江蘇省專(zhuān)轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題答案詳解

江蘇省專(zhuān)轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題一．選擇題(每題4分,共24分)1.當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無(wú)窮小，那么常數(shù)的值為()A. 1B. 2C.3D.4解：此題考查無(wú)窮小階的比擬，就是求兩個(gè)函數(shù)比值的極限，條件說(shuō)是等價(jià)無(wú)窮小，那么比值的極限是1，即有那么，選B。2.曲線(xiàn)的垂直漸近線(xiàn)是()A. B. C.D.沒(méi)有垂直漸近線(xiàn)解：所謂垂直漸近線(xiàn)就是假設(shè)〔也可以是單側(cè)極限，即左極限或右極限為無(wú)窮大〕，那么稱(chēng)為垂直漸近線(xiàn)。一般拿來(lái)討論極限的為函數(shù)中無(wú)定義的點(diǎn)，此題有三個(gè)無(wú)定義的點(diǎn)，即，，，但是在求極限時(shí)函數(shù)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后變成，因此只有，所以選C。3.設(shè)，那么()A.B.C.D.解：此題考查變上限積分函數(shù)求導(dǎo)公式，選A。4.以下級(jí)數(shù)中條件收斂的是()A.B.C.D.解：此題考查絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，首先要知道無(wú)論是絕對(duì)收斂還是條件收斂都是滿(mǎn)足收斂，只是收斂的“強(qiáng)度”不同罷了。選項(xiàng)A與D都是滿(mǎn)足絕對(duì)收斂的，選項(xiàng)C一般項(xiàng)的極限不是零，顯然發(fā)散，只有選項(xiàng)B滿(mǎn)足條件收斂。5.將二重積分，化成極坐標(biāo)下的二次積分，那么得()A.B.C.D.解：此題考查二重積分的極坐標(biāo)變換，首先關(guān)鍵是畫(huà)出積分區(qū)域來(lái)，作圖如下：此題積分區(qū)域形如右圖陰影局部，顯然答案選D。6.函數(shù)單調(diào)遞減且其圖形為凸的區(qū)間是()A．B.C.D.解：?jiǎn)握{(diào)減就是一階導(dǎo)數(shù)小于零，凸就是二階導(dǎo)數(shù)小于零，于是，選D。二．填空題〔每題4分,共24分〕7.解：此題考查“”型的冪指函數(shù)求極限，利用“重要極限的推廣公式”8.，那么_______________解：此題考查導(dǎo)數(shù)的定義，極限中的只是一個(gè)字母，一個(gè)無(wú)窮小而已，如同原始定義中的一樣，從極限分子中可以看出自變量改變了，于是9.定積分___________.解：此題考查定積分化簡(jiǎn)計(jì)算，即利用函數(shù)奇偶性10.設(shè)那么_________.解：此題考查向量坐標(biāo)的加法、減法以及叉乘運(yùn)算由可得，那么11.設(shè)函數(shù)由方程所確定，那么_______.解：此題考查多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)，可以選擇的方法有很多，比方“公式法”、“全微分法”、“兩邊求法”，這里我們采用兩邊求的方法，即對(duì)原方程兩邊同時(shí)關(guān)于求偏導(dǎo)得，解得。當(dāng)然此題用公式法做也很簡(jiǎn)單。12.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_________.解：此題考查利用系數(shù)模比值法求冪級(jí)數(shù)的收斂域因?yàn)?，所以于是，所以；?dāng)時(shí)，〔發(fā)散-P-級(jí)數(shù)〕；當(dāng)時(shí)，〔收斂-萊布尼茨判別法〕；綜上，收斂域?yàn)槿?jì)算題〔每題8分，共64分〕13.求極限解：原式=注：在此題的求解過(guò)程中使用了直接代入，即；并且利用，那么14.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求解：此題考查隱函數(shù)求導(dǎo)，而且是求具體點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值當(dāng)時(shí)，代入原方程得方程兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)得〔〕代入，得再對(duì)〔〕式兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)得整理得代入，及得15.求不定積分解：令，那么，代入得16.求定積分解：令，那么；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；代入得17.設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：18.設(shè)直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(-1,2,0)，垂直于直線(xiàn)又與平面平行，求其方程解：設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，那么，設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為，那么于是所求直線(xiàn)方程為19.計(jì)算二重積分解：由條件可知積分區(qū)域D是由曲線(xiàn)所圍成，在第一象限中的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,1〕，形如右圖陰影局部，所以注：此題有些同學(xué)可能會(huì)錯(cuò)誤的認(rèn)為陰影局部應(yīng)該是，這是不正確的這是因?yàn)榧僭O(shè)，那么就是第二個(gè)圖中的陰影局部了。20.求微分方程的通解解：原方程對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性微分方程的特征方程為，解得所以對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性微分方程的通解為；又為其中的一個(gè)特征根，所以原方程的一個(gè)特解為，那么，，代入原方程得，化簡(jiǎn)得所以，所以通解為四．證明題〔每題9分，共18分〕21.證明：當(dāng)時(shí)，證明：令，那么，，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以單調(diào)遞減，又，所以，即當(dāng)時(shí)，注：此題是利用三階導(dǎo)數(shù)相關(guān)信息一次次反推到原來(lái)的函數(shù)，即連續(xù)使用了三次利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，具體的關(guān)系圖如下：22.設(shè)函數(shù)，證明在處連續(xù)但不可導(dǎo)證明：顯然在的函數(shù)值為因?yàn)?，所以所以，即在處連續(xù)因?yàn)樗裕醋髮?dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以在處不可導(dǎo)綜上所述在處連續(xù)但不可導(dǎo)五．綜合題〔每題10分，共20分〕23.設(shè)函數(shù)在處取得極大值，且點(diǎn)是其圖形的拐點(diǎn)，求常數(shù)的值解：因?yàn)楹瘮?shù)顯然滿(mǎn)足一階和二階可導(dǎo)，所以它的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)〔一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)〕，它的拐點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)因?yàn)?，且在曲線(xiàn)上，所以綜上可得，解得24.求微分方程的一個(gè)解，使曲線(xiàn)于直線(xiàn)及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小解：將上述微分方程變形為即，這是一個(gè)一階非齊次線(xiàn)性微分方程，其中通解為即，顯然此時(shí)的體積是一個(gè)關(guān)于參數(shù)的一元二次函數(shù)，是一條拋物線(xiàn)，由中學(xué)數(shù)學(xué)可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是最小值點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為，即當(dāng)時(shí)取得最小值因此所求函數(shù)為注：此題涉及到畫(huà)圖的問(wèn)題，對(duì)于拋物線(xiàn)，我們知道它一定過(guò)原點(diǎn)〔0,0〕，但是常數(shù)C的正負(fù)性不知道，也就是不知道拋物線(xiàn)開(kāi)口向上還是向下。由于此題只是求旋轉(zhuǎn)體體積，所以只要畫(huà)出大致圖形即可。不過(guò)，光知道經(jīng)過(guò)原點(diǎn)是不夠的，會(huì)有很多種情況，從而