2023-2024學年湖南省長沙雅禮中學高一數學第二學期期末檢測試題含解析

2023-2024學年湖南省長沙雅禮中學高一數學第二學期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的，則輸出A． B． C． D．2．已知數列的前項和，那么（）A．此數列一定是等差數列 B．此數列一定是等比數列C．此數列不是等差數列，就是等比數列 D．以上說法都不正確3．把函數，圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象對應的函數為（）A． B．C． D．4．已知的內角的對邊分別為，若，則（）A． B． C． D．5．已知如圖正方體中，為棱上異于其中點的動點，為棱的中點，設直線為平面與平面的交線，以下關系中正確的是（）A． B．C．平面 D．平面6．在ΔABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a:b:c=3:4:5，則cosA．35 B．45 C．7．已知的三個頂點都在一個球面上，，且該球的球心到平面的距離為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．8．法國“業(yè)余數學家之王”皮埃爾·德·費馬在1936年發(fā)現(xiàn)的定理：若x是一個不能被質數p整除的整數，則必能被p整除，后來人們稱為費馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．9．下列函數中，既不是奇函數也不是偶函數的是（）A． B． C． D．10．若兩等差數列，前項和分別為，，滿足，則的值為().A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知空間中的三個頂點的坐標分別為，則BC邊上的中線的長度為________．12．英國物理學家和數學家艾薩克·牛頓（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.現(xiàn)把一杯溫水放在空氣中冷卻，假設這杯水從開始冷卻，x分鐘后物體的溫度滿足：（其中…為自然對數的底數）.則從開始冷卻，經過5分鐘時間這杯水的溫度是________（單位：℃）.13．已知變量x，y線性相關，其一組數據如下表所示.若根據這組數據求得y關于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.414．函數的定義域記作集合，隨機地投擲一枚質地均勻的正方體骰子（骰子的每個面上分別標有點數，，，），記骰子向上的點數為，則事件“”的概率為________.15．按照如圖所示的程序框圖，若輸入的x值依次為，0，1，運行后，輸出的y值依次為，，，則________.16．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數字回答）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．18．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，函數，且當時，取最大值.（1）若關于的方程，有解，求實數的取值范圍；（2）若，且，求的面積.19．已知數列，.（1）若數列是等比數列，且，求數列的通項公式；（2）若數列是等差數列，且，數列滿足，當時，求的值.20．為迎接世博會，要設計如圖的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左中右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60000，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸（單位：cm），能使整個矩形廣告面積最小.21．已知數列，.(1)記，證明:是等比數列；(2)當是奇數時，證明:；(3)證明:.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

首先確定流程圖所實現(xiàn)的功能，然后利用裂項求和的方法即可確定輸出的數值.【詳解】由流程圖可知，程序輸出的值為：，即.故選B.【點睛】本題主要考查流程圖功能的識別，裂項求和的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、D【解析】

利用即可求得：，當時，或，對賦值2,3，選擇不同的遞推關系可得數列：1，3,-3，…，問題得解.【詳解】因為，當時，，解得，當時，，整理有，，所以或若時，滿足，時，滿足，可得數列：1，3,-3，…此數列既不是等差數列，也不是等比數列故選D【點睛】本題主要考查利用與的關系求，以及等差等比數列的判定．3、C【解析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數化為的形式，然后再利用三角函數的圖像變換即可求解.【詳解】函數，函數圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標伸長到原來的2倍，可得.故選：C【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎題.4、B【解析】

已知兩角及一對邊，求另一邊，我們只需利用正弦定理.【詳解】在三角形中由正弦定理公式:，所以選擇B【點睛】本題直接屬于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.屬于簡單題.5、C【解析】

根據正方體性質，以及線面平行、垂直的判定以及性質定理即可判斷.【詳解】因為在正方體中，，且平面，平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以有，而，則與不平行，故選項不正確；若，則，顯然與不垂直，矛盾，故選項不正確；若平面，則平面，顯然與正方體的性質矛盾，故不正確；而因為平面，平面，所以有平面，所以選項C正確，.【點睛】本題考查了線線、線面平行與垂直的關系判斷，屬于中檔題.6、D【解析】

設a=3k,b=4k,c=5k,利用余弦定理求cosC的值.【詳解】設a=3k,b=4k,c=5k,所以cosC=故選D【點睛】本題主要考查余弦定理，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

先算出的外接圓的半徑，然后根據勾股定理可得球的半徑，由此即可得到本題答案.【詳解】設點O為球心，因為，所以的外接圓的圓心為AC的中點M，且半徑，又因為該球的球心到平面的距離為2，即，在中，，所以該球的半徑為，則該球的表面積為.故選：C【點睛】本題主要考查球的表面積的相關問題.8、A【解析】

用列舉法結合古典概型概率公式計算即可得出答案.【詳解】用表示抽取的兩個數，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數符合費馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數符合費馬小定理的概率故選：A【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.9、D【解析】

利用奇函數偶函數的判定方法逐一判斷得解.【詳解】A.函數的定義域為R,關于原點對稱，,所以函數是偶函數；B.函數的定義域為，關于原點對稱.,所以函數是奇函數；C.函數的定義域為R,關于原點對稱，,所以函數是偶函數；D.函數的定義域為R,關于原點對稱，，，所以函數既不是奇函數，也不是偶函數.故選D【點睛】本題主要考查函數的奇偶性的判斷，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.10、B【解析】解：因為兩等差數列、前項和分別為、，滿足，故,選B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出BC的中點，由此能求出BC邊上的中線的長度.【詳解】解：因為空間中的三個頂點的坐標分別為，所以BC的中點為，所以BC邊上的中線的長度為：，故答案為：.【點睛】本題考查三角形中中線長的求法，考查中點坐標公式、兩點間距離的求法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．12、45【解析】

直接利用對數的運算性質計算即可,【詳解】.故答案為：45.【點睛】本題考查對數的運算性質，考查計算能力，屬于基礎題.13、4.3【解析】

由所給數據求出，根據回歸直線過中心點可求解．【詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【點睛】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質是解題關鍵，即回歸直線必過中心點．14、【解析】要使函數有意義，則且，即且，即，隨機地投擲一枚質地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點數為，則，則事件“”的概率為.15、5【解析】

根據程序框圖依次計算出、、后即可得解.【詳解】由程序框圖可知，；，；，.所以.故答案為：.【點睛】本題考查了程序框圖的應用，屬于基礎題.16、72【解析】

先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數為.【詳解】先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數為種，故答案為72【點睛】本題考查排列、組合計數原理的應用，考查基本運算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據平面向量的數量積公式計算的值；（2）根據兩向量垂直數量積為0，列方程求出cosθ的值和對應角θ的值．【詳解】（1）因為，所以（2）因為與垂直，所以即，所以又，所以【點睛】本題考查了平面向量的數量積與模長和夾角的計算問題，是基礎題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用兩角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），結合已知可得：，求得：時，，問題得解.（2）利用正弦定理可得：，結合可得：，對邊利用余弦定理可得：，結合已知整理得：，再利用三角形面積公式計算得解.【詳解】解：（1）.因為在處取得最大值，所以，,即.因為，所以，所以.因為，所以所以，因為關于的方程有解，所以的取值范圍為．（2）因為，，由正弦定理，于是．又，所以.由余弦定理得：，整理得：，即，所以，所以.【點睛】本題主要考查了兩角和、差的正弦公式應用，還考查了三角函數的性質及方程與函數的關系，還考查了正弦定理、余弦定理的應用及三角形面積公式，考查計算能力及轉化能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）數列是公比為的等比數列，由等比數列的通項公式解方程可得首項和公比，即可得到所求通項；（2）數列是公差為的等差數列，由等差數列的通項公式解方程可得首項和公差，可得數列的通項，進而得到，再由指數的運算性質和等差數列的求和公式，計算即可得到所求值．【詳解】解：（1）數列是公比為的等比數列，，，可得，，解得，，可得，；（2）數列是公差為的等差數列，，，可得，，解得，，則，，，即可得，可得，解得或（舍去）．【點睛】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．20、高200，寬100【解析】

設廣告矩形欄目高與寬分別為acm,cm整個矩形廣告面積為當且僅當時取等號21、(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解析】

（1）