2015年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是3,這個(gè)數(shù)是（）

A.1B.-1C.3D.-3

33

2.（3分）（2015?廣元）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-ab2）3-r（ab2）2=-ab2B.3a+2a=5a2

C.（2a+b）（2a-b）=2a2-b2D.（2a+b）2=4a2+b2

3.（3分）（2015?廣元）如圖，已知OO的直徑AB_LCD于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一

定錯(cuò)誤的是（）

A.CE=DEB.AE=OEC.BC=BDD.△OCE主△ODE

4.（3分）（2015?廣元）一元一次不等式組-x+l>13的解集中，整數(shù)解的個(gè)數(shù)

（x-5<0

是（）

A.4B.5C.6D.7

5.（3分）（2015?廣元）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形的

邊數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

6.（3分）（2015?廣元）一副三角板按如圖方式擺放，且N1比N2大50。.若

設(shè)Nl=x。，N2=y。，則可得到的方程組為（）

Afx=y-50(x=y+50_fx=y_50fx=y+50

A..D.<L.、L),<

x+y=180lx+y=180[x+y=90[x+y=90

7.（3分）（2015?廣元）下列說法正確的是（）

A.為了解我國(guó)中學(xué)生的體能情況，應(yīng)采用普查的方式

B.若甲隊(duì)成績(jī)的方差是2,乙隊(duì)成績(jī)的方差是3,說明甲隊(duì)成績(jī)比乙隊(duì)成績(jī)穩(wěn)

定

C.明天下雨的概率是99%,說明明天一定會(huì)下雨

D.一組數(shù)據(jù)4,6,7,6,7,8,9的中位數(shù)和眾數(shù)都是6

8.（3分）（2015?廣元）當(dāng)0<x<l時(shí)，x,1,x2的大小順序是（）

A.A<x<x2B.x<x2<—C.X2<X<AD.l<x2<x

XXXX

9.（3分）（2015?廣元）如圖，把RtAABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中NCAB=90。,

BC=5,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,0）、（4,0）.將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)

點(diǎn)C落在直線y=2x-6上時(shí)，線段BC掃過的面積為（）

A.4B.8C.16D.隊(duì)歷

10.（3分）（2015?廣元）如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),

按A玲BfC的方向在AB和BC上移動(dòng).記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y,

則y關(guān)于x的函數(shù)大致圖象是（）

二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）

11.（3分）（2015?廣元）一組數(shù)據(jù)10,13,9,16,13,10,13的眾數(shù)與平均

數(shù)的和是.

12.（3分）（2015?廣元）若第二象限內(nèi)的點(diǎn)P（x,y）滿足|x|=3,y2=25,則

點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

13.（3分）（2015?廣元）一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2cm,5cm,則它的

周長(zhǎng)為cm.

14.（3分）（2015?廣元）如圖，在。。中，AB是直徑，點(diǎn)D是。。上一點(diǎn)，

點(diǎn)C是右的中點(diǎn)，CE_LAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接

AD,分別交CE、CB于點(diǎn)P、Q,連接AC,關(guān)于下列結(jié)論：①NBAD=NABC；

②GP=GD；③點(diǎn)P是NACQ的外心，其中正確結(jié)論是（只需填寫序

號(hào)）.

EO

15.（3分）（2015?廣元）從3,0,-1,-2,-3這五個(gè)數(shù)中抽取一個(gè)數(shù)，作

為函數(shù)y=（5-m2）x和關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+l=0中m的值.若

恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且使方程有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的m的

值是.

三、解答題（共9小題，滿分75分）

16.（7分）（2015?廣元）計(jì)算:（2015-n）°+（-1）1|-3tan30°+6E.

3V3

22_

17.（7分）（2015?廣元）先化簡(jiǎn)：（咨+2x_4-X）+工，然后解答下

x2-1x2-2x+lx+1

列問題：

（1）當(dāng)x=3時(shí)，求原代數(shù)式的值；

（2）原代數(shù)式的值能等于-1嗎？為什么？

18.（7分）（2015?廣元）求證：平行四邊形的對(duì)角線互相平分（要求：根據(jù)題

意先畫出圖形并寫出已知、求證，再寫出證明過程）.

19.（8分）（2015?廣元）圖1是某中學(xué)九年級(jí)一班全體學(xué)生對(duì)三種水果喜歡人

數(shù)的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）九年級(jí)一班總?cè)藬?shù)是多少人？

（2）喜歡哪種水果人數(shù)的頻數(shù)最低？并求出該頻率；

（3）請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖（圖1）的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）；

（4）某水果攤位上正好只擺放有這三種水果出售，王阿姨去購(gòu)買時(shí)，隨機(jī)購(gòu)買

其中兩種水果，恰好買到櫻桃和枇杷的概率是多少？用樹狀圖或列表說明.

20.（8分）（2015?廣元）某學(xué)校體育看臺(tái)的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺(tái)有

四級(jí)高度相等的小臺(tái)階，已知看臺(tái)高為1.6米，現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼的扶手AB及

兩根與FG垂直且長(zhǎng)度均為0.8米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的低端分別為D、

C),且NDAB=66.5°(cos66.5°=0.4).

（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH；

（2）求所用不銹鋼材料的總長(zhǎng)度I（即AD+AB+BC的長(zhǎng)）.

G

21.（8分）（2015?廣元）經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/

小時(shí)）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛/千米的

時(shí)候就造成交通堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/

千米，車流速度為80千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)204x4220時(shí)，車流速度v是車

流密度x的一次函數(shù).

（1）求大橋上車流密度為100輛/千米時(shí)的車流速度；

（2）在某一交通時(shí)段，為使大橋上的車流書店大于60千米/小時(shí)且小于80千

米/小時(shí)，應(yīng)把大橋上的車流密度控制在什么范圍內(nèi)？

22.（9分）（2015?廣元）李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)，把一根長(zhǎng)40cm的鐵絲

剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形.

（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？

（2）李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2,你認(rèn)為他的說法正

確嗎？請(qǐng)說明理由.

23.（9分）（2015?廣元）如圖，AB是。。的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作

CD_LOA交弦于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F,且CE=CB.

（1）求證：BC是。O的切線；

（2）連接AF、BF,求NABF的度數(shù)；

（3）如果CD=15,BE=10,sinA=-l,求。。的半徑.

24.（12分）（2015?廣元）如圖，已知拋物線y=-』（x+2）（x-m）（m>0）

IT

與X軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).

（1）若拋物線過點(diǎn)G（2,2）,求實(shí)數(shù)m的值；

（2）在（1）的條件下，解答下列問題：

①求出△ABC的面積；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使AH+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）在第四現(xiàn)象內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三

角形與4ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2015年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)

1.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是3,這個(gè)數(shù)是(〉

A.1B.-1C.3D.-3

33

【答案】D

【考點(diǎn)】本題考查了相反數(shù)的概念

【解答】3的相反數(shù)是-3

【錯(cuò)點(diǎn)】不要將相反數(shù)和倒數(shù)的概念搞混

【星級(jí)】★

2.(3分)(2015?廣元)下列運(yùn)算正確的是()

A.(-ab2)3+(ab2)2=-ab2B.3a+2a=5a2

C.(2a+b)(2a-b)=2a2-b2D.(2a+b)2=4a2+b2

【答案】A

【考點(diǎn)】本題考查了代數(shù)式的基本運(yùn)算

【解答】A：將a/Z看做一個(gè)整體，那么

(—"2)3+("2)2=—("2)3+("2)2=一加,

所以A的運(yùn)算是正確的，基礎(chǔ)比較好的同學(xué)至此可以完成本題的解答。

但也有時(shí)候由于忽略了某方面的因素，自己以為是正確的答案其實(shí)是錯(cuò)

的，為此，我們可以繼續(xù)查看其它各選項(xiàng)有否問題：

B：3a和2a是同類項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)法則：3a+2a=5a,所以萬(wàn)；

C：根據(jù)乘法公式：(2a+))(2a-5)=(2o)2—/=4/-/,所以6；

D.同樣根據(jù)乘法公式：(2a+b)2=(2tz)2+2-2a-b+b~=4a2+4ab+b2,

Do

【錯(cuò)點(diǎn)】同類項(xiàng)的合并、同底數(shù)累的乘法和單項(xiàng)式的乘方，是不同性質(zhì)的運(yùn)算,

剛開始學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，比較容易將之搞混；

在C和D中使用到了相關(guān)的乘法公式，如果這些公式不熟悉，那么也可

以不使用公式，而就按照一般的多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算，

也可獲得同樣的結(jié)果。

【星級(jí)】★★

3.（3分）（2015?廣元）如圖，已知。。的直徑AB_LCD于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一

定錯(cuò)誤的是（）

A.CE=DEB.AE=OEC.BC=BDD.△OCE合△ODE

【答案】B

【考點(diǎn)】本題考查了圓的性質(zhì)

【考點(diǎn)】垂直于弦的直徑，平分這條弦和這條弦所對(duì)的優(yōu)（劣）弧

【解答】因?yàn)锳B是直徑，且ABXCD,所以AB平分弦CD以及CD所對(duì)的優(yōu)弧,

所以A,C都一定是正確的；

△OCE和AODE都是直角三角形，且CE=DE,CO=DO（都是半徑），

因此這兩個(gè)直角三角形一定全等（HL）,所以D也是正確的答案。

既然A,C,D都一定是正確的，那么唯一可能錯(cuò)誤的就只能選B了。

【一題多解】根據(jù)題意，整個(gè)圖形關(guān)于直線AB對(duì)稱，所以A,C,D中的相應(yīng)

元素都關(guān)于直線AB對(duì)稱，也就是說它們都能重合，所以A,C,D這三

個(gè)結(jié)論都是正確的。

【錯(cuò)點(diǎn)】你可能會(huì)說：當(dāng)NCOD=120°時(shí)，AE=OE同樣可以正確，

換句話說：選項(xiàng)B并不是“一定錯(cuò)誤”的，因此，本題不存在“一定錯(cuò)

誤”的選項(xiàng)。

這話很對(duì)！

但是（問題往往出現(xiàn)在這兩個(gè)字），中考是選拔性考試，只能按照評(píng)分標(biāo)

準(zhǔn)來(lái)給你評(píng)分，你沒有和他們講道理的機(jī)會(huì)，而分?jǐn)?shù)決定了你的前途。

所以，在這樣的情況下，你只能選擇唯一錯(cuò)誤、但并不是“一定錯(cuò)誤”

的選項(xiàng)。

【星級(jí)】★★

4.（3分）（2015?廣元）一元一次不等式組的解集中，整數(shù)解的個(gè)數(shù)

x-5<0

是（‘）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【考點(diǎn)】本題考查了一元一次不等式組的解法

【解答】解這個(gè)不等式組，可以得到-』<xW5,

2

在這個(gè)范圍內(nèi)的整數(shù)有0,1,2,3,4,5,一共有這6個(gè)，所以選C。

【錯(cuò)點(diǎn)】一是“xW5”中也包含了“5”本身，但在“x<5”中并不包含5；

另一個(gè)是從0到5的這幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，一共有6個(gè)數(shù)，而不是5個(gè)數(shù)。

【星級(jí)】★★

5.（3分）（2015?廣元）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形的

邊數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【考點(diǎn)】本題考查了多邊形內(nèi)角和與外交和

【考點(diǎn)】九邊形（〃三3）的內(nèi)角和為180（〃-2）。，任何凸多邊形的外角和都是

360°o

【解答】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是“，那么內(nèi)角和是1805-2）。，外角和是360°,

根據(jù)題意，有：1805-2）=2x360,所以〃=6。

【一題多解】可以假設(shè)每一個(gè)內(nèi)角都相等（這并不影響我們它的求邊數(shù)），那么

每一個(gè)內(nèi)角都是外角的2倍；而同一頂點(diǎn)上的內(nèi)角和外角互補(bǔ)，所以每

一個(gè)內(nèi)角都是120。，這樣的多邊形只能是六邊形。

【錯(cuò)點(diǎn)】忘記多邊形內(nèi)角和的求法，忘記多邊形外角和是360。

【星級(jí)】★★

6.（3分）（2015?廣元）一副三角板按如圖方式擺放，且N1比N2大50。.若

設(shè)Nl=x。，N2=y。，則可得到的方程組為（

x=y+50

A.50

x+y=180

x+y=180

D(x=yf50

C.(x=y-50

Ix+y=90

[x+y=90

【答案】D

【考點(diǎn)】本題考查了補(bǔ)角和余角的概念，和方程思想的運(yùn)用

【考點(diǎn)】?jī)山侵偷扔?0°,稱這兩個(gè)角互余；平角等于180°

【解答】N1比N2大50°,也就是說Nl=N2+50°,所以，，C；

N1與N2互余，也就是Nl+N2=90°,所以石，這樣，只有D是正確的。

【錯(cuò)點(diǎn)】1）N1與N2之間的大小關(guān)系；2）搞錯(cuò)余角與補(bǔ)角的概念

【星級(jí)】★★

7.（3分）（2015?廣元）下列說法正確的是（）

A.為了解我國(guó)中學(xué)生的體能情況，應(yīng)采用普查的方式

B.若甲隊(duì)成績(jī)的方差是2,乙隊(duì)成績(jī)的方差是3,說明甲隊(duì)成績(jī)比乙隊(duì)成績(jī)穩(wěn)

定

C.明天下雨的概率是99%,說明明天一定會(huì)下雨

D.一組數(shù)據(jù)4,6,7,6,7,8,9的中位數(shù)和眾數(shù)都是6

【答案】B

【考點(diǎn)】本題考查了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的概念和意義

【解答】如果采用普查的方式來(lái)了解全國(guó)中學(xué)生體能情況的話，不僅數(shù)據(jù)量過

于龐大，而且也沒有必要，所以A排除；

方差所反映的，是樣本數(shù)據(jù)組的“整齊性”情況，方差越小，說明越“整

齊”，甲隊(duì)成績(jī)的方差比乙隊(duì)成績(jī)的方差小，所以甲隊(duì)比乙隊(duì)成績(jī)要穩(wěn)定,

因此B正確；

既然概率是99%（不等于1）,那么它就不是必然事件，還是一個(gè)隨機(jī)事

件，所以“明天不下雨”的可能性還是存在的，C錯(cuò)誤；

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6.5,而不是6,所以D錯(cuò)。

【錯(cuò)點(diǎn)】采集數(shù)據(jù)的方式要根據(jù)樣本容量來(lái)確定；

當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)等于最中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)（在本題

中，就是

(6+7)+2=6.5)

【星級(jí)】★★

8.(3分)(2015?廣元)當(dāng)OVxVl時(shí),X,1X2的大小順序是（)

X

A.A<x<x2B.X<X2<AC.X2<X<AD.l<x2<x

XXX

【答案】c

【考點(diǎn)】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較

【解答】取》=工時(shí)，-=2,x2=-,此時(shí)，A,B,D都

2x4

不對(duì)，所以唯一可能的答案只能是C了。

【一題多解】構(gòu)造三個(gè)函數(shù)：%=x,y=-,%=爐，

2X

畫出它們的圖象如圖。

由圖象知：當(dāng)0<x<l時(shí)，丫2■對(duì)應(yīng)的圖形位置在最上方，%=%其次，

X

%=/在最下方，也就是說為最大，%居中，為最小，所以是一<X<,。

X

【星級(jí)】★★★

9.（3分）（2015?廣元）如圖，把RSABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi),其中NCAB=90°,

BC=5,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,0）、（4,0）.將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)

點(diǎn)C落在直線y=2x-6上時(shí)，線段BC掃過的面積為（）

A.4B.8C.16D.8A/2

【答案】C

【考點(diǎn)】本題考查了直角坐標(biāo)系，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，平行四

邊形的面積計(jì)算

【思路】既然是平移，那么其平移過程中掃過的區(qū)域就是

一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)就是點(diǎn)C

（或點(diǎn)B）走過的路徑的長(zhǎng)；而這個(gè)平行四邊形的

高，就是點(diǎn)C到x軸的距離，也就是CA的長(zhǎng)。

【解答】由A(1,0),B(4,0),則AB=3,

Rt^ABC中，因?yàn)锳B=3,BC=5,所以AC=4,則C(1,4),

當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x-6上點(diǎn)D時(shí)，因?yàn)镃D〃x軸，所以y=4,

而點(diǎn)D在直線y=2x-6上，可求得D（5,4）,，CD=4,

二?SHBCDE=CD?AC=16

【星級(jí)】★★★

10.（3分）（2015?廣元）如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),

按A玲B玲C的方向在AB和BC上移動(dòng).記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y,

則y關(guān)于x的函數(shù)大致圖象是（

【答案】D

【考點(diǎn)】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，相似形的性質(zhì)

【解答】當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，x從0變化到3,此時(shí)，點(diǎn)D到直線PA的距

離就是線段AD的長(zhǎng)。也就是說：當(dāng)0WxW3時(shí)，y=4,那么排除A；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，AP為矩形的對(duì)角線，可求得其長(zhǎng)為5。

當(dāng)點(diǎn)P在由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，x由3變化到5,

如果記點(diǎn)D在直線AP上的射影為E,那么容易證明△APBs/^DAE,

則有駕空,也就是冷

.?.y—_1—2

DEADx

即當(dāng)3WxW5時(shí)，y=—,符合這一特征的有A和D,而A已被排除,

所以選D。

【星級(jí)】★★★★

二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）

11.（3分）（2015?廣元）一組數(shù)據(jù)10,13,9,16,13,10,13的眾數(shù)與平均

數(shù)的和是25.

【答案】25

【考點(diǎn)】本題考查了眾數(shù)與平均數(shù)的概念

【解答】這一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是13,求得平均數(shù)是12,它們的和是25

【星級(jí)】★★

12.（3分）（2015?廣元）若第二象限內(nèi)的點(diǎn)P（x,y）滿足|x|=3,y2=25,則

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3,5）.

【答案】（-3,5）

【考點(diǎn)】本題考查了平面直角坐標(biāo)系和解方程

【解答】由國(guó)=3,得x=±3；由V=25,得'=±5,

因?yàn)辄c(diǎn)P（x,y）在第二象限，所以x<0,y〉0,所以x=—3,y=5,

所以P（-3,5）o

【星級(jí)】★★

13.（3分）（2015?廣元）一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2cm,5cm,則它的

周長(zhǎng)為12cm.

【答案】12

【考點(diǎn)】本題考查了三角形的基本性質(zhì)

【考點(diǎn)】三角形兩邊之和大于第三邊

【解答】因?yàn)橐阎妊切蔚膬蛇?，所以三邊?yīng)該是2,2,5或2,5,5,

但是因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌叄?,2,5不能構(gòu)成三角形的三條邊,

.,.三邊長(zhǎng)為2cm,5cm,5cm,則周長(zhǎng)為12cm。

【錯(cuò)點(diǎn)】忽視了“三角形兩邊之和大于第三邊”

【星級(jí)】★★

14.（3分）（2015?廣元）如圖，在。。中，AB是直徑，點(diǎn)D是。。上一點(diǎn)，

點(diǎn)C是面的中點(diǎn)，CE_LAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接

AD,分別交CE、CB于點(diǎn)P、Q,連接AC,關(guān)于下列結(jié)論：①NBAD=NABC；

②GP=GD；③點(diǎn)P是NACQ的外心，其中正確結(jié)論是②⑶（只需填寫序

號(hào)）.

【答案】②,③

【考點(diǎn)】本題考查了直角三角形兩銳角之間的關(guān)系;

圓周角、弦切角及其它們之間的相互關(guān)系；轉(zhuǎn)化的思想

【解答】①?gòu)膱D中我們可以看到：如果把點(diǎn)D向右移動(dòng)，那么D的位置越來(lái)越

低，也就是NBAD隨著點(diǎn)D的右移而減??；

因?yàn)辄c(diǎn)C是病的中點(diǎn)，所以在D向右移動(dòng)的過程中，點(diǎn)C也隨之向右、

向上移動(dòng)，那么NABC越來(lái)越大，所以①錯(cuò)誤；

②GP=GD是否成上，只要看N1=N2是否正確（如圖）。

連結(jié)BD,因?yàn)辄c(diǎn)C是7的中點(diǎn)，那么喬=「卞，所以N5=N6=N4,

因?yàn)锳B是直徑，所以NACB=NADB=90°,

貝!]N5+NCAE=90。，

又因?yàn)镃EXAB,所以N3+NCAE=90°,

Z3=Z5；

N1是△ACP外角，

Z1=Z3+Z4=Z5+Z5=2Z5；

因?yàn)镚D切半圓于點(diǎn)D,所以N2=NABD=N5+N6=2N5,

所以，Z1=Z2,則GP=GD,也就是②正確；

③由AB是直徑，則NACQ=90°,如果能說明P是斜邊AQ的中點(diǎn)，那么

P也就是這個(gè)直角三角形外接圓的圓心了。

《△BQD中，ZBQD=90°-N6,Rt^BCE中，Z8=90°-N5,

而N7=NBQD,Z6=Z5,所以N8=/7,所以CP=QP；

由②知：N3=N5=N4,則AP=CP；所以AP=CP=QP,則點(diǎn)P是^ACQ的

外心，

所以③成立。

【方法規(guī)律】通過第三方媒介搭橋，從而說明兩個(gè)量相等，這是證明兩個(gè)元素

相等的常用的策略。

【星級(jí)】★★★★

15.（3分）（2015?廣元）從3,0,-1,-2,-3這五個(gè)數(shù)中抽取一個(gè)數(shù)，作

為函數(shù)y=（5-m2）x和關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+l=0中m的直若

恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且使方程有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的m的

值是-2.

【答案】-2

【考點(diǎn)】本題考查了一元二次方程實(shí)數(shù)根的判別式，和正比例函數(shù)的圖象與性

質(zhì)

【考點(diǎn)】正比例函數(shù)丁=五（左/0）的圖象為過原點(diǎn)的一條直線，且當(dāng)左＞0時(shí)，

該直線位于一、三象限；

一元二次方程ax?+0x+c=0（aH0）當(dāng)6?-4ac三0時(shí)，該方程有兩個(gè)實(shí)

數(shù)根。

【解答】函數(shù)y=（5-機(jī)2）》的圖象經(jīng)過第一、三象限，那么有5-川〉0,

逐一驗(yàn)證，機(jī)可取0,-1,-2；

HZ+1W0

一元二次方程（m+l）/+mx+l=0有實(shí)數(shù)根，那么＜,

m-4（m+1）＞0

逐一檢驗(yàn)，〃?可取-2,-3；

綜上所述，冽可取的值只有-2。

【錯(cuò)點(diǎn)】關(guān)于x的方程（加+1）/+如+1=0是一元二次方程，那么首先必須保

證其二次項(xiàng)系數(shù)⑺+1）不為0,其次才是考慮根的判別式的值不小于0;

在其它場(chǎng)合，當(dāng)看到方程（加+1），+如+1=0時(shí)，不要其所當(dāng)然地就認(rèn)

為它一定是一元二次方程，因?yàn)樵诟?1=0時(shí)，它是一元一次方程；

同樣的，在看到函數(shù)丁=（5-m2口時(shí)，它也未必是正比例函數(shù)，

本題中，因?yàn)橛小昂瘮?shù)y=（5-機(jī)2）%的圖象經(jīng)過第一、三象限”這一條件,

首先必須想到它一定是正比例函數(shù)（一次函數(shù)），那么就必須保證

5-m2W0；

另一個(gè)方面，在本題中，因?yàn)橘闹凳菑慕o定的幾個(gè)有理數(shù)當(dāng)中取值，

這就保證了5-加力0,也就是說它一定是正比例函數(shù)。

【星級(jí)】★★★

三、解答題（共9小題，滿分75分）

16.（7分）（2015?廣元）計(jì)算：（2015-n）°+（-1）-1+|V3-1|-3tan300+6E.

3V3

【考點(diǎn)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值

【考點(diǎn)】任何一個(gè)不為0的數(shù)的。次方都等于1;

ana

當(dāng)q<0時(shí)，時(shí)=一〃；tan30°=—

【解答】原式=1+（—3）+（2—6）+3xg+6xg

=1-3+2-73+73+273=273

【錯(cuò)點(diǎn)】計(jì)算（-夕以及2-斗時(shí)不要出錯(cuò)；

如果忘記了tan30°的值是多少，可畫一個(gè)有30°角的直角三角形臨時(shí)

推算一下

【星級(jí)】★★

22_

17.（7分）（2015?廣元）先化簡(jiǎn)：（23+2x-廠x）+上，然后解答下

x2-1x2-2x+lx+1

列問題:

(1)當(dāng)x=3時(shí)，求原代數(shù)式的值；

(2)原代數(shù)式的值能等于-1嗎？為什么？

【考點(diǎn)】本題考查了因式分解，分式的運(yùn)算，代數(shù)式求值，解分式方程

【解答】解：原式=[2x(x+D—返葉1=(用———

(x-l)(x+l)(x-1)2xx-1x-1X

XX+1_x+1

=---?---------，

x-lXx-1

(1)當(dāng)x=3時(shí)，原式=111=2；

3-1

(2)要使原式的值為T,也就是土出=-1,則x+l=-(x-1),x=0,

x—1

但是當(dāng)x=0時(shí)，原式無(wú)意義，所以原代數(shù)式的值不能等于-1。

【錯(cuò)點(diǎn)】解分式方程時(shí)，我們是通過將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解決的，在

這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中，方程變形前后未知數(shù)的取值范圍發(fā)生了變化，因此就

可能產(chǎn)生曾根，所以解分式方程為什么一定要檢驗(yàn)；

同樣的，在有分式參與的運(yùn)算中，化簡(jiǎn)前后字母的取值范圍也可能會(huì)發(fā)

生變化，這時(shí)你必須牢記字母的取值一定要保證變形前后的各環(huán)節(jié)中的

每一個(gè)代數(shù)式都有意義。

如在本題中，原代數(shù)式是(2'+2X—』—")一」,X的取值必須保

%2-1x2-2x+lx+1

證/一1/0,X2-2X+1W0,X+1^0(后兩者包含于--IwO之中)，

也就是％7±1；

另一方面，上作為除式，它的值也不能為0,那么除了x工±1,還必須

X+1

有九w0,

但是在化簡(jiǎn)后的土口中，xwO這一條件限制被“取消”了，這就很容易

x-1

導(dǎo)致錯(cuò)誤。

【星級(jí)】★★★★

18.（7分）（2015?廣元）求證：平行四邊形的對(duì)角線互相平分（要求：根據(jù)題

意先畫出圖形并寫出已知、求證，再寫出證明過程）.

【考點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的定義，平行線的性質(zhì),三角形全等的判定,

命題的解讀能力

【考點(diǎn)】?jī)山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

【解答】已知：四邊形ABCD中，AB〃CD,AD〃BC,

。是AC和BD的交點(diǎn)，

第18題解答圖

求證：AO=CO,DO=BOo

證明：：AB〃CD,.*.ZDAO=ZBCO,ZADO=ZCBO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等)

同樣的，有NDCA=NBAC,

ZDAO=NBCO

在^ADC和4CBA中，V<AC=CA

ZDCA=ABAC

.,.△ADC^ACBA(ASA).\AD=CB；

ZDAO=BCO

在△ADO和△CBO中，\AD=BC

ZADO=ZCBO

.,.△ADO^ACBO（ASA）.*.AO=CO,DO=BOo

【錯(cuò)點(diǎn)】“對(duì)邊相等”和“對(duì)角線互相平分”，是我們所熟知的平行四邊形的性

質(zhì)，正因?yàn)樘煜ぃ苑炊赡転槲覀兯鲆暋?/p>

本題中，"AD=CB”可否直接由“平行四邊形對(duì)邊相等”來(lái)獲得而少證一

次形全等？個(gè)人認(rèn)為不妥！

因?yàn)楸绢}是要我們證明平行四邊形對(duì)角線互相平分這一我們所熟知的性

質(zhì)，如果直接用“對(duì)邊相等”這一性質(zhì)，恐有失分的危險(xiǎn)。

在本題中，解讀命題本身倒是難點(diǎn)。

【星級(jí)】★★★

19.（8分）（2015?廣元）圖1是某中學(xué)九年級(jí)一班全體學(xué)生對(duì)三種水果喜歡人

數(shù)的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）九年級(jí)一班總?cè)藬?shù)是多少人？

（2）喜歡哪種水果人數(shù)的頻數(shù)最低？并求出該頻率；

（3）請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖（圖1）的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）；

（4）某水果攤位上正好只擺放有這三種水果出售，王阿姨去購(gòu)買時(shí)，隨機(jī)購(gòu)買

其中兩種水果，恰好買到櫻桃和枇杷的概率是多少？用樹狀圖或列表說明.

【考點(diǎn)】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖的繪制，概率

【思路】要求所求的概率，只要畫出樹狀圖或列表即可

【解答】（1）9+21+30=60,所以該班共有60人；

（2）從圖1可以看出，喜歡香蕉的頻數(shù)最低，其頻率為2,也就是0.15；

（3）補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖2；

（4）所有可能的結(jié)果如下表：

第1種第2種第3種

香蕉香蕉枇杷

枇杷櫻桃櫻桃

由表知：王阿姨恰好買到櫻桃和枇杷的概率是

以

【一題多解】一共有3種水果，要從其中挑選2種，那么剩下的第三種就是留

下不挑選的，

從3種水果中留下1種的概率為本。

【星級(jí)】★★

20.（8分）（2015?廣元）某學(xué)校體育看臺(tái)的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺(tái)有

四級(jí)高度相等的小臺(tái)階，已知看臺(tái)高為1.6米，現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼的扶手AB及

兩根與FG垂直且長(zhǎng)度均為0.8米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的低端分別為D、

C),且NDAB=66.5"(cos66.5°=0.4).

（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH；

（2）求所用不銹鋼材料的總長(zhǎng)度I（即AD+AB+BC的長(zhǎng)）.

33

【解答】(1)DH=-EF=-xl.6=1.2(米)，所以DH為1.2米;

44

(2)連結(jié)CD,二四邊形ABCD

是平行四邊形，

，CD=AB,AB//DC,

AZCDH=ZBAD=66.5°,

第20題斛答圖

DHI7

RtACDH中，——=cos66.5°,—土0.4,

CDCD

.?.CD=3,即AB2

A=AD+AB+BC^0.8+3+0.8=4.6（米），即所用材料總長(zhǎng)度約4.6米。

【星級(jí)】★★

21.（8分）（2015?廣元）經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/

小時(shí)）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛/千米的

時(shí)候就造成交通堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/

千米，車流速度為80千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20WXW220時(shí)，車流速度v是車

流密度x的一次函數(shù).

（1）求大橋上車流密度為100輛/千米時(shí)的車流速度；

（2）在某一交通時(shí)段，為使大橋上的車流書店大于60千米/小時(shí)且小于80千

米/小時(shí)，應(yīng)把大橋上的車流密度控制在什么范圍內(nèi)？

【考點(diǎn)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)

【解答】（1）根據(jù)題意，當(dāng)20WxW220時(shí)，車流速度n是車流密度x的一次函

所以設(shè)v=ax+b?,

?當(dāng)x=20時(shí)，v=80；而當(dāng)x=220時(shí)，v=0；

20a+Z?=8022

求得a=-丁。=88,v=——x+88,

220a+b=0

9

則當(dāng)x=100時(shí),v=-1xl00+88=48,即此時(shí)車流速度為48千米

/小時(shí)。

27

（2）當(dāng)60WvW80時(shí)，也就是60W——X+88W80,貝卜28W——xW

55

-8,

70》x220,.\20<^<70,

即車流密度應(yīng)控制在20輛/千米到70輛/千米之間。

【一題多解】（2）當(dāng)v=60時(shí)，x=70；當(dāng)n=80時(shí)，x=20,

而函數(shù)v=-3+88隨著x的增大而減小，

所以當(dāng)60WnW80時(shí)，20WxW70。

【星級(jí)】★★★

22.（9分）（2015?廣元）李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)，把一根長(zhǎng)40cm的鐵絲

剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形.

（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？

（2）李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2,你認(rèn)為他的說法正

確嗎？請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)

【解答】（1）設(shè)其中一段的長(zhǎng)度為xcm,兩個(gè)正方形面積之和為scm2,

則s=（：）2+（f^^）2,5=^--5X+100（其中0<X<40）,

無(wú)2

當(dāng)s=58時(shí)，58=y-5x+100,解這個(gè)方程，得玉=12,x2=28,

I.應(yīng)將之剪成12cm和28cm的兩段；

一無(wú)2

（2）兩正方形面積之和為48時(shí)，48=——5x+100,x2-40x+416=0,

8

,/（-40）2—4x1x416=—64<0,二該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

也就是不可能使得兩正方形面積之和為48cm2,李明的說法正確。

【一題多解】（2）將函數(shù)改寫為s=L（x-20）2+50,

8

則有函數(shù)的最小值為s最小=50,所以李明的看法正確。

【錯(cuò)點(diǎn)】凡是從實(shí)際背景中建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，首先就要限定變量（或未知

數(shù)）取值的范圍，因?yàn)榻酉氯サ囊磺杏懻?，都必須在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行。

【星級(jí)】★★★

23.（9分）（2015?廣元）如圖，AB是。。的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作

CD_LOA交弦于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F,且CE=CB.

（1）求證：BC是。O的切線；

（2）連接AF、BF,求NABF的度數(shù)；

（3）如果CD=15,BE=10,sinA=-l,求。。的半徑.

【思路】（1）要想說明BC是切線，自然就想到造半徑OB,只要OB與BC垂直

即可；

當(dāng)OB與BC垂直時(shí)，NABO與NCBE互余，而NABO=/BAO,

在Rt^AED中，ZEAD（也就是NBAO）又是和NAED互余，

如果能有NAED=NCBE,那么問題就解決了；

（2）NABF和NAOF所對(duì)的弧是同一條弧，可否從同弧所對(duì)的圓周角和

圓心角之間的關(guān)系去考慮？

（3）已知條件中有CD和BE,都與4CBE相關(guān)，這就提示我們：可否將

問題印向4CBE方向轉(zhuǎn)化？

△AED中，除了有DE=CD-CE外，還有sinA

的值，那么我們必然就想到：能否在ACBE

中構(gòu)造出一個(gè)與4AED相似的三角形出來(lái)？

【解答】（1）連結(jié)OB,則有/ABO=NBAO,

笈△AED中，ZBAO+ZAED=90°,第23題解答圖1

而NAED=NCEB,AZABO+ZCEB=90°,

△CEB中，：CE=CB,.*.ZCBE=ZCEB,

XVZABO+ZCEB=90°,

.*.ZABO+ZCBE=90o,BRBC±OB,；.BC是。。的切線；

(2)分別連結(jié)AF,BF和OF,

,；D是AO中點(diǎn)，且DCLAO,.?.直線DC是線段OA的垂直平分線，

而點(diǎn)F在DC上，...AF=OF(線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離

相等)

△AOF中，VAF=OF=OA,.二△AOF是等邊三角形，.\ZAOF=60",

.*.ZABF=-NAOF=30。(圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半)；

2

(3)取BE中點(diǎn)G,則EG=-BE=5,連結(jié)CG,

27

VCE=CB,.?.CGLBE(如圖2),

△CEG和4AED中,

VZCGE=90°=ZADE,NCEG=NAED,

.,.△CEG^AAED,AZECD=ZA,

《△CEG中，一=sinZECG=sinA=—,即3=—,.,.CE=13,

CE13

則DE=CD-CE=15-13=2,CG=A/C￡2-EG2=A/132-52=12,

???△CEGS-ED,.?.空=空，叫上，.?.AD0,

EDAD2AD5

而D是AO中點(diǎn)，.,.AO=2AD=g,即。。的半徑為g。

【星級(jí)】★★★★

24.(12分)(2015?廣元)如圖，已知拋物線y=-工(x+2)(x-m)(m>0)

與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).

(1)若拋物線過點(diǎn)G(2,2),求實(shí)數(shù)m的值；

(2)在(1)的條件下，解答下列問題：

①求出△ABC的面積；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使AH+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

(3)在第四現(xiàn)象內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三

角形與4ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】本題考查了點(diǎn)與坐標(biāo)，相似三角形性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

【解答】(1)拋物線過點(diǎn)G(2,2)時(shí)，—工(2+2)(2—機(jī))=2,根=4；

m

(2)在(1)的條件下，y=—；(x+2)(x—4),

①則A(-2,0),B(4,0),C(0,2),則A0=C0=2,AB=6,

?*.SAA