2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)隨機(jī)事件及概率（十年高考）

2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題十一概率與統(tǒng)計(jì)11.1隨機(jī)事件及概率考點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率1.(2023北京,18,13分,中)為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律,收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù),如下表所示.在描述價(jià)格變化時(shí),用“+”表示“上漲”,即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高;用“-”表示“下跌”,即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低;用“0”表示“不變”,即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用頻率估計(jì)概率.(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率;(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的.在未來(lái)的日子里任取4天,試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率;(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.(結(jié)論不要求證明)解析(1)由題表得這40天內(nèi)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的天數(shù)為16,估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率為1640(2)由(1)估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率為25由題表估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“下跌”的概率為1440=720所以所求概率為C4(3)第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“不變”的概率估計(jì)值最大.詳解:因?yàn)樵撧r(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響,且第40天的價(jià)格“上漲”,所以只需統(tǒng)計(jì)前40天中價(jià)格“上漲”的次日的價(jià)格變化情況.由題表知價(jià)格“上漲”的次日價(jià)格“上漲”的天數(shù)為4,價(jià)格“下跌”的天數(shù)為2,價(jià)格“不變”的天數(shù)為9,所以第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“不變”的概率估計(jì)值最大.2.(2018北京文,17,13分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率;(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為502000(2)由題意知,樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計(jì)為1-3722000(3)增加第五類電影的好評(píng)率,減少第二類電影的好評(píng)率.3.(2015四川文,17,12分)一輛小客車上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車.乘客P1因身體原因沒(méi)有坐自己的1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451解析(1)余下兩種坐法如下表所示:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3241532541(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則所有可能的坐法可用下表表示為:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)2134523145234152345123541243152435125341于是,所有可能的坐法共8種.設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4.所以P(A)=48=1答:乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是12考點(diǎn)2古典概型1.(2021全國(guó)甲文,10,5分)將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案C列舉法:基本事件為(1,1,1,0,0),(1,1,0,1,0),(1,1,0,0,1),(1,0,1,1,0),(1,0,1,0,1),(1,0,0,1,1),(0,1,1,1,0),(0,1,1,0,1),(0,1,0,1,1),(0,0,1,1,1),共10種情況,其中2個(gè)0不相鄰的情況有6種,故P=610=0.6,故選C2.(2022全國(guó)甲文,6,5分)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.1答案C依題意知,總的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個(gè).其中符合數(shù)字之積是4的倍數(shù)的基本事件有6個(gè),故所求概率P=615=253.(2021全國(guó)甲理,10,5分)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為()A.1答案C解題指導(dǎo):先求4個(gè)1和2個(gè)0的所有排列數(shù),再利用插空法求2個(gè)0不相鄰的種數(shù).解析從6個(gè)位置中任選2個(gè)位置排2個(gè)0,其他4個(gè)位置排4個(gè)1,共有C62C44=15種排法;先排4個(gè)1,再將2個(gè)0插空,共有C52=10一題多解(捆綁法):由題意知2個(gè)0相鄰共有C22C51種排列方法,易錯(cuò)提醒本題是相同元素的排列問(wèn)題,實(shí)際上元素之間無(wú)區(qū)別,是組合問(wèn)題.4.(2022新高考Ⅰ,5,5分)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A.1答案D解法一:從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)共有C72=21如圖,所取的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的取法有3+4+2+3+1+1=14種,所以這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1421解法二(間接法):從7個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)共有C72=21種取法,2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的情況有兩種:①?gòu)?個(gè)偶數(shù)中任取2個(gè),有C42=6種取法;②從偶數(shù)和奇數(shù)中各取一個(gè),有1種取法,所以2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的取法有7種,所以取2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1-75.(2018課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D設(shè)兩名男生為A,B,三名女生為a,b,c,則從5人中任選2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10種.2人都是女同學(xué)的有(a,b),(a,c),(b,c),共3種,所以所求概率為310方法總結(jié)古典概型概率的求法:(1)應(yīng)用公式P(A)=mn求概率的關(guān)鍵是尋求基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù).(2)基本事件個(gè)數(shù)的確定方法①列舉法:此法適用于基本事件較少的古典概型;②列表法:此法適用于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成是坐標(biāo)法;③畫樹狀圖法:畫樹狀圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適用于有順序的問(wèn)題或較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的探求.6.(2017課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.110B.15C.3答案D本題考查古典概型.畫出樹狀圖如圖:可知所有的基本事件共有25個(gè),滿足題意的基本事件有10個(gè),故所求概率P=1025=25.思路分析由樹狀圖列出所有的基本事件,可知共有25個(gè),滿足題目要求的基本事件共有10個(gè).由古典概型概率公式可知所求概率P=1025=2易錯(cuò)警示本題易因忽略有放回的抽取而致錯(cuò).疑難突破當(dāng)利用古典概型求概率時(shí),應(yīng)區(qū)分有放回抽取與無(wú)放回抽取.有放回抽取一般采用畫樹狀圖法列出所有的基本事件,而無(wú)放回抽取一般采用窮舉法.7.(2016課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13B.12C.2答案C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=46=23,解后反思從4種顏色的花中任選2種共有6種情況,不重不漏地列舉出所有情況是解題關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查了古典概型、不重不漏地將所有情況列舉出來(lái)是解題關(guān)鍵.8.(2016課標(biāo)Ⅲ文,5,5分)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.815B.18C.1答案C小敏輸入密碼后兩位的所有可能情況如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.而能開機(jī)的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率為1159.(2016北京文,6,5分)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為()A.15B.25C.8答案B設(shè)這5名學(xué)生為甲、乙、丙、丁、戊,從中任選2人的所有情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10種.其中甲被選中的情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4種,故甲被選中的概率為410=25.易錯(cuò)警示在列舉基本事件時(shí)要不重不漏,可畫樹狀圖:評(píng)析本題考查古典概型,屬中檔題.10.(2015課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310B.15C.1答案C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有10種取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構(gòu)成一組勾股數(shù)的有1種:(3,4,5),故所求事件的概率P=110,故選11.(2015廣東文,7,5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4B.0.6C.0.8D.1答案B記3件合格品分別為A1,A2,A3,2件次品分別為B1,B2,從5件產(chǎn)品中任取2件,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10種可能.其中恰有一件次品有6種可能,由古典概型概率公式得所求事件概率為610=0.6.選12.(2014課標(biāo)Ⅰ理,5,5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A.18B.38C.5答案D由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有24種情況,而4位同學(xué)都選周六有1種情況,4位同學(xué)都選周日有1種情況,故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為P=24?1?12413.(2014陜西文,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A.15B.25C.3答案B設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B、C、D,中心為O,從這5個(gè)點(diǎn)中,任取兩個(gè)點(diǎn)的事件分別為AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10種,其中只有頂點(diǎn)到中心O的距離小于正方形的邊長(zhǎng),分別是AO、BO、CO、DO,共有4種.故滿足條件的概率P=410=25.評(píng)析本題考查古典概型知識(shí),考查分析問(wèn)題及閱讀理解的能力.理解只有頂點(diǎn)到中心的距離小于邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.14.(2013課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A.12B.13C.1答案B從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6種不同的結(jié)果,取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的有(1,3),(2,4)2種結(jié)果,概率為13,故選15.(2012安徽文,10,5分)袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.15B.25C.3答案B將同色小球編號(hào).從袋中任取兩球,所有基本事件為(紅,白1),(紅,白2),(紅,黑1),(紅,黑2),(紅,黑3),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,黑3),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),共有15個(gè)基本事件,而一白一黑的共有6個(gè),故所求概率P=615=25.評(píng)析本題主要考查古典概型概率的求解,同時(shí)考查了列舉法.16.(2011課標(biāo)文,6,5分)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A.13B.12C.2答案A甲、乙兩人都有3種選擇,共有3×3=9種情況,甲、乙兩人參加同一興趣小組共有3種情況.∴甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率P=39=13,評(píng)析本題主要考查古典概型的概率運(yùn)算,屬容易題.17.(2011浙江文,8,5分)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是()A.110B.310C.3答案D解法一(直接法):所取3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的取法可分為互斥的兩類:兩紅一白有6種取法,一紅兩白有3種取法,而從5個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共有10種,所以所求概率為910,故選解法二(間接法):至少有一個(gè)白球的對(duì)立事件為所取3個(gè)球中沒(méi)有白球,即只有3個(gè)紅球,共1種取法,故所求概率為1-110=910,18.(2022全國(guó)甲理,15,5分)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

答案6解析從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)頂點(diǎn),共有C84=70種選法,其中4個(gè)點(diǎn)在同一平面的選法共12種,即選正方體的6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的4個(gè)頂點(diǎn),根據(jù)古典概型概率公式知所求概率P=19.(2022全國(guó)乙,理13,文14,5分,應(yīng)用性)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為.

答案3解析設(shè)“甲、乙都入選”為事件A,從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作包含的基本事件有C53個(gè),事件A包含的基本事件有C31個(gè),所以P(A20.(2016四川文,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.

答案1解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12個(gè).記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A,則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2個(gè).∴P(A)=212=1易錯(cuò)警示對(duì)a,b取值時(shí)要注意順序.評(píng)析本題考查了古典概型.正確列舉出基本事件是解題的關(guān)鍵.21.(2014課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

答案2解析設(shè)2本不同的數(shù)學(xué)書為a1、a2,1本語(yǔ)文書為b,在書架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6種,其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4種,因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=46=222.(2014課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

答案1解析甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)9種,其中顏色相同的有3種,所以所求概率為39=123.(2014江蘇,4,5分)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是.

答案1解析從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.滿足條件的有(2,3),(1,6),共2種情況.故P=26=124.(2014浙江文,14,4分)在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張,另1張無(wú)獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎(jiǎng)的概率是.

答案1解析設(shè)A為一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,B為二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,C為無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,則甲、乙兩人抽取的所有可能結(jié)果為AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6種.而甲、乙兩人都中獎(jiǎng)的情況有AB、BA,共2種.故所求概率為26=125.(2013課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為5的概率是.

答案0.2解析任取兩個(gè)不同的數(shù)的情況有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,其中和為5的有2種,所以所求概率為21026.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種.②由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來(lái)自甲年級(jí)的是A,B,C,來(lái)自乙年級(jí)的是D,E,來(lái)自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=521易錯(cuò)警示解決古典概型問(wèn)題時(shí),需注意以下幾點(diǎn):(1)忽視基本事件的等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤;(2)列舉基本事件考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤;(3)在求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)時(shí),一個(gè)按有序,一個(gè)按無(wú)序處理導(dǎo)致錯(cuò)誤.27.(2017山東文,16,12分)某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由題意知,從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè),則所求事件的概率P=315=1(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè).包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè),則所求事件的概率P=29方法總結(jié)求古典概型概率的一般步驟:1.求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法;2.求出事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m;3.代入公式P(A)=mn求解28.(2015天津文,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽.(i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;(ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.解析(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.(2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.(ii)編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種.因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=915=3評(píng)析本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.29.(2015山東文,16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人,所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P=1545=1(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個(gè).根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=215評(píng)析本題考查隨機(jī)事件的概率及其計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí).30.(2014四川文,16,12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由題意知,(a,b,c)所有可能的結(jié)果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A,則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種.所以P(A)=327=1因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為19(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.所以P(B)=1-P(B)=1-327=8因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為89評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算,考查應(yīng)用意識(shí).31.(2014天津文,15,13分)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表:一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;(2)設(shè)M為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此,事件M發(fā)生的概率為615=2評(píng)析本題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.32.(2016山東文,16,12分)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);②若xy≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由.解析用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4=16,所以基本事件總數(shù)n=16.(1)記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為5(2)記“xy≥8”為事件B,“3<xy<8”為事件C,則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè),即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=3事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因?yàn)?8>所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.易錯(cuò)警示本題出錯(cuò)的原因有兩個(gè):(1)理解不清題意,不能將基本事件列舉出來(lái);(2)列舉基本事件有遺漏.評(píng)析本題主要考查了古典概型,理解題意,不重不漏地列舉出基本事件是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)3.事件相互獨(dú)立性1.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅱ,12,5分,難)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立,發(fā)送0時(shí),收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時(shí),收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時(shí),收到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí),收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)()A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當(dāng)0<α<0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案ABD當(dāng)發(fā)送0時(shí),收到0,1分別記為事件A,B,當(dāng)發(fā)送1時(shí),收到0,1分別記為事件C,D,則P(A)=1-α,P(B)=α,P(C)=β,P(D)=1-β,且A,B,C,D相互獨(dú)立.對(duì)于A,即求事件DAD發(fā)生的概率,P(DAD)=P(A)·(P(D))2=(1-α)(1-β)2,故A正確;對(duì)于B,即求事件DCD發(fā)生的概率,P(DCD)=P(C)·(P(D))2=β(1-β)2,故B正確;對(duì)于C,采用三次傳輸方案,發(fā)送1,且譯碼為1的情況有兩種:3次發(fā)送均收到1,3次發(fā)送恰有2次收到1,故所求概率為(1-β)3+3β(1-β)2,故C不正確;對(duì)于D,采用三次傳輸方案,發(fā)送0,且譯碼為0的概率為(1-α)3+3(1-α)2α=(1+2α)(1-α)2,采用單次傳輸方案,發(fā)送0,且譯碼為0的概率為1-α,(1+2α)(1-α)2-(1-α)=(1-α)[(1+2α)(1-α)-1]=(1-α)(-2α2+α)=(1-α)(1-2α)α,∵0<α<12,∴1-α>0,1-2α>0,∴(1-α)(1-2α)α>0,∴(1+2α)(1-α)2>1-α,故D正確故選ABD.2.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立答案B依題意,有放回地隨機(jī)取兩次,共有36種不同結(jié)果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).其中P(甲)=636=16,P(乙)=636=16,P(丙)=5丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6個(gè)基本事件.丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5個(gè)基本事件.易知“甲、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè),“丙、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè),“乙、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(6,2),共1個(gè),∴P(乙丙)=136,又P(乙)·P(丙)=16×5同理可知“甲、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(1,6),∴P(甲丁)=136,又P(甲)·P(丁)=16×16=136,∴P(甲丁)=P∴甲與丁相互獨(dú)立,故選B.3.(2022全國(guó)乙理,10,5分,應(yīng)用性)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則()A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大答案D棋手與甲、乙、丙比賽順序有以下A33=6①比賽順序?yàn)榧?、乙、丙時(shí),p=p1p2(1-p3)+(1-p1)p2p3=p1p2+p2p3-2p1p2p3;②比賽順序?yàn)榧住⒈?、乙時(shí),p=p1p3(1-p2)+(1-p1)p3p2=p1p3+p2p3-2p1p2p3;③比賽順序?yàn)橐摇⒓?、丙時(shí),p=p2p1(1-p3)+(1-p2)p1p3=p1p2+p1p3-2p1p2p3;④比賽順序?yàn)橐摇⒈?、甲時(shí),p=p2p3(1-p1)+(1-p2)·p3p1=p2p3+p1p3-2p1p2p3;⑤比賽順序?yàn)楸⒓?、乙時(shí),p=p3p1(1-p2)+(1-p3)·p1p2=p1p3+p1p2-2p1p2p3;⑥比賽順序?yàn)楸?、乙、甲時(shí),p=p3p2(1-p1)+(1-p3)·p2p1=p2p3+p1p2-2p1p2p3.易得情況①與⑥,②與④,③與⑤的概率分別相等,又p3>p2>p1>0,∴p1p2<p1p3,p2p3>p1p3,∴②與④的概率最大,即棋手在第二盤與丙比賽,p最大,故選D.一題多解:設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為p甲,在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為p乙,在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為p丙.由題意得,p甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3,p乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3,p丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3.由p3>p2>p1>0,得p丙-p甲=p2p3-p1p2=p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=p1p3-p1p2=p1(p3-p2)>0,∴p丙最大.故選D.4.(2015課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.