第1章 集合與邏輯（知識清單）-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中期末考試滿分全攻略（滬教版2020）

第1章集合與邏輯知識清單集合的意義定義 定義 一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合（或集）.集合所含的各個對象叫做這個集合的元素. 集合常用大寫字母表示，集合中的元素用小寫字母表示.如果是集合的元素，記作“”，讀作“屬于”；如果不是集合的元素，記作“”，讀作“不屬于”.例如，由2，3，5，7，11，13，17，19，23，29組成的集合為，那么，.對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的.即任何一個對象，要么是給定集合的元素，要么不是這個集合的元素，二者必居其一.譬如，至少有一組對邊平行的四邊形的全體組成集合，則三角形不是集合的元素，而正方形則是集合的元素.對于一個給定的集合，集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn).相等集合：如果組成兩個相等集合：如果組成兩個集合與的元素完全相同，就稱這兩個集合相等，記作.2.集合的分類（1）按照集合中元素的數(shù)量分類有限集：元素個數(shù)為有限的集合稱為有限集；有限集：元素個數(shù)為有限的集合稱為有限集；無限集：元素個數(shù)為無限的集合稱為無限集；空集：不含有任何元素的集合稱為空集，記作.所有的空集都是相等的.例如，方程的實數(shù)解所組成的集合是空集.又如當(dāng)兩條直線平行時，他們沒有公共點(diǎn)，就可以說這兩條直線的公共點(diǎn)組成的集合是空集.（2）按元素類型分類元素的類型有數(shù)，點(diǎn)，平面圖形（例如三角形），動物，植物等等，甚至一個集合本身也可以成為另一個集合的元素.數(shù)學(xué)上，常用到數(shù)的集合和點(diǎn)的集合.數(shù)集：數(shù)的集合簡稱數(shù)集.數(shù)集：數(shù)的集合簡稱數(shù)集.點(diǎn)集：點(diǎn)的集合簡稱點(diǎn)集.常用數(shù)集的符號：數(shù)集符號自然數(shù)集整數(shù)集正整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集點(diǎn)集示例：平面直角坐標(biāo)系中一三象限所有點(diǎn)的集合.3.集合的表示除了用自然的語言描述集合，我們還有一些其他方法用來表示集合.（1）列舉法與描述法列舉法：將集合中的元素不重復(fù)地一一列舉出來并寫在一對大括號內(nèi).列舉法：將集合中的元素不重復(fù)地一一列舉出來并寫在一對大括號內(nèi).例如，方程的解組成的集合可以表示成，或者也可以.描述法：在一對大括號內(nèi)先寫出這個集合中元素的一個記號，再畫一條豎線，并在豎線的右邊寫上集合中元素所具有的特征，即描述法：在一對大括號內(nèi)先寫出這個集合中元素的一個記號，再畫一條豎線，并在豎線的右邊寫上集合中元素所具有的特征，即滿足性質(zhì).（2）區(qū)間法與圖示法數(shù)學(xué)上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實數(shù)所組成的集合.為了方便起見，我們引入?yún)^(qū)間的概念，當(dāng)且時，規(guī)定：（1（1）滿足不等式的全部實數(shù)所組成的集合稱為閉區(qū)間，記為；（2）滿足不等式的全部實數(shù)所組成的集合稱為開區(qū)間，記為；（3）滿足不等式或的全部實數(shù)所組成的集合稱為半開半閉區(qū)間，分別記為與.這里的實數(shù)統(tǒng)稱為這些區(qū)間的端點(diǎn).區(qū)間在數(shù)軸上的表示如下：此外，滿足不等式或的全部實數(shù)所組成的集合可分別用區(qū)間符號表示為，，與.實數(shù)集可用區(qū)間表示為.（符號“”讀作無窮）圖示法：數(shù)學(xué)上還可以用圖像來直觀的表示集合，根據(jù)不同的場景可以選用不同的圖像.例如：圖示法：數(shù)學(xué)上還可以用圖像來直觀的表示集合，根據(jù)不同的場景可以選用不同的圖像.例如：（1）數(shù)軸：常用來表示區(qū)間，如上所示；（2）平面直角坐標(biāo)系：用直角坐標(biāo)系中的區(qū)域來表示點(diǎn)集；例如圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；（3）文氏圖（也叫韋恩圖，Venn圖）：基本想法就是用一個簡單的、通常以圓、橢圓或矩形等為邊界的平面圖形來表示一個集合.在后面要學(xué)習(xí)到的集合之間的關(guān)系和集合的運(yùn)算中會經(jīng)常用到.4.集合之間的關(guān)系在現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)中，我們常常會遇到集合之間的如下關(guān)系：（1）是本班所有女生組成的集合，是本班所有學(xué)生組成的集合；（2）是一平面上所有矩形組成的集合，是該平面上所有四邊形組成的集合；（3）；（4），是奇數(shù)容易發(fā)現(xiàn)，在上述每組集合中，集合中的每個元素都屬于集合.但第（1）（2）組和第（3）（4）組不同：第（1）（2）組，中有些元素不屬于；第（3）（4）組，集合中的每個元素也都屬于集合.即與的元素是完全相同的，所以.這些集合之間的關(guān)系是非常的常見的.定義定義對于兩個集合與，如果集合的每個元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）定義定義對于兩個集合與，如果，且集合中至少有一個元素不屬于集合（即不是的子集），那么稱集合是集合的真子集，記作（或），讀作“真包含于”（或“真包含”）我們常用文氏圖來直觀表示集合以及集合之間的關(guān)系.如下圖，是的文氏圖.對于集合之間的包含關(guān)系，有以下結(jié)論：（對于集合之間的包含關(guān)系，有以下結(jié)論：（1）；（2）傳遞性：若且，則；（3）若，則或思考：常用數(shù)集之間有沒有包含關(guān)系？思考：常用數(shù)集之間有沒有包含關(guān)系？解：5.子集的數(shù)量思考：集合的子集一共有多少個？思考：集合的子集一共有多少個？集合的子集為：，共1個；集合的子集為：，，共2個；集合的子集為：，，，，共4個；集合的子集為：，，，，，，，，共8個；那么集合呢？定理 定理 若集合中有個元素（），則有個子集，個非空子集，個真子集，非空集合有個非空真子集.證明：集合，則對于集合的任一子集，每個元素都有兩種可能：屬于或不屬于這個子集，乘法原理得到：共種可能，即個子集，進(jìn)而個非空子集，個真子集.6.交集、并集、補(bǔ)集（1）交集首先，我們可以對任意兩個集合取公共元素，從而得到一個新的集合.定義 定義 由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合，叫做集合與的交集，記作（讀作“A交B”），即.文氏圖反應(yīng)三種不同情況：（1）集合與既有公共元素，又有非公共元素，陰影部分同時是集合與的真子集；（2）集合A是集合B的子集，此時；（3）集合與沒有公共元素，此時；歸納交集運(yùn)算的性質(zhì)：，歸納交集運(yùn)算的性質(zhì)：，，；（2）并集我們可以把兩個已知集合的所有元素放在一起組成一個新的集合.定義 定義 由所有屬于集合或者屬于集合的元素組成的集合叫做集合與的并集，記作“”，讀作“并”，即文氏圖直觀反映的三種不同情況如下所示：（1）集合與既有公共元素，又有非公共元素，此時集合與都是的真子集；（2）集合是集合的子集，此時；（3）集合與沒有公共元素，此時和（1）類似，集合與都是的真子集；歸納并集運(yùn)算性質(zhì)：，歸納并集運(yùn)算性質(zhì)：，，（3）補(bǔ)集定義 定義 當(dāng)我們研究某個領(lǐng)域的問題時，通常把該領(lǐng)域內(nèi)的全體對象組成特定的集合叫做全集，常用符號表示，全集含有該領(lǐng)域內(nèi)各個集合的全部元素.若集合是全集的一個子集，那么屬于而不屬于的元素構(gòu)成的集合，又是一種怎樣的運(yùn)算呢，他與數(shù)的哪一種運(yùn)算具有相似性呢？這就是我們將要繼續(xù)研究的“補(bǔ)集”：定義 定義 設(shè)全集為，是的子集，則由中所有不屬于的元素組成的集合叫做集合在全集中的補(bǔ)集，記作“”，讀作“補(bǔ)”.即.有些資料中，也用符號表示集合在全集中的補(bǔ)集用文氏圖表示集合在全集中的