魯教版初三(上)數(shù)學(xué)第75講：與圓有關(guān)的計算(學(xué)生版)

與圓有關(guān)的計算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握弧長、扇形面積、圓錐的體積和表面積的計算公式；2.掌握弧長、扇形面積、圓錐的體積和表面積的應(yīng)用.1．相關(guān)名詞弧長：在圓上過兩點的一段弧的長度叫做弧長。扇形：_____________________所圍成的圖形叫扇形（半圓與直徑的組合也是扇形）。圓錐：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。圓錐的高：圓錐的頂點到圓錐的底面圓心之間的距離叫做圓錐的高；圓錐母線：圓錐的側(cè)面展開形成的扇形的半徑、底面圓周上任意一點到頂點的距離。圓錐的側(cè)面積：將圓錐的側(cè)面沿母線展開，是一個扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,而扇形的半徑等于圓錐的母線的長.圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長×母線÷2；沒展開時是一個曲面。圓錐有一個底面、一個側(cè)面、一個頂點、一條高、無數(shù)條母線，且底面展開圖為一圓形，側(cè)面展開圖是扇形。2.圓中有關(guān)計算：（1）圓的面積公式：，周長C＝2πR．（2）弧長：圓心角為n°、半徑為R，________________．（3）扇形的面積：圓心角為n°，半徑為R，弧長為l，____________．（4）弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算．需根據(jù)不同的情況作出不同的處理：

①當弓形所含弧為劣弧時，S弓=S扇-S△

②當弓形所含弧為優(yōu)弧時，S弓=S扇+S△

③當弓形所含弧為半圓時，S弓=S圓（5）圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2πRl，全面積為．（6）圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．1.弧長的有關(guān)計算【例1】已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的弧長是（）．A．3 B．4 C．5 D．6【解析】根據(jù)弧長公式帶公式計算即可?！敬鸢浮緽練習(xí)1.在半徑為5的中，弦AB=5，則的長為（ ）A． B． C． D．練習(xí)2.弧長等于半徑的圓弧所對的圓心角是（）A． B． C． D．60°2.扇形面積的有關(guān)計算【例2】如圖，△ABC中，BC＝4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是⊙A上一點，且∠EPF=40°，則圓中陰影部分的面積是()．A． B． C． D．【解析】陰影部分的面積可用三角形的面積減去扇形的面積即可求?！敬鸢浮緽練習(xí)3．已知：如圖，在邊長為a的正△ABC中，分別以A，B，C點為圓心，長為半徑作，，，求陰影部分的面積．練習(xí)4．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A點為圓心，AC長為半徑作，求∠B與圍成的陰影部分的面積．3.圓錐的有關(guān)計算【例3】用半徑為6的半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面半徑等于（）A.3 B.2.5 C.2 D.1.5【解析】設(shè)底面半徑為R，圓錐的底面圓周長等于半圓的周長可求底面圓半徑?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)底面半徑為R，則底面周長=2Rπ，半圓的弧長=×2π×6=2πR，∴R=3．故選A．練習(xí)5.已知圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，則這個圓錐的母線長為（）A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm練習(xí)6.用半徑為3cm，圓心角是120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為（）A.2πcm B.1.5cm C.πcm D.1cm4.弓形面積【例4】如圖2，兩個同心圓被兩條半徑截得的的長為6πcm,的長為10πcm，若AB=12cm,求圖中陰影部分的面積?！窘馕觥勘绢}主要考察弧長、扇形面積的有關(guān)計算，要熟記公式，正確運用。陰影面積等于兩個扇形面積之差?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)∠O=α，由弧長公式得6π=,10π=,∴OA=,OB=.又∵AB=OB-OA,∴12=-,∴α=60°,∴OA==18,OB==30.∴陰影部分的面積為：-==96π練習(xí)7.已知如圖⊙O1為含120°弧的弓形的直徑最大的內(nèi)切圓，求證：這個內(nèi)切圓的周長等于弧長的。練習(xí)8.如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為120°，AB的長為30cm，貼紙部分BD的長為20cm，則貼紙部分的面積為()．8題圖A． B． C． D．5.陰影部分的面積【例5】已知如圖半徑OA=6cm,C為OB的中點,∠AOB=120°,求陰影部分面積S陰影ABC.【解析】求陰影部分的面積，最關(guān)鍵的就是將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差，以上為例，S陰影可以折分為S扇形OAB與SDAOC的差，也可以折分為SDABC與S弓形AB的和，但因為這兩個面積，求起來較繁鎖，所以到底用哪種方法，要有所選擇。欲求S陰影ABC,從圖形上看是不規(guī)則圖形,所以問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差，觀察圖形會發(fā)現(xiàn)S陰影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.【答案】解:由圖示可知S陰影ABC=S扇形-S△ACO,而S扇形OAB==12π(cm2),∴S△ACO=×6×3·sin60°=(cm2),∴S陰影ABC=(12π-)cm2.練習(xí)9．如圖,PA,PB分別切圓O于A、B,并且∠AOB是鈍角,如果四邊形PAOB的周長和面積分別為8(1+)和16,求劣弧AB與兩切線所夾部分的面積,(即陰影面積)練習(xí)10.如圖,∠AOB=90°,AC∥OB,OA=1,是以O(shè)為圓心的弧,是以A為圓心的弧,求圖中陰影部分ABC的面積.【例6】（2014廣東廣州一模）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB.CD分別是兩底面的直徑，AD.BC是母線若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短D路線的長度是(結(jié)果保留根式)．【解析】把圓錐體展開，兩點之間線段最短，求對角線的長度即可?！敬鸢浮拷?小蟲爬行的最短路線的長度是==2練習(xí)11.AB是⊙O的直徑，點D、E是半圓的三等分點，AE、BD的延長線交于點C，若CE=2，則圖中陰影部分的面積是（）A.π－ B.π C.π－ D.π練習(xí)12.已知矩形ABCD的一邊AB=5cm,另一邊AD=2cm，求：以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓柱的表面積1.一條弧所對的圓心角是，半徑是，則這條弧的長是 ．2.在半徑為1的圓中，弦AB=1，則的長為。3.若的長為所對的圓的直徑長，則所對的圓周角的度數(shù)為 ．4.如圖所示，OA=30B，則的長是的長的_____倍．5.一圓弧的圓心角為300°，它所對的弧長等于半徑為6cm的圓周長，求這弧所在圓的半徑．6.在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l=_______．7．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，兩等圓⊙A，⊙B外切，那么圖中兩個扇形(即陰影部分)的面積之和為()．7題圖A． B． C． D．8．____________和______所圍成的圖形叫做扇形．在半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形面積S扇形=__________；若l為扇形的弧長，則S扇形=__________．9．如圖，在半徑為R的⊙O中，弦AB與所圍成的圖形叫做弓形．當為劣弧時，S弓形=S扇形－______；當為優(yōu)弧時，S弓形=______＋S△OAB．10．半徑為8cm的圓中，72°的圓心角所對的弧長為______；弧長為8cm的圓心角約為______(精確到1′)．11．半徑為5cm的圓中，若扇形面積為，則它的圓心角為______．若扇形面積為15cm2，則它的圓心角為______．12．若半徑為6cm的圓中，扇形面積為9cm2，則它的弧長為______．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.（2014遼寧旅順一中期末）若圓錐的底面周長為20π，側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為120°，則圓錐的側(cè)面積為．2.（2014海南中考）正方形ABCD的邊長為2cm，以B點為圓心，AB長為半徑作，則圖中陰影部分的面積為（）A.（4—π）cm2 B.（8—π）cm2 C.（2π—4）cm2 D.（π—2）cm23.（2014山西太谷中考）要在面積為1256m2的三角形廣場ABC的三個角處各建一個半徑相同的扇形草坪，要求草坪總面積為廣場面積的一半，那么扇形的半徑應(yīng)是m（π取3.14）4.（2014陜西西安中考）已知圓柱的底面半徑為3，高為8，求得這個圓柱的側(cè)面積為（）A.48π B.48 C.24π D.245.鐘表的軸心到分針針端的長為5cm，那么經(jīng)過40分鐘，分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是（）A. B. C. D.6.如圖，在△ABC中，BC＝4，以點A為圓心.2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是（）．A．4－π B．4－π C．8－π D．8－π7.已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則該圓錐的底面半徑與母線長的比為（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：18.圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則它的側(cè)面積為（）A