhì)、定理,則便于學(xué)生的記憶和應(yīng)用.)例2設(shè),求滿足不等式的整數(shù)解的組數(shù).分析先猜想解的組數(shù)與有關(guān),因此可記為,再用探索法逐個(gè)求得由于從而猜想：,然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,在解題教學(xué)當(dāng)中,教師應(yīng)留有余地讓學(xué)生先思考和猜想問題的規(guī)律,解題方法,問題的結(jié)論,問題中隱含條件等,發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.(三)類比猜想由于事物之間常常具有相同或相似的屬性,所以當(dāng)兩個(gè)問題在某個(gè)方面相似時(shí),我們就可以由其中一個(gè)問題的已知屬性去猜測另一個(gè)問題可能會(huì)有相似的屬性,這就是類比猜想.當(dāng)我們無法直接解決面前的問題時(shí),就應(yīng)該想以前是否見過相同的問題而形式稍有不同？是否知道與此相關(guān)的問題？是否知道可能用得上的定理？這些問題都將啟發(fā)和指引我們?nèi)ミM(jìn)行類比.例3設(shè)滿足且,,求證：是周期函數(shù),并求出它的一個(gè)周期.分析因涉及周期函數(shù),并且,從而可聯(lián)想到三角中的和差化積公式,與本題中的結(jié)構(gòu)類似,而的周期為,與之類比,產(chǎn)生猜想：為周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期,于是,只要證明猜想的正確性即可。證明由已知條件得從而可得于是所以是以為周期的周期函數(shù).數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用類比猜想的思想方法是屢見不鮮的,數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比猜想主要有降維類比,結(jié)構(gòu)類比等猜想.(四)構(gòu)造猜想構(gòu)造猜想是依據(jù)數(shù)學(xué)問題的相似模式,利用模型構(gòu)造法作出相應(yīng)數(shù)學(xué)規(guī)律或方法的猜想.構(gòu)造猜想本質(zhì)是轉(zhuǎn)化的方法.通過構(gòu)造相似模式,將復(fù)雜、陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、易解的數(shù)學(xué)模型,把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題,把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題,從而使學(xué)生在轉(zhuǎn)化構(gòu)造過程中培養(yǎng)構(gòu)造猜想能力.例4設(shè)為實(shí)數(shù),且,求證：.分析如果直接從題設(shè)的條件入手證明不等式,是不容易的事,此時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想,構(gòu)造出一個(gè)新形式.形成猜想：復(fù)數(shù)的模為,若不等式中的一些項(xiàng)形如時(shí)可考慮構(gòu)造相關(guān)復(fù)數(shù),然后利用關(guān)于復(fù)數(shù)的模的不等式證明.證明設(shè),.根據(jù),可得即這類問題的解決,學(xué)生必須要針對題目的特點(diǎn)構(gòu)造出相關(guān)的方程、函數(shù)、幾何圖形或其它模型和媒體,然后借助它們解題.形成猜想后,加以證明.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,利用構(gòu)造猜想的思想方法解題的例子很多.例如：例4中我們將題設(shè)對照復(fù)數(shù)模的形式,結(jié)合模的性質(zhì)構(gòu)造猜想出相應(yīng)的復(fù)數(shù).例5已知的三個(gè)內(nèi)角、、滿足：,求的值.分析因題設(shè)條件中,,角的關(guān)系比較明確,于是設(shè),及,得,,自然猜想本題可通過已知式,構(gòu)建含的方程模型求解.下面只需代入分母得將代入上式,可得,即.至此猜想已化為事實(shí),解之得或（舍去）.即.這里列舉了構(gòu)造猜想出復(fù)數(shù)、函數(shù)和參數(shù)方程的例子,還可以構(gòu)造出相關(guān)的數(shù)組、幾何圖形或其它模型和媒體,各種猜想方法.不但可適用于數(shù)學(xué)猜想,而且還可適用于其它學(xué)科的猜想.因此,數(shù)學(xué)猜想方法的掌握和能力的提高,不但可以提高數(shù)學(xué)解題能力,而且還可提高今后所從事數(shù)學(xué)工作的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的訓(xùn)練,是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的重要途徑之一.(五)探索猜想探索猜想是指依據(jù)已有知識(shí)和結(jié)果,對所有研究的對象做出向結(jié)果靠近的方向性猜想.探索猜想本質(zhì)上就是啟發(fā)式方法,它是能用以激發(fā)青年人的智慧和培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力的一種思想方法.例6證明：.分析1由等式右邊的,猜想到應(yīng)將左邊各項(xiàng)的系數(shù)化為含有的式子,嘗試用倒序相加法.證明設(shè)則兩式相加并注意到,得,即故.分析2由等式右邊的入手.我們知道：,猜想應(yīng)將等式左邊變形成的形式.由于有,則.例7已知,,作數(shù)列,,.求證分析若按常規(guī)思路,直接對整理轉(zhuǎn)化,從而得到,會(huì)使問題復(fù)雜化.那么只有引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度考慮,如果時(shí)結(jié)論成立.那么從的推證是否可猜想出的一般性證明思路.事實(shí)上由于,,中與的最高次冪不等,不能直接看到關(guān)系式成立.利用加以溝通,于是.則,推出.此時(shí)便猜想：是否成立？于是猜想驗(yàn)證這個(gè)猜想,就會(huì)發(fā)現(xiàn)只要將與代入展開.可證實(shí)猜想是成立.這類問題的解決,學(xué)生必須能把學(xué)過的知識(shí)、思想和方法,按照個(gè)人接受、理解的深度和廣度,通過自己的觀察、分析、比較和概括得出結(jié)論,形成猜想并加以證明.數(shù)學(xué)探索猜想思想方法用于教學(xué),就是教師在講授定理的證明及問題的解答方法時(shí),總是采用啟發(fā)式,一步一步闡明解法,每一步都先讓學(xué)生