第29講圓錐曲線參數(shù)的范圍問題(原卷版+解析)

第29講圓錐曲線參數(shù)的范圍問題方法總結(jié)：解決此類問題的策略：（1）若題目中含有某個變量的范圍，則可以優(yōu)先考慮函數(shù)的方向，將該變量視為自變量，建立所求變量與自變量的函數(shù)關(guān)系，進而求得值域（2）若題目中含有某個表達式的范圍（或不等式），一方面可以考慮將表達式視為整體，看能否轉(zhuǎn)為（1）的問題進行處理，或者將該表達式中的項用所求變量進行表示，從而建立起關(guān)于該變量的不等式，解不等式即可（3）利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（5）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；（6）利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．典型例題：例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為F，離心率為，點是橢圓C上一點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若M?N為橢圓C上不同于A的兩點，且直線關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與y軸交于點，求d的取值范圍.例2．（2023·北京八中高三開學(xué)考試）已知圓：，，為圓上的動點，若線段的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知為上一點，過作斜率互為相反數(shù)且不為0的兩條直線，分別交曲線于，，求的取值范圍.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓：的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，，設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，點是的焦點，為坐標(biāo)原點，過點的直線與相交于兩點.（1）求向量與的數(shù)量積；（2）設(shè)，若，求在軸上截距的取值范圍.過關(guān)練習(xí)：1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的上頂點為，過點且與軸垂直的直線被截得的線段長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程﹔(2)設(shè)直線交橢圓于異于點的兩點，以為直徑的圓經(jīng)過點線段的中垂線與軸的交點為，求的取值范圍.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓過，兩點，為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，，是動點，且直線與的斜率之積等于.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知直線與橢圓：相交于，兩點，與軸交于點，若存在使得，求的取值范圍.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點，分別是橢圓的左?右焦點，點A是橢圓C上一點，且滿足軸，，直線與橢圓C相交于另一點B.(1)求橢圓C的離心率；(2)若的周長為，M為橢圓C上任意一點，求的取值范圍.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓左、右焦點分別為，.給出下列條件：①橢圓過點，且離心率；②橢圓過點，且；③焦距為2，且離心率.(1)在以上三個條件中任意選擇一個，求橢圓的方程.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(2)在（1）的條件下，若直線與橢圓交于點，，且，求的取值范圍.7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，是雙曲線的左、右焦點，且雙曲線過點，．(1)求雙曲線的方程；(2)已知過點的直線交雙曲線左、右兩支于，兩點，交雙曲線的漸近線于，（點位于軸的右側(cè)）兩點，求的取值范圍．8．（2023·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））已知點在拋物線上，過點的直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設(shè)為原點，，，試判斷是否為定值，若是，求值；若不是，求的取值范圍.9．（2023·安徽阜陽·高三期末（文））已知橢圓的離心率為，C的左，右焦點分別為，A，B是C上關(guān)于原點對稱的兩點，四邊形的周長為.(1)求C的方程；(2)設(shè)分別為直線和的斜率，求的取值范圍.10．（2023·河南·高三期末（理））已知動直線l過拋物線C：的焦點F，且與拋物線C交于M，N兩點，且點M在x軸上方．(1)若，求l的方程；(2)設(shè)點Q（n，0）（）是x軸上的定點，若l變化時，M總在以QF為直徑的圓外，求n的取值范圍．11．（2023·吉林吉林·高三期末（理））已知拋物線上一點到焦點的距離為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點、為拋物線位于軸上方不同的兩點，直線、的斜率分別為、，且滿足，求證：直線過定點，并求出直線斜率的取值范圍．12．（2023·廣東茂名·一模）已知橢圓C：的左焦點為，且過點（1，）.(1)求橢圓C的方程；(2)過且互相垂直的兩條直線，分別交橢圓C于A、B兩點和M、N兩點，求的取值范圍.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線與橢圓交于不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍．14．（2023·江蘇無錫·高三期末）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，點是軸正半軸上的一點，過橢圓的右焦點和點的直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的取值范圍.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，點是圓上任意一點，在軸上的射影為，點滿足，記點的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知，過的直線與曲線交于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求的取值范圍．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第二象限，直線被圓截得的線段的長為．(1)求直線的斜率；(2)當(dāng)時，①求該橢圓的方程；②設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率小于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍．第29講圓錐曲線參數(shù)的范圍問題方法總結(jié)：解決此類問題的策略：（1）若題目中含有某個變量的范圍，則可以優(yōu)先考慮函數(shù)的方向，將該變量視為自變量，建立所求變量與自變量的函數(shù)關(guān)系，進而求得值域（2）若題目中含有某個表達式的范圍（或不等式），一方面可以考慮將表達式視為整體，看能否轉(zhuǎn)為（1）的問題進行處理，或者將該表達式中的項用所求變量進行表示，從而建立起關(guān)于該變量的不等式，解不等式即可（3）利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（5）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；（6）利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．典型例題：例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為F，離心率為，點是橢圓C上一點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若M?N為橢圓C上不同于A的兩點，且直線關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與y軸交于點，求d的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：（1）由橢圓的離心率公式和，，的關(guān)系，以及點是橢圓C上一點，可得，，，進而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)直線AM的斜率為，由對稱性可得直線AN的斜率為，求得直線AM的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理可得M的橫坐標(biāo)，將其中的換為，可得N的橫坐標(biāo)，求得MN的斜率和方程，聯(lián)立橢圓方程，由判別式大于0，結(jié)合M，N的位置，解不等式可得所求范圍.(1)∵，，∴①又在橢圓C上，∴②由①②解得，，所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由（1）知，∴軸，設(shè)直線的斜率為k，因為，關(guān)于直線對稱，所以直線的斜率為，又，所以直線的方程是，設(shè)，，，所以，將上式中的k換成得，，所以，所以直線的方程是，代入橢圓方程得，所以，解得，又由題意知點M，N在A點兩側(cè)，而直線中，當(dāng)時，，故.例2．（2023·北京八中高三開學(xué)考試）已知圓：，，為圓上的動點，若線段的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知為上一點，過作斜率互為相反數(shù)且不為0的兩條直線，分別交曲線于，，求的取值范圍.答案:(1)動點的軌跡的方程為；(2)的取值范圍.解析：分析：(1)由條件線段的垂直平分線交于點可得，由此可得，根據(jù)橢圓的定義可得點的軌跡為橢圓，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求動點的軌跡的方程；(2)由(1)可求點坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組化簡可得，，由直線，的斜率互為相反數(shù)可得的值，再由弦長公式求的長，再求其范圍.(1)由題知故.即即在以為焦點且長軸為4的橢圓上則動點的軌跡的方程為：；(2)故即.設(shè)：，聯(lián)立（*），，∴，，又則：即若，則過，不符合題意故，∴，故例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓：的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，，設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；答案:（1）；（2）．解析：分析：（1）把代入橢圓方程得，進而可得，再由以及求出的值即可求解；（2）設(shè)，，由角平分線以及正弦定理可得，再根據(jù)，即可得的取值范圍.【詳解】（1）把代入橢圓方程得，解得，因為過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1，所以，又，聯(lián)立得，解得，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示，設(shè)，，在中，由正弦定理可得在中，由正弦定理可得，因為，，兩式相除可得，又，消去得到，化為，因為，即，也即，解得：，所以的取值范圍為．【點睛】思路點睛：解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，點是的焦點，為坐標(biāo)原點，過點的直線與相交于兩點.（1）求向量與的數(shù)量積；（2）設(shè)，若，求在軸上截距的取值范圍.答案:（1）；（2）.解析：分析：（1）設(shè)A，B坐標(biāo)為，再設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達定理與向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式計算即可；（2）由（1），利用韋達定理表達出和的關(guān)系以及在軸上截距關(guān)于的表達式，再根據(jù)得出的取值范圍，進而求得截距范圍即可【詳解】（1）設(shè)A，B坐標(biāo)為，由題知直線傾斜角不可能為0，設(shè)直線方程為：.聯(lián)立得，，由韋達定理得..向量的數(shù)量積為.（2）由（1）知，代入得.在為增函數(shù)在y軸上截距的取值范圍為過關(guān)練習(xí)：1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的上頂點為，過點且與軸垂直的直線被截得的線段長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程﹔(2)設(shè)直線交橢圓于異于點的兩點，以為直徑的圓經(jīng)過點線段的中垂線與軸的交點為，求的取值范圍.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）由題設(shè)有且求參數(shù)a，進而寫出橢圓方程.（2）討論的斜率，當(dāng)斜率存在時設(shè)、，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理求關(guān)于的表達式，再由，應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)m，進而求線段中垂線的方程及的范圍，即可確定的取值范圍.(1)由已知條件得：，令，得，由題意知：，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不合題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，當(dāng)時，此時關(guān)于y軸對稱，令，∴且，則，又，∴，解得或(舍)，則符合題設(shè).∴此時有；當(dāng)時，則，得，，設(shè)，則，得，，且，由，即，∴，整理得，解得（舍去），代入得：，∴為，得：，則線段的中垂線為，∴在軸上截距，而，∴且，綜合①②:線段的中垂線在軸上的截距的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，討論直線斜率，設(shè)直線方程及交點坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達定理求交點坐標(biāo)與所設(shè)直線參數(shù)的表達式，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)，進而確定中垂線方程及參數(shù)范圍.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.答案:(1)(2)或解析：分析：（1）依題意，根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓，再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得到中點坐標(biāo)，將點Q坐標(biāo)代入拋物線方程得到，將此式代入得到，解不等式即可.(1)易知點是拋物線的焦點，，依題意，所以點軌跡是一個橢圓，其焦點分別為，長軸長為4，設(shè)該橢圓的方程為，則，，故點的軌跡的方程為.(2)易知直線1的斜率存在，設(shè)直線1：，由得：，，即①又，故，將，代，得：，將②代入①，得：，即，即，即，且，即的取值范圍為或.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓過，兩點，為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由．答案:(1)(2)存在，，解析：分析：（1）根據(jù)橢圓E：（）過，兩點，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到，結(jié)合題意求解即可，當(dāng)切線斜率不存在時，驗證即可.(1)將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，．所以橢圓的方程為．(2)假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設(shè)該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當(dāng)直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯(lián)立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意．當(dāng)切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意．當(dāng)切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即．當(dāng)切線的斜率不存在時，易得，所以．綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意，且．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，，是動點，且直線與的斜率之積等于.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知直線與橢圓：相交于，兩點，與軸交于點，若存在使得，求的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根據(jù)直線與的斜率之積列方程，化簡求得動點的軌跡的方程.（2）利用向量的坐標(biāo)運算，由得到，聯(lián)立直線與橢圓：，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系、判別式，求得關(guān)于的不等式，并由此求得的取值范圍.(1)設(shè)，則，所以可得動點P的軌跡C的方程為.(2)設(shè)又，由得，聯(lián)立可得，即，且，又，則，，代入得，，解得.的取值范圍是5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點，分別是橢圓的左?右焦點，點A是橢圓C上一點，且滿足軸，，直線與橢圓C相交于另一點B.(1)求橢圓C的離心率；(2)若的周長為，M為橢圓C上任意一點，求的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：(1)結(jié)合已知條件，分別求出、與的關(guān)系式，進而求得離心率；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論和已知條件求出橢圓的方程，然后設(shè)出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積公式表示出，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.(1)在中，∵，∴，，由橢圓的定義，，，∴橢圓離心率.(2)的周長為，則，∵，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，設(shè)，則，，∵，∴，∵，所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，的最小值為，所以的取值范圍是.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓左、右焦點分別為，.給出下列條件：①橢圓過點，且離心率；②橢圓過點，且；③焦距為2，且離心率.(1)在以上三個條件中任意選擇一個，求橢圓的方程.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(2)在（1）的條件下，若直線與橢圓交于點，，且，求的取值范圍.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓中求解即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，由判別式得到的取值范圍，設(shè)，，利用韋達定理求出，的表達式，再利用斜率之和等于0，即可求出的取值范圍.(1)選①，∵橢圓過點，∴，∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴橢圓的方程為；選②，∵橢圓過點，且，∴，.∵，∴，∴，∴，∴橢圓的方程為；選③，∵，∴.∵，∴，∴，，∴橢圓的方程為.(2)聯(lián)立得，由，得.設(shè)，，則有，.∵，且，∴，∴.當(dāng)時，等式成立；當(dāng)時，，整理得，得.可知上式恒成立，故直線的斜率的取值范圍是.【點睛】綜合性考查落實，本題以橢圓為背景，考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理核心素養(yǎng).7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，是雙曲線的左、右焦點，且雙曲線過點，．(1)求雙曲線的方程；(2)已知過點的直線交雙曲線左、右兩支于，兩點，交雙曲線的漸近線于，（點位于軸的右側(cè)）兩點，求的取值范圍．答案:(1)；(2).解析：分析：（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，由建立關(guān)于的方程，并求出的值，再將點坐標(biāo)代入雙曲線得，結(jié)合，解得，的值，即可求出雙曲線的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，再分別與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，得到，的表達式，即可求出長度的表達式，聯(lián)立雙曲線與直線的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程．設(shè)，，結(jié)合韋達定理求出，的表達式，并得到的取值范圍，進而求得的表達式，化簡，再結(jié)合的取值范圍即可求解．(1)設(shè)雙曲線的半焦距為，∵，∴．又，，解得，，∴雙曲線的方程為．(2)由題意可設(shè)直線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立得，聯(lián)立得，∴．聯(lián)立得，設(shè)，，則，，由即，∴，∴．又，∴，∴，∴的取值范圍為．【點睛】本題以雙曲線為背景，考察雙曲線的方程與幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)，屬綜合困難題.8．（2023·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））已知點在拋物線上，過點的直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設(shè)為原點，，，試判斷是否為定值，若是，求值；若不是，求的取值范圍.答案:(1)；(2)為定值2.解析：分析：(1)通過拋物線經(jīng)過的點，求解，得到拋物線方程，設(shè)出直線方程聯(lián)立直線與拋物線方程，然后求解的范圍．(2)設(shè)點，，設(shè)，，，，利用韋達定理，結(jié)合直線方程求解，的縱坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解為定值2．(1)因點在拋物線上，則，解得，∴拋物線C的方程為.令直線的斜率為k，則直線方程為：，由消去y并整理得：，因直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，則，解得且，又直線PA，PB與相交，而點(1，－2)在拋物線C上，則直線不能過點(1，－2)，否則PA或PB之一平行于y軸，矛盾，因此，綜上得：，且，∴直線的斜率的取值范圍.(2)設(shè)點，，，而，則，同理，設(shè)，由(2)知，直線方程：，即，則，令，得，同理，于是得，∴為定值2.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．9．（2023·安徽阜陽·高三期末（文））已知橢圓的離心率為，C的左，右焦點分別為，A，B是C上關(guān)于原點對稱的兩點，四邊形的周長為.(1)求C的方程；(2)設(shè)分別為直線和的斜率，求的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：（1）由題設(shè)及橢圓性質(zhì)，得，，求出的值，即可得到答案；（2）對直線的斜率進行討論，當(dāng)斜率不存在時；當(dāng)斜率存在時，再利用基本不等式求解，即可得到答案；(1)由題設(shè)及橢圓性質(zhì)，得，，得，故C的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，A，B為橢圓的短軸端點，；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：，聯(lián)立得，得，則（當(dāng)時，等號成立），所以.綜上，的取值范圍為.10．（2023·河南·高三期末（理））已知動直線l過拋物線C：的焦點F，且與拋物線C交于M，N兩點，且點M在x軸上方．(1)若，求l的方程；(2)設(shè)點Q（n，0）（）是x軸上的定點，若l變化時，M總在以QF為直徑的圓外，求n的取值范圍．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由題意得F（1，0），設(shè)直線l的方程為，，，將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，結(jié)合前面的式子可求出的值，從而可求得的值，進而可求得直線l的方程，（2）以QF為直徑的圓的圓心為，半徑為，由點M（x，y）在該圓外，可得對任意恒成立，令，然后分和兩種情況求解可得結(jié)果(1)由題意得F（1，0），設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程得消去x可得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．因為，所以，有，結(jié)合，解得，，所以，l的方程為．(2)以QF為直徑的圓的圓心為，半徑為，因為點M（x，y）在該圓外，所以，即對任意恒成立．令．則①，解得；②解得，又，故．綜上所述，n的取值范圍是．11．（2023·吉林吉林·高三期末（理））已知拋物線上一點到焦點的距離為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點、為拋物線位于軸上方不同的兩點，直線、的斜率分別為、，且滿足，求證：直線過定點，并求出直線斜率的取值范圍．答案:(1)；(2)證明見解析，直線斜率的取值范圍是.解析：分析：（1）利用拋物線的定義可求得的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線不與坐標(biāo)軸垂直，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，其中，，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)題中斜率關(guān)系結(jié)合韋達定理，可得出、所滿足的關(guān)系式，即可得出直線所過定點的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出直線的斜率的取值范圍.(1)解：因為拋物線上一點到焦點的距離為，，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明：設(shè)、，其中，，則，，若直線軸，則直線與拋物線至多一個交點，不合乎題意，若直線軸，則直線與拋物線不可能在軸上方有兩個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，直線的斜率，聯(lián)立方程得，因為且，則，，，，則，即，所以，即，則直線的方程為，直線過定點，由題意，即，解得，所以，.所以直線的斜率取值范圍是.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.12．（2023·廣東茂名·一模）已知橢圓C：的左焦點為，且過點（1，）.(1)求橢圓C的方程；(2)過且互相垂直的兩條直線，分別交橢圓C于A、B兩點和M、N兩點，求的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：（1）由題意可得，，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可得到答案；（2）對直線的斜率分兩種情況討論，即當(dāng)垂直軸，與不垂直軸，結(jié)合弦長公式、基本不等式，即可得到答案；(1)由題意可得，.又由所以橢圓的方程為；(2)當(dāng)垂直軸時，，，所以.同理：當(dāng)垂直軸時，當(dāng)、均不垂直軸時，設(shè)的方程為，由，因為與互相垂直，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.綜上，的取值范圍為13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線與橢圓交于不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由所給等式建立a，c的關(guān)系式，再利用即可得解；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立得B點坐標(biāo)，再利用BF⊥HF，數(shù)量積為0，得H得坐標(biāo)，從而得MH的方程，由MH與l得交點M的坐標(biāo)，最后利用|，建立不等式可解．(1)設(shè)，由得，，可得，又，可得，，橢圓方程為：；(2)設(shè)直線的方程為，，，，由方程組得，，解得，或，由題意可知，進而得，由（1）知，，設(shè)，則，，由題意得，，解得，直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點的橫坐標(biāo)，在中，由，得，得，，解得，或，故直線的斜率的取值范圍為：．14．（2023·江蘇無錫·高三期末）已知橢圓的離心率為，