人教版初三(上)數(shù)學第75講：用函數(shù)觀點看一元二次函數(shù)(教師版)

用函數(shù)觀點看一元二次函數(shù)____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2、掌握拋物線與軸的交點與一元二次方程兩根之間的聯(lián)系，靈活運用相關(guān)概念解題；3、掌握并運用二次函數(shù)解題.1．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此______就是方程的一個根。2.二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關(guān)系二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個_______實數(shù)根，有兩個_______實數(shù)根。3．實際應(yīng)用在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最_________或最_______。參考答案：1.2.相等的不等的3.大值小值1、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系【例1】如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有關(guān)系．考慮以下問題（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地要用多少時間？【解析】由于球的飛行高度與飛行時間的關(guān)系是二次函數(shù)．所以可以將問題中的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中的值；否則，說明球的飛行高度不能達到問題中的值．解：（1）解方程．

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．∴當球飛行1s和3s時，它的高度為15m．（2）解方程．

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．∴當球飛行2s時，它的高度為20m．（3）解方程．

．∵∴方程無解．即球的飛行高度達不到20.5m．（4）解方程

．

．

．∴當球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時球從地面飛出．4s時球落回地面．畫出二次函數(shù)h=20t?5t2的圖象，觀察圖象，體會以上問題的答案．總結(jié)：一般地，我們可以利用二次函數(shù)深入討論一元二次方程．.練1.（2014春?天津市校級月考）已知二次函數(shù)，且，則一定有（）A. B.C. D.【解析】由，可知拋物線開口向下，又當時，，所以拋物線有在x軸上方的圖象，必與x軸有兩個交點，則方程有兩個不等實根，，即可求解.解：中，∴拋物線的開口向下又當時，，∴拋物線有在第二象限的點。它的示意圖如圖?！鄴佄锞€與x軸有兩個交點。令，得方程有兩個不相等的實數(shù)根∴故選A。練2.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0()A．沒有實根B．只有一個實根C．有兩個實根，且一根為正，一根為負D．有兩個實根，且一根小于1，一根大于2.【解析】結(jié)合圖象，拋物線與x軸交點個數(shù)，即可得到一元二次方程根的關(guān)系.解：由圖象可得，拋物線與x軸有兩個交點，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，且一根小于1，一根大于2.故選D.2．二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關(guān)系【例2】二次函數(shù)(1)y＝x2+x?2；(2)y＝x2?6x+9；(3)y＝x2?x+1的圖象如下圖所示．（1）以上二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？（2）當x取公共點的橫坐標時，函數(shù)的值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？【解析】如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交，那么交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.解：（1）拋物線y＝x2+x?2與x軸有兩個公共點，它們的橫坐標是?2，1；當x取公共點的橫坐標時，函數(shù)的值是0．由此得出方程x2+x?2=0的根是?2，1．（2）拋物線y＝x2?6x+9與x軸有一個公共點，這點的橫坐標是3．當x＝3時，函數(shù)的值是0．由此得出方程x2?6x+9=0有兩個相等的實數(shù)根3．（3）拋物線y＝x2?x+1與x軸沒有公共點，由此可知，方程x2?x+1=0沒有實數(shù)根．總結(jié)一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知，（1）如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x＝x0時，函數(shù)的值是0，因此x＝x0就是方程ax2+bx+c＝0的一個根．（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點．這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根．練3.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過P(1，0)點，則a＋b＋c＝______．【解析】將點代入函數(shù)解析式，即可求解.解：∵將P(1，0)點代入二次函數(shù)得，∴a＋b＋c=0.練4.（2014春?江寧區(qū)校級月考）一次函數(shù)y＝2x＋1與二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象交點()A．只有一個 B．恰好有兩個C．可以有一個，也可以有兩個 D．無交點.【解析】將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)換成關(guān)于x的一元二次方程，利用△即可求解.解：由題意得，，∴∴.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，即一次函數(shù)與二次函數(shù)有兩個交點.故選B.3．實際應(yīng)用【例3】利用函數(shù)圖像求方程的實數(shù)根（精確到0.1）.【解析】通過描點法作出函數(shù)圖象，即可求解．解：作的圖象，如下圖，它與x軸的公共點的橫坐標大約是-0.7，2.7.∴方程的實數(shù)根為練5.（2015?煙臺市一模）已知二次函數(shù)，其中為常數(shù)，且滿足。試判斷此拋物線的開口方向，與x軸有無交點，與y軸的交點在x軸上方，還是在x軸下方？【解析】欲確定拋物線的開口方向，要看，還是，由，可知，得知拋物線開口向下；又，得知拋物線與y軸交點在x軸上方；再由，得知拋物線與x軸有兩個交點解：∴∴拋物線開口向下；又∵，∴拋物線與y軸的交點在x軸上方；令，得∴拋物線與x軸有兩個不同的交點。練6.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c對于x的任何值都恒為負值的條件是()A．a(chǎn)＞0，△＞0 B．a(chǎn)＞0，△＜0C．a(chǎn)＜0，△＞0 D．a(chǎn)＜0，△＜0.【解析】結(jié)合二次函數(shù)開口方向即與x軸的交點的性質(zhì)，即可求解.解：由題可知，要使二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c對于x的任何值都恒為負值，需開口向下，即a<0；且拋物線與x軸無交點，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0無解∴△＜0.故選D.【例4】已知拋物線與x軸交于A（，0），B（，0）（）。（1）求的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左側(cè)；（2）若拋物線與y軸交于點C，且，求的值.【解析】（1）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由，求出的范圍；由，得出同號；再由，得出兩點在原點左側(cè)．（2）由，得出，再由，求出的解。解：（1）∵拋物線與x軸交于兩點，且，令，得∴的取值范圍是，且。又同為負數(shù)?！帱c都在原點左側(cè)。（2）同為負數(shù)，由，得∴∵∴練7．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩個交點的橫坐標是方程x2＋x－2＝0的兩個根，且拋物線過點(2，8)，求二次函數(shù)的解析式．【解析】先求出方程的兩個根，再結(jié)合過已知點坐標，代入解析式即可求解．解：由題意可得，x2＋x－2＝0（x-1）（x+2）=0∵將點（2,8）代入∴∴∴即為二次函數(shù)的解析式.練8．（2015?泰安市一模）當m＝______時，函數(shù)y＝2x2＋3mx＋2m的最小值為【解析】根據(jù)函數(shù)頂點坐標公式，即可求解．.解：根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，y＝2x2＋3mx＋2m的最小值為∴∴.【例5】已知：拋物線。（1）試求k為何值時，拋物線與x軸只有一個公共點；（2）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的負半軸交于點C。試問：是否存在實數(shù)，使與相似？若存在，求出相應(yīng)的的值；若不存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）只要證即可；（2）設(shè)法判定與的形狀，求出點A、B、C的坐標，再判定當兩個三角形相似時，求出的值．解：（1）令，得拋物線與x軸只有一個公共點，∴∴當時，拋物線與x軸只有一個公共點。（2）∵拋物線與y軸負半軸交于點C，當時，，∴點C的坐標為（0，），.當時，得∵點A在點B的左邊，∴A、B兩點的坐標分別是是等腰直角三角形。要使與相似，只需∴這樣的值存在，且.練9．已知二次函數(shù)的圖象與y軸交點坐標為(0，a)，與x軸交點坐標為(b，0)和(－b，0)，若a＞0，則函數(shù)解析式為()A． B．C． D．【解析】將與坐標軸的交點代入解析式，即可求解．解：∵二次函數(shù)的圖象與y軸交點坐標為(0，a)∴又與x軸交點坐標為(b，0)和(－b，0)∴故選B.練10．m為何值時，拋物線y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1與x軸沒有交點?【解析】轉(zhuǎn)化成一元二次方程，根據(jù)無交點，計算△<0，即可求解．解：(m－1)x2＋2mx＋m－1=0∵無交點，即方程無解∴∴∴．【例6】．某商店如果將進價為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可銷售100件。為了增加利潤，該商店決定提高售價，但該商品單價每提高1元，銷售量要減少10件。問當售價定為多少時，才能使每天的利潤最大？并求最大利潤.【解析】若每件商品提高x元，那么每件利潤為元，每天銷售量為件，每天所得利潤為y元，可列出函數(shù)解析式．解：設(shè)每件提高x元（）∴每件獲得利潤為元。每天可銷售件，設(shè)每天獲利潤y元，則∴當時，y的值最大。即當定價為每件14元時，獲得利潤最大，每天最大利潤為360元.練11．當m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點，有一個交點，無交點？【解析】轉(zhuǎn)化為一元二次方程求根的個數(shù)，即可求解．解：令，得∴當時，，拋物線與x軸有兩個交點；當時，，拋物線與x軸有一個交點；當時，，拋物線與x軸無交點.練12．（2015秋?秦皇島市期末）已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過O（0，0），A（1，），B（，14）和C（2，m）四點，求這個函數(shù)的解析式及m的值.【解析】將點坐標代入函數(shù)解析式，即可求解．解：∵函數(shù)圖象經(jīng)過O（0，0），A（1，），B（，14）三點，∴解得∴解析式為又圖象過C（2，m）點，練13．（2014秋?燕山區(qū)期末）已知二次函數(shù)（1）求證：對于任意實數(shù)m，該二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點；（2）若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點A、B，且A點坐標為（1，0）.求B點坐標.【解析】（1）計算一元二次方程△的值，即可求解；（2）將A點坐標代入函數(shù)解析式，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的根.解：（1），∴對于任意實數(shù)m，該二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點。（2）把（1，0）代入，得，當時，∴B點坐標為（－2，0）當時，∴B點坐標為（）.1．若拋物線y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c滿足a－b＋c＝0，則這條拋物線必經(jīng)過點______．2．關(guān)于x的方程x2－x－n＝0沒有實數(shù)根，則拋物線y＝x2－x－n的頂點在第______象限．3．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情況是()A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個異號實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根D．無實數(shù)根4．對稱軸平行于y軸的拋物線過A(2，8)，B(0，－4)，且在x軸上截得的線段長為3，求此函數(shù)的解析式．5.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常數(shù))中，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：x－10123y－2121－2(1)判斷二次函數(shù)圖象的開口方向，并寫出它的頂點坐標；(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常數(shù))的兩個根x1，x2的取值范圍是下列選項中的哪一個______．① ②③ ④_________________________________________________________________________________________________________________________________________