2024年高考數(shù)學(xué)一模好題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含答案

2024年高考數(shù)學(xué)一模好題分類

匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

題型01導(dǎo)數(shù)的幾何意義

題型02導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

題型03導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

題型04導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

題型05導(dǎo)數(shù)的新穎題型

題型01導(dǎo)數(shù)的幾何意義

題目回（2024下.廣東.茂名市一模）曲線/⑺=ex+ax在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線y=2x平行，則a=

（）

A.—2B.—1C.1D.2

題目巨］（2024下?廣東?梅州市一模）已知力（2）urreN+sinic+cosir,九+1（尤）是于“（x）的導(dǎo)函數(shù)，即力㈤=

力⑺，力0）=%3），…,/”+10）=%3），々CN*,則拉24（。）=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

［題目|3］（2024下.廣東大灣區(qū).校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）若過點(diǎn)（a,b）可作曲線/㈤=/nt的幾條切線

（nCN）,則（）

_3_

A.若a40,則?142B.若0<@<6",且匕=a2lna，則九=2

C.若n=3,則a%。VbV2ae2+^-e-3D.過（e6）,僅可作g=/（c）的一條切線

題目區(qū)）（2024下?廣東?廣州市一模）（多選）已知直線"=far與曲線g=In/相交于不同兩點(diǎn)%）,

N，曲線g=ln力在點(diǎn)Al處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)P（力0,為），則（）

A.0<fc<—B.xx—exC.%+92=1+%D.2Vl

ex2Q

題目|-5~J（2024下?廣東.深圳市一模）已知函數(shù)/（6）=磯力一（x—62）（巳一g）（a>0）,設(shè)曲線g=fQ）

在點(diǎn)（電力（詞）處切線的斜率為雙i=123）,若如均不相等，且口=—2,則自+4k3的最小值為

題型02導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

［題目|6］（2024下?廣東?茂名市一模）（多選）若/⑺=—94梟2+22+1是區(qū)間g_1）m+4）上的單

調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)小的值可以是（）

A.-4B.-3C.3D.4一,一,上

,------------1、rr—a

〔題目⑺（2024下?廣東?看一模）已知0（aVL函數(shù)/Q）=9^3豐0）.

⑴求/Q）的單調(diào)區(qū)間.

（2）討論方程/（2）=a的根的個(gè)數(shù).

［題目8■2024下?廣東?東莞）已知函數(shù)/（t）=（l+ln/K汽

（1）討論/（①）的單調(diào)性；

（2）若方程/（力）=1有兩個(gè)根x19力2,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍，并證明：/便2>1-

???

題型03導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

題目9（2024下?廣東?佛山禪出T：若函數(shù)/3=心/+十+3aWO）既郁及大值也有極小值，則

下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a<0B.6<0C.a&>—1D.a+b'X）

期口小（2024下?廣東?廣州市二中模擬）已知函數(shù)/⑸=/—--^—x2-bx（a,bER）沒有極值點(diǎn)，則

2（Q+1）

的最大值為（）

Q+1

A?亭B-fCeD4

亶1口口（2024下?廣東?深圳市一模）（多選）設(shè)a>Lb>0,且Ina=2—b,則下列關(guān)系式可能成立的是

（）

A.a=bB.b—a=eC.a=20246D.ab>e

回衛(wèi)］（2024下?廣東?佛山拜城一模）若函數(shù)/Q）=+癡―吟生—a（aCR）有2個(gè)不同的零

點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

題目I13］（2024下■廣東?廣州市一模）已知函數(shù)/（c）=COST+xsmx,xE（―兀,兀）.

（1）求/（為的單調(diào)區(qū)間和極小值；

⑵證明：當(dāng)TC［0,乃）時(shí)，2/（/）We"+e『

MS

［題目|14］（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬演測(cè)）設(shè)函數(shù)f㈤=In/+a（z—1）（2—2）,其中a為實(shí)數(shù).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/Q）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)了㈤在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)g應(yīng)時(shí)，證明：/（g）+f（x2）＞^-+ln^.

yib

蜃團(tuán)工（2024下?廣東弗州市一模）已知函數(shù)/⑸=ac—十―（a+l）lmr（aCR）.

⑴當(dāng)。=一1時(shí)，求曲線4=/（力）在點(diǎn)（e,/（e））處的切線方程；

（2）若/（力）既存在極大值，又存在極小值,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

???

［題目［16］（2024下?廣東?百校聯(lián)考）已知函數(shù)/（Z）=ex-ln（x—巾）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)m=—1時(shí)，求/（a?）的最小值；

（2）若對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)為都有/（⑼>4,求整數(shù)m的最小值.

（參考數(shù)據(jù)：/。3.49）

遒U亙（2024下?廣東?梅州市一模）已知函數(shù)/（尤）=lnQ+l）—』粉（&>0）.

（1）若力=1是函數(shù)/（N）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；

（2）若/Q）>0在［0,+8）上恒成立,求a的取值范圍；

（3）證明：（需y°2S>e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

???

題型04導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

［題目|18］(2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模)已知函數(shù)/(c)=Inc+2x-b(b>2).

(1)證明：/(*)恰有一個(gè)零點(diǎn)a,且aC(l,b)；

(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線

法”.任取立住(l,a),實(shí)施如下步驟:在點(diǎn)(%f(g))處作/Q)的切線，交①軸于點(diǎn)(電,0)：在點(diǎn)

(電,/(電))處作了(功的切線，交多軸于點(diǎn)(附0)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列｛0｝，它的各項(xiàng)是

f(x)不同精確度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)瑞^產(chǎn)儀叫)，求g(cn)的解析式；

(ii)證明：當(dāng)?C(l,a)，總有xn<xn+1<a.

［題目〔19］(2024下?廣東?深圳市一模)已知函數(shù)/(①)=磯/—l)e"+i—22In2—/(aeR).

⑴當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)/O)在區(qū)間［e71］上的最小值;

(2)討論函數(shù)/(①)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)當(dāng)函數(shù)/(0無極值點(diǎn)時(shí),求證：asinA>§.

MS

題型05導(dǎo)數(shù)的新穎題型

題目|20］(2024下?廣東?暮曷)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，把/(⑼稱為函數(shù)夕=/(*)的一階導(dǎo)，令/'(c)=g(c),

則將g'⑸稱為函數(shù)y=f(G的二階導(dǎo)，以此類推…得到n階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用［/'(力

表示.

(1)已知函數(shù)/(2)=ex+ainx-d,寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.

(2)現(xiàn)定義一個(gè)新的數(shù)歹U：在沙=/(力)取S=/(1)作為數(shù)列的首項(xiàng)，并將/(1+力］”,n>1作為數(shù)列的

第九+1項(xiàng).我們稱該數(shù)列為y=f(x)的“八階導(dǎo)數(shù)列”

n

①若函數(shù)g(c)=x(n>1),數(shù)列｛冊(cè)｝是夕=。(立)的“九階導(dǎo)數(shù)列”，取空為｛an｝的前九項(xiàng)積，求數(shù)列

｛臺(tái)｝的通項(xiàng)公式.

②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“八階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮

數(shù)列，請(qǐng)寫出它并證明此結(jié)論.(寫出一個(gè)即可)

MS

蜃葉口(2024下?廣東?廣州市二中模擬)數(shù)列｛冊(cè)｝嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，滿足條件.

若力=加時(shí)，函數(shù)/(力)取得極大值或極小值，則稱館為函數(shù)/(/)的極值點(diǎn).已知函數(shù)/(2)=In/+

一7—，g(2)=Vox，其中Q為正實(shí)數(shù).

x-Ya

(1)若函數(shù)/(乃有極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)電>g>0,g和0的幾何平均數(shù)為J嬴，算術(shù)平均數(shù)為Bi署.

①判斷，g—了與電和電的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明；

lnx2—lna;i

②當(dāng)a>1時(shí),證明：y(x)Wg(x).

MS

題耳叵〕（2024下?廣東?茂名市一模）若函數(shù)/（①）在［a,b］上有定義，且對(duì)于任意不同的［a,b］,都

有|/（傷）一/3）Vk\X1-x2\，則稱/㈤為［a,b］上的“類函數(shù)”.

2

（1）若/（切=看+=判斷/Q）是否為［1,2］上的“3類函數(shù)斷

（2）若fQ）=a（x-l）e工一金-xlnx為［l,e］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若/㈤為［1,2］上的“2類函數(shù)”，且/⑴=*2），證明：V電,x2e［1,2］,1（亞）一V1.

MS

導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

題型01導(dǎo)致的幾何意義

題型02導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

題型03導(dǎo)致與函數(shù)的極值、最值

題型04導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

題型05導(dǎo)數(shù)的新穎題型

題型01導(dǎo)數(shù)的幾何意義

蜃團(tuán)工（2024下?廣東?茂名市一模）曲線/（c）=1+ac在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線y=2c平行，則a=

（）

A.—2B.—1C.1D.2

【答案】。

【解析】

【詳解】因?yàn)榍€/（力）=e*+QN在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線g=2%平行，

故曲線/（/）=已|+0/在點(diǎn)（0,1）處的切線的斜率為2,

因?yàn)?'（力）=6"+Q,所以/'（0）=e°+a=1+a=2,

所以Q=1,

故選：C.

題目0）（2024下?廣東?梅州市一模）已知力（力）=力/+5由力+以九名,九+1（力）是力（力）的導(dǎo)函數(shù)，即力（①）=

―0），/3（/）=力（④），…，九+13）=尤3），心CN*,則力024（0）=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【解析】

【詳解】解：因?yàn)榱ΓΓ?/￡*+sin/+cosN,

所以力（力）=f；（①）=（x+l）ex+cosx—sinrc;

力（2）=力（力）=（%+2）e,一sine—cosx;

力（2）=月（力）=（x+3）e,一cos/+sinre;

f5（x）=力（力）=（x+4）e,+sinc+cosx;

,,，

由此規(guī)律可得：/2024（/）=f2023（x）=（/+2023），*—cos/+sin2.

所以由2024（0）=（0+2023）e°-cos0+sinO=2023-1=2022.???

故選：8.

[題目|1](2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬覆測(cè))(多選)若過點(diǎn)(a,b)可作曲線/(力)=/n工的n條切線

(九6八0，則()

_3_

A.若Q<0,則n<2B.若OVQVe?,且b=(121rlQ,則n=2

C.若n=3,則a'naVbV2QC2+^-e-3D.過(e6),僅可作g=/(c)的一條切線

【答案】ZBO

【解析】

【詳解】設(shè)切點(diǎn)(a?o,Xolna?o)，則/(0)—2glng+g,

切線為g一局lng=(2glng+/())—g),

代入(a,b)整理得(2%()lng+g)Q—斕ng—b=0,

令g[x)=(2/lnc+x)a—rc2lna;—x2—b,

g{x}=(21nrc+3)a—2/1HN—3X=(21nc+3)?(Q—%),

_3.

2

令g{x}=0得傷=Q,x2=e.

當(dāng)Q40時(shí)，/G(0,e,g\x)>0,所以g{x}在(0,e上單調(diào)遞增，

xE(e2,+8),/(/)VO,所以在(e2,+8)上單調(diào)遞減，

g(ef=—2a-e奇+/eT—b,在(0,+8)兩側(cè)均有可能為負(fù)，同時(shí)極大值可能為正，

所以至多有2個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

當(dāng)Qe(0,e時(shí)，xE(0,Q)和力e(e、,+oo)時(shí)，g[x}VO,所以g[x}在(0,a),(e亍,+8)上單調(diào)遞減,

xG（a,e之），03）>0,所以g（0在（Q,e2）上單調(diào)遞增,

/_3^\_A1

g[a}—a2lna-b,gye=—2ae^+—,e-3—fe,

當(dāng)b=a2lna時(shí)，g（Q）=0,所以g（e'）>0,

結(jié)合圖象，值域?yàn)椋ㄒ籵o,—2Qe.+1?e-3—b]，所以n=2,B正確;

若?i=3,則g（Q）<0<g（e,即a2lna<b<—2ae^+-1-e-3,

同理當(dāng)a>e亍時(shí)，g（e<0<g（Q）,即一2aeT+^-e-3<b<a12l*na,C錯(cuò)誤;

_3.

若Q=e"時(shí)，g'Q）&0,gQ）單調(diào)遞減;

結(jié)合圖象，g?E（—oo,b）,

則當(dāng)一b>0時(shí)，g{x}有1個(gè)零點(diǎn)，即bV。，。正確,

故選：ABD.

［題目|4］（2024下?廣東?廣州市一模）（多逸）已知直線g=k力與曲線g=In力相交于不同兩點(diǎn)M（xi,yi）,

N，曲線。=ln%在點(diǎn)7W處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)「（g,%）,則（）

A.0<fc<—B.力便2=e四）C.yi+曠1+%D.y1y2V1

e

【答案】ZCD

【解析】方法一：過（0,0）作g=Ina;的切線，切點(diǎn)設(shè)為（g/ng）,g'=工,k=工切線g—lng=

x23

工（7-2；3）,過（0,0）,則一lng=L（-a；3）,則x3=e

力3/3

切線的斜率為（0,!），人對(duì).

eve7

在TVf處切線：y=—x—1+Ing,在N處切線y=-x—1+lnx2

Xix2

<1

9一五c+lnNiTlnx2—inx1lnx2—lnx1

i，則x0=----------=力巡2-----------

y=-x—1+\nx2電一力2一為

l”2X1x2

k=In*2m3,g=x1x2k,即力便2=exxQ,B錯(cuò)\

x2—Xik

%_Inrci_Ing.】_】

rv———,??—9

XiXix2

1lnx—inx1r力21n%2-Nzlnci+c21nrq—cjn/i

Uo=----2巡2-----2------1-FInXi—l=--------------------------------1

◎x2—xr力2一名1

比21n/2一力Jn力1力21口/2—力Jn/i

----------------l,y+l

力2一610N2f

,,,,（Ing+lng）儂一州）xlnx2—xinx2+x2\nx—xinx

yi+V2=lng+lng=--------------------21111

xi—XxX2—Xr

/21口力2—力Jn力i

"）+1,c對(duì).

X2—Xi

???

J,

對(duì)于。二2-：>標(biāo),電紅3<一,即

lnx2—ynx1g一力1叩2力便2

:.XiX2V1,即標(biāo)/口2V1,**?kxikx2<1，即9曲V1,。對(duì).

方法二:二；：二，令如=1皿93=?

g（力）在711處的切線方程為y=—（x—+lng=」■力+In/「1①

在N處的切線方程為g=」-c+hi/2—1②

力2

由k%=Inx=>k=有兩個(gè)不等實(shí)根為1,劣2,作出g=的

xx

大致圖象如下

A正確.

e

=

x+kxx—kx20=>g=kx^,??x^—-^-rr0>eg,8錯(cuò).

對(duì)于。，由x0=kgg知,0=—,k/i%2+lng—1=kx1-\-kx2—l=%+仍一1

Xi

%+夕2=1+%，C正確?

對(duì)于。，由kxr=Infc+ln/i=ink+y產(chǎn)In%,同理Ink+y2=iny2

???皿例一改今%統(tǒng)飛一1>VW2=>yiV2<1,D正確.

選：ACD.

［題刖5］（2024下?廣東?深圳市一模）已知函數(shù)/（力）=。（力一g）（力—/2）（力一g）（Q>0）,設(shè)曲線y=f（x）

在點(diǎn)（為,/（詞）處切線的斜率為雙i=l,2,3）,若如均不相等，且防=—2,則自+4網(wǎng)的最小值為

【答案】18

【解析】

【詳解】由于y(rr)=a(x—Xi)(x—rr2)(x—x3)(a>0),

故f'(x)=a[(x—x1)(X—X2)+(x—X2)(x—x3)+(劣_g)(a;_%i)],

故41=Q(g—/2)(21一23)/2=Q(力2—g)(22—◎)，k3=。(3一力1)(出3一62)，

則（+七+士111

a(g—g)(劣1一63)。(力2—劣3)(22—力1)Q(g—g)(g—g)???

=（g—g）+⑶―g）+但—g）=°

a（±i-o；2）（叫一薪）（磔一的）

由后=-2,得*+*=]~，

代<1兒3乙

由k2=-2,即k2—Q（力2—力3）（12—力1）V0,知名2位于傷,g之間，

不妨設(shè)0V電Vg,則卜1>0,網(wǎng)>0,

當(dāng)且僅當(dāng)1,即自=6,向=3時(shí)等號(hào)成立,

〔自十及32

故則3+4上的最小值為18,

故答案為：18

題型02導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

〔題目〔6〕（2024下?廣東成名市一模）（多選）若/⑺=—梟2+22+1是區(qū)間（山—1,山+4）上的單

調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)小的值可以是（）

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】CD

【解析】

【詳解】由題意，f（x）=—x2+x+2=—（x—2）（力+1）,

令f，（x）>0,解得一1V/V2,令/（i）<0,解得2<—1或%>2,

所以/（乃在（-1,2）上單調(diào)遞減，在（-oo,-l）,（2,+oo）上單調(diào)遞減，

若函數(shù)f（①）=―^-X3+^-X2+2X+1在區(qū)間（772—1,771+4）上單調(diào)，

o/

_1_1

「二c，解得5或??2>3或mG0,

?n+4&2

即m4一5或nz>3.

故選：CD.

題目區(qū)（2024下?廣東?南一模）已知0<aV1,函數(shù)/（⑼=豐0）.

（1）求/（⑼的單調(diào)區(qū)間.

（2）討論方程/（⑼=a的根的個(gè)數(shù).

【答案⑴.減區(qū)間為：（一8,0）,（0,1）;增區(qū)間為：（1,+8）.（2）.0

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

MS

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號(hào)和最值，可確定方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【小問1詳解】

X-a

因?yàn)?(工)=肉

a__ex-a-2x—a___e_x—aae:~a(x—1)

所以：/(%)

由/'(2)>0=力>1,又函數(shù)定義域?yàn)?—oo,0)U(0,+oo),

所以函數(shù)在(—8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

x-a

因?yàn)镺VaVl,所以：當(dāng)x<0時(shí)，/(力)=-----V0,方程/(力)=a無解;

x

當(dāng)力>0,函數(shù)在(0,1)上遞減,在(l,+oo)遞增，

所以/(^)min~/(I)=ae1-a>ae°=a,所以方程/(力)=a無解.

綜上可知：方程/(2)=a的根的個(gè)數(shù)為0.

〔題目812024下?廣東?東莞)已知函數(shù)/(/)=(l+lnx)eln^.

(1)討論/(田)的單調(diào)性；

(2)若方程/(尤)=1有兩個(gè)根22,求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：工便2>1.

【答案】(1)/(乃在(0,1)上單調(diào)遞增，(1,+8)上單調(diào)遞減，

(2)見解析

【解析】

【小問1詳解】

由題意可得①>0,」一>0,所以a>0,

ax

f(x)=(i+in/)』”』i"的定義域?yàn)?o,+oo),

春?a力—(1+Inc)?a

又/(⑼一直。，由/'(①)=0,得2=1,

(ax)2ax

當(dāng)ovcvi時(shí),f?>o,則/⑺在(0,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)①>1時(shí)，,㈤<0,則f(x)在(1,+co)上單調(diào)遞減,

【小問2詳解】

由」±1些=1,得1+\nx、氏/、1+Inx

-------=a,僅g(x)=

axx-----------------x

x-(l+lnx)—]mr

g{x}=—，由g'(4)=0,得力=1,

X2T2

當(dāng)0V"V1時(shí)，g'3)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)工>1時(shí)，g'(x)V0,則g(x)在(1,+>)上單調(diào)遞減，???

又=0,g（l）=1,且當(dāng)力趨近于正無窮，g（c）趨近于0,

所以當(dāng)OVQVI時(shí)，方程三皿=Q有兩個(gè)根，

x

、十口口—~,、、兀c11+lng1+lnx2

證明：不妨設(shè)—Vx2，則0V的V1<T2,--------=--------,

Xix2

設(shè)h{x}=g{x）—g（，）—、+I）—/（1—Inc）,

h!（x）=—與包■+111力=/「7」11%>0,所以九（力）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

x2x1

又九⑴=0,所以九Qi）=g（g）—g（」~）v0,即g（g）<g（」~），

又g（傷）=9（72）,所以g（x2）vg（」-）,

又名2>1,~~>1,g（c）在（1,+8）上單調(diào)遞減，所以力2>――，

力］X-［

故1逆2>1-

題型03導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

南回回（2024下?廣東?佛山禪城一模）若函數(shù)/⑺=almr+&+與aw0）既有極大值也有極小值，則

力X

下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a<0B.6<0C.ab>—1D.a+&>0

【答案】C

蜃回①］（2024下?廣東?廣州市二中模擬）已知函數(shù)/⑺=/—--^—x2-bx（a,bER）沒有極值點(diǎn)，則

2（Q+1）

的最大值為（）

a+1

A.手B-f4D.f

【答案】B

【詳解】函數(shù)/（力）=ex——-x2—bx沒有極值點(diǎn)，

2（Q+1）???

f(x)=ex-----—b=0,或/'(力)40恒成立，

由g=e2指數(shù)爆炸的增長(zhǎng)性，/Q)不可能恒小于等于0,

/(%)=ex-->0恒成立.

令以n)=ex---J~TX一b,則〃(力)=ex----,

CLIJ.dIJ.

當(dāng)Q+1V0時(shí)，〃(力)>0恒成立，h(*)為R上的增函數(shù),

因?yàn)閑xE(0,+oo)是增函數(shù)，(—8,+oo)也是增函數(shù)，

所以，此時(shí)以力)E(—oo,+oo),不合題意；

②當(dāng)Q+1>0時(shí)，〃(6)=ex---中l(wèi)為增函數(shù)，由h!⑸=0得力=—ln(a+1),

令h'(x)>0<=^>%>—ln(Q+1),h\x)<<—In(a+1)

/.h(x)在(—oo,—In(a+1))上單調(diào)遞減，在(—ln(Q+1),+8)上單調(diào)遞增，

。

當(dāng)力=—ln(a+1)時(shí)，依題意有h(x)min=h(—\n(a+1))=—+叱^1)—匕)(),

dIJ.CLI

a1ln(a+1)

a+1a+1

bvln（a+1）+1

a+1>0

a+1、（a+I）?

Iri7]

令Q+1=X（X>0）,U（6）=--------（X>0）,

x2

則〃'（「）=>一（M［+l）?2力=（2hi7+l）

令?/（/）>0<==>0Vn令?/（力）VO,解得力

Veve

所以當(dāng)力=時(shí)，u{x}取最大值

故當(dāng)。+1=6=乎，即。=返一l,b=乎時(shí)，一^取得最大值高

7e262CL~r12

綜上,若函數(shù)加為沒有極值點(diǎn)，則三丁的最大值為氣

故選：B.

［題目|11］（2024下?廣東?深圳市一模）（多選）設(shè)a>1/>0,且Ina=2-b,則下列關(guān)系式可能成立的是

（）

A.a=bB.b—a=eC.a=2024&D.ab>e

【答案】A。

【解析】

【詳解】由于Ina=2—b,知6=2—Ina,及其Q>1,6>0,則b=2—Ina>0,解得1VaV

???

對(duì)AB,b—Q=2—Ina—Q,設(shè)函數(shù)/(Q)—2—Ina—a,1a<Ce2,f'(a)——--1V0,

a

故f(a)在(l,e2)上單調(diào)遞減，則一e2=/(e2)</(a)</(l)=1,即—e2Vb—aV1,故Z對(duì)右錯(cuò)；

對(duì)。，由于lVaVe?,2=2—Ma,設(shè)g(Q)=2Tna/<°<62,0⑷=-Q當(dāng)3

aQaa

故g(a)在(l,e2)上單調(diào)遞減，0=g(e?)<g(a)Vg(l)=2,故之G(0,2),

若Q=2024b,O=Gye(0,2),故。對(duì)；

a2024

對(duì)D,ab=Q(2—Ina),設(shè)九(Q)=a(2—Ina),aE(l,e2),h\a)=2—(Ina+1)=1—Ina,

令//(a)=0,則a=e,則QG(l,e),h\a)>0,則aG(e,e2),h'(a)<0,

22

則h(a)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,e)上單調(diào)遞減，/imax(a)=e,無(1)=2,/i(e)=0,故h(a)E(0,e],即0

Vab<e，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

趣亙J?(2024下?廣東?佛山禪城一模)若函數(shù)/(0=eQn工+此一0詈—a(aCR)有2個(gè)不同的零

點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0,1)U(1,+8)

【解析】

【詳解】由函數(shù)/(re)=e"(lna;+x)—a(生皂+1)=(Ina?+⑼(e"——(a?>0),

設(shè)gQ)=Incc+2,可得g(x)=—+1>0,g(x)單調(diào)遞增,

且g(,)=Tn2+5<0,g⑴=0+1>0,

所以存在唯一的xrE(0,1)，使gQi)=0,即lng+g=0,

令ex——=0,即a=xex,

設(shè)無(力)=跣”,可得"(力)=(N+l)e*>0,則h(x)在(0,+oo)上單增，

又由八(0)=0且/一+8時(shí)，h(x)7+00,

X2

所以當(dāng)aG(0,+oo)時(shí)，存在唯一的T2E(0,+co)，使九(力2)=Q，即Q=x2e,

若力產(chǎn)g時(shí)，可得°,則In/i=—,可得名產(chǎn)e~X1,所以名代的=1,

[a=/傳

所以Q=1,

綜上所述，實(shí)數(shù)Q的取值范圍為(0,1)U(1,+00).

故答案為：(0,1)U(l,+oo).

題目I13](2024下?廣東?廣州市一模)已知函數(shù)/(力)=COSN+resin/,力E(―兀,兀).

⑴求/（力）的單調(diào)區(qū)間和極小值；

⑵證明：當(dāng)力G[0,7：）時(shí)，2/（力）Wex+e-x.???

【解析】

(1)/(%)=—sinx+sinx+xcosx=xcosx=0=2=0或合或一與

當(dāng)一兀Vn<—時(shí)，/'(I)>0,/(rr)7;當(dāng)一^VcV0時(shí)，/'(力)<0,/(rr)/;

當(dāng)0V力V■時(shí)，f(力)>0,/(/)/;當(dāng)請(qǐng)■V/V兀時(shí),/(力)V0,/(rc)/;

???/（①）的單增區(qū)間為（一兀，J），（0,y）；單減區(qū)間為（一爭(zhēng)0）,（三兀）

/(力)極小值=/(0)=L

⑵當(dāng)力G［0,7r)時(shí)，令F(z)=e*+e—°—2(COSN+rrsin力),

F，(x)=e*—22cos/>ex—e~x—2x

xxxxxx

令8(i)=e-e--2xf^(x)=e+e--2>2^e-e--2=0

:.p(力)在［0,7r)上7,(p(x)>0(O)=0,F\x)>0,F(x)在［0,7t)上7

??.FO)>F(0)=0,證畢！

〔題目|14］（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬演演I）設(shè)函數(shù)八①）=Int+以t—1）（t—2）,其中a為實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)Q=1時(shí)，求/（力）的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)/（力）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)名1，電時(shí)，證明：/（◎）+/（力2）＞亮+1口魯.

yio

【答案】（D/3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（o,2

（2）證明見解析

【解析】

【小問1詳解】

/㈤的定義域?yàn)?0,+8),/㈤=1+(2.-3)=2萬(wàn)一?+1,

令f(x)=(2c—l)3—l)=。,得<或2=1,

x2

￡G(o.y)u(1,+co)時(shí),F3)>o,①e懵1)時(shí)，/㈤<o,

所以/（*）的單調(diào)遞增區(qū)間為

【小問2詳解】

2。/2—3。力+1

f'(x)=

X

由f（x）在（0,+8）上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)XlfX2,

2a#0

Xi+x2=4>0o

故2a/—3a/+1=0有兩個(gè)不同的正根，則有,-i2c，解得a>9

叩2=蚩>09

A=9a2—8a>0???

因?yàn)?(Xi)+/(力2)—In(力網(wǎng))+Q(冠+忌)—3aQ1+62)+4a

7

=InQi62)+Q[(力i+力a)2—Zgg]—3a(6i+g)+4a=—ln(2a)+—a—1,

設(shè)g(Q)-—ln(2a)+[a-1,Q>[,

則g'(a)=：-十=烏盧>0,故g(a)在借，+8)上單調(diào)遞增,

又g(a)>g島=-1喏+/=卷+1端，

故/3)+/(g)>,+1“看?

［題目［15］(2024下?廣東?梅州市一模)已知函數(shù)/(%)=Q%—1―(Q+l)ln/(a6R).

(1)當(dāng)。=一1時(shí),求曲線9=/(力)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程；

(2)若/Q)既存在極大值，又存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴沙二(與―1)力—|"；

(2)(O,l)U(l,+8).

【解析】

【小問1詳解】

當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)/3)——X—工求導(dǎo)得/'(%)=占一1,則/(e)■—1,而/(e)=—e——,

xx2e2e

所以曲線y—f{x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程為y—

2

e

【小問2詳解】

函數(shù)/(6)=ax—-—(a+l)lnx的定義域?yàn)?0,+co),

x

1a+lax2—(Q+l)x+1(ax—1)(/—1)

求導(dǎo)得『3)――丁=-------------=一―

當(dāng)a40時(shí)，arc—1V0,由/'(%)>0,得0V力VI,由/(力)V0,得c>1,

則函數(shù)/Q)在(o,i)上遞增，在(1,+8)上遞減，函數(shù)/Q)只有極大值/(1)，不合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(%)=0,得力=1或6=工，

a

①若0<工<1,即0>1,由f'3)>0,得0V/V工或力>1,由/'(二)V0,得工V/V1,

aaa

則函數(shù)/(%)在(0,十),(1,+8)上遞增，在(十,1)上遞減，

因此函數(shù)/(⑼的極大值為/(十),極小值為/(1),符合題意；

②若上>1,即OVaVl,由『(力)>0,得0V/V1或力>工，由/'(二)V0,得1V/V工，

aaa

???

則函數(shù)/Q)在(0,1),(，,+8)上遞增，在(1,十)上遞減，

因此函數(shù)/㈤的極大值為f⑴,極小值為/(十)，符合題意；

③若工=1,即a=l,由/3)>0在(0,+co)上恒成立，得/(⑼在(0,+co)上遞增,

a

函數(shù)f(x)無極值，不合題意,

所以a的取值范圍為(0,1)U(1,+00).

題目叵］(2024下?廣東?百校聯(lián)考)已知函數(shù)/(c)=e-ln3—巾)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)?7l=—1時(shí)，求/(C)的最小值；

(2)若對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)土,都有/Q)>4,求整數(shù)m的最小值.

(參考數(shù)據(jù)：3.49)

【答案】⑴1(2)1

【解析】

【小問1詳解】

m=-l時(shí)，/(①)=e"—ln(a;+1)，故f(x)=ex---

因?yàn)閥=因,y=_］在(-l,+oo)上均為增函數(shù)，故/(工)在(―l,+oo)上為增函數(shù)，

而f(0)=0,故當(dāng)(0,+8)時(shí)，/'(］)>0,當(dāng),6(-1,0)時(shí)，/'(2)<0,

所以/(田)在(—1,0)上為減函數(shù)，在(0,+8)上為增函數(shù)，

故/(c)min=/(0)=L

【小問2詳解】

由/(x)的定義域?yàn)?m,+co),f'(x)=e"-----—,x>m,

x-m

x

因?yàn)閥=e,y=—xm在(m,+co)上均為增函數(shù)，故/(①)在(m,+oo)上為增函數(shù)，

而/'(6+1)=e1m1+1-^———>1-Y=0,

\m\+1—mi

當(dāng)力一7n(從M的右側(cè))時(shí)，/'(2)一一8,故/'⑺在(m,+oo)上存在一^零點(diǎn)g,

且力G(m,g)時(shí)，<0;xE(g,+8)時(shí),『(力)>0;

故/(力)在(zn,g)上為減函數(shù)，在(力o，+8)上為增函數(shù)，

故/⑸min=/(/o)=e/°—