福建省百校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月月考數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前

2024屆高三12月質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

L答題前.先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定

位置。

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)

域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;

字體工整，筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x/—4x+3<0},B={y|y=2A+l),則A3=()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(1,3)D,[1,3)

2.已知i(z—l)=z+l,則==()

A.—iB.1—iC.iD.1+i

3.已知b為單位向量，若(a+2b)_L(3a-b),則cos(a?=()

z7cinv

4.若函數(shù)/'(耳二%]—sinx為偶函數(shù)，則實數(shù)a=()

A.lB.OC.-lD.2

5.芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面A3CD為矩形，頂棱PQ和底面平行，書中描

述了芻薨的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一?即

V=-(2AB+PQ)BCh(其中〃是芻薨的高，即頂棱PQ到底面A3CD的距離)，已知A3=25C=4,

△P4D和△Q3C均為等邊三角形，若二面角P—AD—5和Q—BC—A的大小均為150。，則該芻薨的體積

為()

5百

B.373D.473

(兀、?八，cos(a—￡)

6.右tana-\—=-3,tan3=3,貝！J------------=()

I4；sin(cr+y0)

734

A.-lB.—C.-D.一

555

7.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,6〉0,設(shè)甲：q>l；乙：?！?2〉可，貝U()

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知雙曲線C：x2--^=l(&>0),點尸(2,0),2(3,0),若C上存在三個不同的點〃滿足陽。|=2|九切,

二、多項選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知圓(x+2)2+y=l,圓C2：%2+(J-?)2=9,則下列結(jié)論正確的是()

A.若q和。2外離，則。〉'或a<-26

B.若G和02外切，貝!14=土26

C.當(dāng)a=0時，有且僅有一條直線與G和02均相切

D.當(dāng)a=2時，G和。2內(nèi)含

10.已知正實數(shù)x,y滿足％+4y=孫，則()

A.xy<16B.x+y>9

C.工―2的最大值為0D.4、+4y的最小值為2"

%16

11.已知/(x)=log2%+%，g(x)=2*+x,若“〃)=g(Z?)=2,則()

A.〃=2"B.a+b=2

C.a—>>1D.—<ab<2^/2—2

4

12.在三棱錐4—ABC中，AA,平面ABC,AB±AC,AAl=AB=AC=3f尸為△ABC內(nèi)的一個動

點(包括邊界)，AP與平面4BC所成的角為45。，則()

A.AP的最小值為6-石

B.A/的最大值為卡+石

c.有且僅有一個點尸，使得APLBC

D.所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積為二巨

4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)S“是公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若34=。4,則當(dāng)巫=.

“2023

14.已知函數(shù)/(x)=ln(G：+l),且y=2x為曲線y=/(x)的一條切線，則口=.

22

15.設(shè)耳，鳥是橢圓C：a+3=1(?！?〉0)的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，/為C上一個動點，且

\MF^+2MF1-F1O的取值范圍為[1,3],則橢圓C的長軸長為.

16.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+e)[ty〉O,O<e<a],若且/⑼+/[=0,則

/周二-------

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

ahc

記△A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,且5=——.

4

（1）求△ABC的外接圓的半徑;

27r

（2）若匕+c=2,且4=——，求BC邊上的高

3

18.（本小題滿分12分）

工+盤+…+&=2〃-L

設(shè)S.為數(shù)列｛q｝的前〃項和,

12n

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

zz+2

(2)設(shè)Z?“=----,證明：4+6+…+6〃<4.

nan-

19.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/(%)=3(二-ax-a，aeR.

⑴討論/（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)時，設(shè)X],X2分別為了（無）的極大值點、極小值點，求/（石）-/（%2）的取值范圍?

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,AB±BC,2AB=2BC=CD=PD=PC,設(shè)E,M分別

為棱AB,PC,CD的中點.

（1）證明：即〃平面K44；

（2）若PA=PM,求。與平面PCD所成角的正弦值.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/(X)=x?Inx-21nx+辦2—g,aeR.

（1）證明：/（無）有唯一的極值點;

（2）若“無）20,求a的取值范圍.

22.（本小題滿分12分）

己知拋物線C：V=2px（p>0）,尸為C的焦點，P（4,%）（%>。）在。上，且歸周=5.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/與C交于A,8兩點(A,8分別位于直線x=4的兩側(cè))，且直線Q4,的斜率之和為0.

(i)求直線/的斜率：

(ii)求△QAB的面積的最大值.

2024屆高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

題號12345678

答案BCDDABCA

題號9101112

答案ABCBCABDACD

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.【答案】B

【解析】由V—4%+3<0,解得l4x<3,所以A={x|l〈尤<3},因為y=2工+1>1,所以8={小>1},

A[B={x|x>l},故選B.

2.【答案】C

（1+丁

【解析】因為i（z—l）=z+l,z=—所以』=i,故選C.

（i-l）0+i）

3.【答案】D

【解析】依題意，（a+2b＞（3a—b）=3a~+5a?b—2//=l+5a-Z?=0,因為=|聞/?卜05卜力），所以

cos^,Z?y,故選D.

4.【答案】D

?左刀,人舊上r(\asinx.a—1—e”./、a—1—e.、

【解析】由題思，fix)=----------sinx=-----------sinx=/(-%)=------------sin(-x),

1+e*1+ex1+e-x

所以I二厘""J：x=_(aT)eT,所以(a—2乂+1)=0,解得a=2,故選D.

1+e1+e1+e'八'

5.【答案】A

【解析】設(shè)名和。分別是P,。在底面的投影，設(shè)又為的中點，則

A=PMsin30°=A/3x-=—,RM=PMcos3b。=瓜當(dāng)=3,所以《Qi=A3+2《M=4+3=7,

22

V=g（2A3+PQ）3C/=gx（2x4+7）x2x^=孚

故選A.

6.【答案】B

【解析】因為tan[?+a1+tan6/

=-3,解得tana=2,

1一tana

cos(6Z-/J)_cosacosj3+sinasin/?_1+tanfztan(3_1+2x3_7

所以---7-----—----------------------=--------------------=—，故選B.

sin(6Z+/?Jsinicos尸+cosasin/?tan67+tan/72+35

7.【答案】C

【解析】考慮充分性：因為q>0,當(dāng)">1時，??>0,所以a,.—/=%(/—1)>°，滿足充分性；考慮

必要性：all+2>an,即。“(/一1)>0,當(dāng)4=1,4+2=4，當(dāng)4<0時，a“正負(fù)交替，?！?二一1)不可能

恒大于0,當(dāng)0<“<1時，??(^2-1)<0,當(dāng)4>1,1)>0,滿足必要性，所以甲是乙的充要條件，

故選C.

8.【答案】A

【解析】設(shè)M(x,y),由|加0=2|九0,可得^x-3)2+y2=2^/(x-2)2+/，整理得(x—g]+/=^,

將點M的軌跡與雙曲線聯(lián)立，即/(Y—l)+(x—g]-^=0,整理得

~~b2--b2

2222

Z?(X-1)+L-|"|-1=(^-1)-(b+l)x+b-^=0,解得X=1或x=2~所以2~->1,解

1+b21+b2

得k<2,所以c的離心率6=Ji+4=ji+/(叵,故選A.

3\a23

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.【答案】ABC

【解析】q(-2,0),C2(O,a),|GQ|="+/,4=1,4=3,

若G和。2外離，則|CC|=，4+4>、+&=4,解得a〉2石或。<—2g,A選項正確；

若G和。2外切，|。?="+/=4,解得。=土2百，B選項正確；

當(dāng)a=0時，|。1&|=2=弓一/;,&和。2內(nèi)切，故僅有一條公切線，C選項正確；

當(dāng)a=2時，2=馬—弓<|GG|=2，5<{+^=4,G和02相交，D選項錯誤；

故選ABC.

10.【答案】BC

【解析】x+4y=xy>2^4xy=4yjxy,當(dāng)且僅當(dāng)％=4y,即工=8,y=2時等號成立，所以盯216,A

選項錯誤；

由％+4y=孫，可知3+'=1,所以％+丁=￡+2.f%+y')=5+—+—>5+2H^X^=9,當(dāng)且僅當(dāng)

xyy)xy\xy

x=2y,即九=6,y=3時等號成立，B選項正確；

由％+4y=沖，可知％=所以工—-上二上」—--=--f—+—^<--2^-x^=0,當(dāng)且僅當(dāng)

y-1x164y16414y16)4\4y16

y=2時等號成立，C選項正確；

4%+4-2,4"4y=2…,當(dāng)x=y時等號成立，由B可知，x+y>9,當(dāng)且僅當(dāng)％=2y時等號成立，因

為前后兩次不等式取等條件不一致，所以4*+4、>2°,D選項錯誤，故選BC.

H.【答案】ABD

【解析】因為142〃+〃=2匕+6=1。822'2",所以/(〃)=/(2)又log2%,x均單調(diào)遞增，所以/(同

單調(diào)遞增，故。=2”,A選項正確；

由A可知〃=2",所以log2〃=b+a=2,B選項正確；

因為/(%)單調(diào)遞增，且/(；］=log2；+；〉；+；=2,/(V2)=log2V2+V2=-+V2<2,

y2J22

o

根據(jù)零點存在定理，有a-b=a-［2-a)=2a-2<l,C選項錯誤；

ab=a(2-a),因為二次函數(shù)y=a(2—a)的對稱軸為1,且在區(qū)間|血,^］上單調(diào)遞減，所以

—<ab<2.>j2,—2,D選項正確，

4

故選ABD.

12.【答案】ACD

【解析】依題意，A3=AC=5C=3四,取3C的中點M,則AML5C,VBC,

所以平面AAM，過A作于"，因為平面

所以且A/BC=M,所以AH_L平面ABC,易得AH=6，且"為等邊△A5C的外

心,

由AP與平面人出。所成角為45。，可知=

所以點P軌跡是以〃為圓心，以G為半徑的圓在△A5C內(nèi)部的一部分,

如圖所示，

所以的最小值為4〃—打="—6,A選項正確;

由于軌跡圓部分在平面ABC外部，所以4。的最大值不等于+B選項錯誤;

因為平面4AM，若則點P在線段A"上，有且僅有一個點P滿足題意，C選項正確;

動線段AP形成的曲面為圓錐側(cè)面積的一部分，

因為cos/B、HM=且"-=絲,所以工，

1HBi24

2^--2x—x3]1

因為--------4—=—，所以曲面面積為圓錐側(cè)面面積的一，

27144

圓錐AH側(cè)面積為LxJ3x2乃x石=3后，

2

所以所有滿足條件的動線段AP形成的曲面面積為空，D選項正確，故選ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2023

13.【答案】

2

q+q+2022d

【解析】因為3%=%，即3(a]+d)=q+3d,所以6=0,」經(jīng)=-------2-----------------=——

a

生023\+202212

14.【答案】2

【解析】/(0)=0,/'(x)=---,設(shè)切點為(%o，ln(a%o+1)),

cue+1

a

則切線方程為y—ln(%+l)=x-

ax。+1

依題意」一=2,且ln(a/+l)-一要匚=0,解得a=2.

axQ+1axQ+1

15.【答案】2也

【解析】|〃與『+2”片.片0="￡.(班+2￡0)

=MF[-(ME+FlF2^=MF1-MF2=(MO+O與)(MO+OF^

=|A/O|2-|O^|2=|MO|2-C2,

b2-c2=1,a2=5(,

V\MO\e[b,a],.?J|wo|2-c2je[_b2-c2,a2-c2],a2—c1—3,=><b1=3,

〃=/+。2c2=2,

長軸長2a=2yB.

16【答案】—

2

71

【解析】由可知，當(dāng)％=工時，/(%)取得最大值，所以@x&+*=2左；r+工(kwZ),

662

27r2〃

又/(O)+J0,即sin/=-sin-CD-\-(P=-sin(8左"+2乃一4夕+0)=sin3(p,

jrTT3

因為0</<5，所以0+3。=?,解得°=i，所以G=12左+/(左wZ),

,3〃V2

/[f卜喑x'+泊.=sin——=

4"T

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.【答案】(1)1(2)-

2

nhr1a

【解析】(1)依題意S=——=-bcsmA,所以——=2,

42sinA

由正弦定理一絲=^^=」一=2R,得R=l,

sinBsinAsinC

所以△A5C的外接圓半徑為1；

(2)由(1)可知‘一=:=2,解得a=2sin'=百，

sinA.2乃3

sin——

3

由余弦定理，得。2=b2+c2-2Z?ccosA=b2+c2+bc={b+c^-be,

即3=2?—be,解得歷二[,

ahc1he1

設(shè)邊上的高為〃，則S='=—ox/z,所以//=,=—.

4222

n2

18.【答案】(1)an=(n+l)-2-(2)略

【解析】(1)解：因為'■^—-H----1—^=2"-1①，

12n

當(dāng)〃22時，縣+昆+…+”=2"T—1②,

12n-1

q

①-②，可得出=2"—2〃T=2〃T,所以〃22時，S〃=〃-2〃T,

n

當(dāng)〃N3時，a—"—1)2n-2=(〃+1)?2n-2,

{

又當(dāng)〃=1時，a1=2-1=1,

當(dāng)”=2時，S2—a1+a2—4,所以a,=3,

所以當(dāng)〃=1,2時符合為=5+l).2"-2,

綜上，an=5+1卜2"-2；

〃+22(n+l)-n11

(2)證明：由(1)知,>=~

n?(n+l)2,,-2“(n+])-2"-2—("+1).2"-2

所以+…++——++

1x2-22x2-12x2「i3x2°nx2"-3(w+l)x2"

=-------------------------=4------------------<4

1x2-2(n+l)x2"-2(n+l)x2n-2'

19.【答案】⑴詳解見解析(2)[4e78)

【解析】(1)f'(x)=ex(^x2-ax-a+2x-a^=ex(x+2)(x-a),

當(dāng)a=—2時，/(x)=ex(x+2)2>0,/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)aw-2時，令/'(X)=0，解得％=-2或％=a,

所以當(dāng)a>-2時，/'(%)>0,%￡(TX),—2)(a,4w),

???〃x)在(―oo,—2),(〃,長。)上單調(diào)遞增，在(—2,〃)上單調(diào)遞減，

當(dāng)av-2時，(x)>0,(-2,+oo),

，/(%)在(一8,〃),(—2,-KO)上單調(diào)遞增,在一2)上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)a20時，由(1)可知，石=—2,x2=a,

fl

則〃%)=/(一2)=(。+4)小2,/(x2)=/(a)=-?e,

-2

所以/(xL)-/(x2)=(?+4)e+ae"，

設(shè)g(a)=(a+4)e~+aefl(a>0),則g'(a)=e~+(a+l)e">0,

所以g(a)在［0,+8)上單調(diào)遞增，g(a)>g(0)=4e-2,

所以/(%)-/(%)的取值范圍是［4e-2,+oo).

20.【答案】(1)略(2)*5

【解析】(1)證明：取的中點N,則人丁〃CM,且2NF=CM,

又AE〃?；郑?AE=CM,所以N屋AE,所以四邊形AEMVN為平行四邊形，

所以ER〃㈤V,又ANu平面M仁平面K4",所以砂〃平面K4"；

(2)解：作AM的中點打，連接/W,

?：PA=PM,：.PH±AM,

又,：CD=PD=PC,M是CD的中點，CDLPM,

又：2AB=25C=CD,AB//CD,ABLBC,M是CD的中點，：.CD±AM,

,：AM=；.C。，平面B4M,CDLPH,

?：PHLCD,PHYAM,AM\CD=M,?,。￡><=平面48?！?,；.0//，平面48。0,

不妨設(shè)2AB=25C=CD=4,

以點〃為坐標(biāo)原點，分別以HA,過點〃平行于CD的直線，所在的直線為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

p

A（1,O,O）,P（0,0,而），M（-1,0,0）,C（-l,2,0）

則PM=（—1,0,—而），MC=（0,2,0）,

因為N為PM的中點，所以N,AN=

由（1）可知，EF//AN,所以E7與平面尸CD所成角,

即為AN與平面PCD所成角，設(shè)〃=（羽y,z）為平面PCD的一個法向量,

n-PM=0,—x—Jllz=0,

則由＜令z=l,則x=—

n-MC=0y=0,

即〃=b&T,o,i）.

設(shè)AN與平面PCD所成角為氏

\n-AN\2而^A65

則sin6=J—=

2氐行15

所以E尸與平面PCD所成角的正弦值為［p.

21.【答案】（1）略（2）a>-

2

2（2

【解析】（1）證明：/'（x）=2xlnx+x——+2ax=x\21nx——-+l+2tz

JCkX

224

設(shè)g（x）=21nx——-+l+2a,則g'（x）=一+二〉0,

所以g（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

（2a+l\2a+l

又ge2<21ne2+1+2。=0,

k7

1-2。1-2〃

取玉〉1,且玉>。2,且>2hiX]—2+1+2〃>21ne2-1+2〃=0,

(2a+lA

2

所以存在唯一與￡e,x1,使得g(%)=0,

當(dāng)工￡(0,%)時,g(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)無￡(%,+8)時，g(X)>0,/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)X=/時，/(%)取得極小值，所以/(%)有唯一極值點；

22

(2)解：由(1)可知，g(%o)=21nXo—y+1+2d=0,即依；=1—--x：In/,

/