2024屆云南省民族大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題含解析

2024屆云南省民族大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋中任取2個(gè)球，那么下列事件中，是對(duì)立事件的是（）A．至少有1個(gè)白球；都是紅球 B．至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C．恰好有1個(gè)白球；恰好有2個(gè)白球 D．至少有1個(gè)白球；都是白球2．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)）,則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值是（）A．50 B．100 C．150 D．2003．在中，角的對(duì)邊分別為.若，，，則邊的大小為（）A．3 B．2 C． D．4．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．35．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．1 C． D．6．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．7．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．48．記為實(shí)數(shù)中的最大數(shù).若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為（）A． B．1 C． D．9．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇?一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰(shuí)推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A．8歲 B．11歲 C．20歲 D．35歲10．“”是“函數(shù)，有反函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．即非充分又非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計(jì)算：______．12．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是________．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))13．在中，角、、所對(duì)的邊為、、，若，，，則角________．14．已知函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，當(dāng)取得最小值時(shí)，_______________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則______16．已有無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)的和為1，則的取值范圍為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）若，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有18．現(xiàn)有一個(gè)算法框圖如圖所示。（1）試著將框圖的過(guò)程用一個(gè)函數(shù)來(lái)表示；（2）若從中隨機(jī)選一個(gè)數(shù)輸入，則輸出的滿足的概率是多少？19．在中，已知角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積.20．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊綠地，扇形所在圓的圓心為，半徑為,，廣場(chǎng)管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在上選一點(diǎn)，過(guò)修建與平行的小路，與平行的小路，設(shè)所修建的小路與的總長(zhǎng)為，.（1）試將表示成的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，取最大值？求出的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷．【詳解】從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，在A中，“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)事件會(huì)發(fā)生，是對(duì)立事件.在B中，“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1個(gè)白球”與“恰好有2個(gè)白球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件.在D中，“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”不是互斥事件.故選：A.2、B【解析】

根據(jù)調(diào)和數(shù)列定義知為等差數(shù)列，再由前20項(xiàng)的和為200知，最后根據(jù)基本不等式可求出的最大值?！驹斀狻恳?yàn)閿?shù)列為調(diào)和數(shù)列，所以，即為等差數(shù)列又，又大于0所以【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“調(diào)和數(shù)列”的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題。3、A【解析】

直接利用余弦定理可得所求.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或（舍?故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

由，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出，然后將所求代數(shù)式化為，并在分子分母上同時(shí)除以，利用弦化切的思想求解．【詳解】由題意可得，即．∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查垂直向量的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查弦化切思想的應(yīng)用，一般而言，弦化切思想應(yīng)用于以下兩方面：（1）弦的分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角弦的次分式齊次式，分子分母同時(shí)除以，可以將分式由弦化為切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角的二次整式，然后除以化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以可以實(shí)現(xiàn)弦化切．5、C【解析】

運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運(yùn)用通項(xiàng)公式解得首項(xiàng)即可．【詳解】由題意知，所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題．【詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元法的使用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題.7、B【解析】由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可，所以，故選B.考點(diǎn)：本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.8、B【解析】

先利用判別式法求出|x|,|y|,|z|的取值范圍，再判斷得解.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得，所以，同理?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義和判別式法求范圍，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】

九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．【詳解】由題意九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．記最小的兒子年齡為a1，則S9=9故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵正確理解題意，能用數(shù)列表示題意并求解．10、A【解析】

函數(shù)，有反函數(shù)，則函數(shù)，上具有單調(diào)性，可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】函數(shù)，有反函數(shù)，則函數(shù)，上具有單調(diào)性，．是的真子集，“”是“函數(shù)，有反函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)、充分條件與必要條件的判定方法，考查推理能力與計(jì)算能力，同時(shí)考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在分式的分子和分母中同時(shí)除以，然后利用常見(jiàn)的數(shù)列極限可計(jì)算出所求極限值.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，熟悉一些常見(jiàn)數(shù)列極限是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、①②④【解析】用正方體ABCD-A1B1C1D1實(shí)例說(shuō)明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1與DD1在平面ABCD上的投影是一條直線及其外一點(diǎn)．故①②④正確．13、.【解析】

利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和反三角函數(shù)，解題時(shí)要充分結(jié)合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、110【解析】

要使取得最小值，可令，即，對(duì)的值進(jìn)行粗略估算即可得到答案.【詳解】由題知：①.要使①式取得最小值，可令①式等于.即，.又因?yàn)?，，則當(dāng)時(shí)，，，①式.則當(dāng)時(shí)，，，①式.當(dāng)或時(shí)，①式的值會(huì)變大，所以時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特征，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，核心素養(yǎng)是考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于難題.15、-1【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，再代入的展開(kāi)式進(jìn)行求值.【詳解】角終邊過(guò)點(diǎn)，終邊在第三象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義知：，【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義及三角恒等變換，在變換過(guò)程中要注意符號(hào)的正負(fù).16、【解析】

根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和表達(dá)式，將用公比表示，根據(jù)的范圍求解的范圍.【詳解】因?yàn)榍?，又，且，則.【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的應(yīng)用，難度一般.關(guān)鍵是將待求量與公比之間的關(guān)系找到，然后根據(jù)的取值范圍解決問(wèn)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析．（2）證明見(jiàn)解析．【解析】

（1）根據(jù)所給遞推公式，將式子變形，即可由等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.（2）根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法求得通項(xiàng)公式，并變形后令.由求得的取值范圍，即可表示出，由不等式性質(zhì)進(jìn)行放縮，求得后，即可證明不等式成立.【詳解】（1）證明：各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：則，，同取倒數(shù)可得，所以，由等差數(shù)列定義可知數(shù)列為等差數(shù)列．（2）證明：由（1）可知數(shù)列為等差數(shù)列．，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.則，令，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，所以由不等式性質(zhì)可知，若，則總成立，因而，所以所以不等式得證.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，由定義證明等差數(shù)列，換元法及放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)輸出結(jié)果的條件可得定義域；根據(jù)最終的條件結(jié)構(gòu)可得到不同區(qū)間內(nèi)的解析式，從而得到函數(shù)解析式；（2）分別在兩段區(qū)間內(nèi)求得不等式的解集，根據(jù)幾何概型計(jì)算公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由程序框圖可知，若要輸出結(jié)果，根據(jù)條件結(jié)構(gòu)可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，框圖可用函數(shù)來(lái)表示（2）當(dāng)時(shí)，在上無(wú)解當(dāng)時(shí)，在上解集為：所求概率為：【點(diǎn)睛】本題考查讀懂程序框圖的功能、幾何概型中的長(zhǎng)度型問(wèn)題的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)三角函數(shù)的值域準(zhǔn)確求解出自變量的取值范圍，從而利用幾何概型的知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用邊角互化思想得，由結(jié)合兩角和的正弦公式可求出的值，于此得出角的大??；（2）由余弦定理可計(jì)算出，再利用三角形的面積公式可得出的面積．【詳解】（1）∵是的內(nèi)角，∴且，又由正弦定理：得：，化簡(jiǎn)得：，又∵，∴；（2）∵，，∴由余弦定理和（1）得，即，可得：，又∵，故所求的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面積公式，本題巧妙的地方在于將配湊為，避免利用方程思想求出邊的值，考查計(jì)算能力，屬于中等題．20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，通過(guò)基本不等式求得的最小值，則.【詳解】（1）或所求不等式解集為：（2）當(dāng)時(shí)，可化為：又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、恒成立問(wèn)題的求解問(wèn)題.解決恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)分離變量的方