專題04 線段的垂直平分線（七大題型+跟蹤訓(xùn)練）（解析版）

專題04線段的垂直平分線（七大題型+跟蹤訓(xùn)練）題型1：線段垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝4，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．2．如圖所示，在中，的垂直平分線交于點E，若，則B、E兩點間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【解析】解：如圖，連接．∵垂直平分線段，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握：線段垂直平分線上的點，到線段兩點的距離相等．3．如圖，在中，，的平分線交于點D，如果垂直平分，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBC＝∠C＝31°，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解析】解：∵在中，，垂直平分，∴，在和中，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴．故選：C【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．4．如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點．若，，求的長．

【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，再做差即可．【解析】垂直平分線，，，又，，．【點睛】本題考查利用垂直平分線性質(zhì)進(jìn)行邊長計算，須注意線段位置，正確的計算是解題的關(guān)鍵．5．如圖，中，，，的垂直平分線分別交、于點、．求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到答案．【解析】解：，，，垂直平分，，，【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型2：線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用6．如圖，A，B，C表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個文化廣場，使它到三個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在（

）A．AC，BC兩邊高線的交點處 B．AC，BC兩邊中線的交點處C．AC，BC兩邊垂直平分線的交點處 D．∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【答案】C【分析】要求到三個小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、C小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點在線段AC的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，于是到三個小區(qū)的距離相等的點應(yīng)是其交點，答案可得．【解析】解：A，B，C表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個文化廣場，使它到三個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處．故選：C．【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線定理的逆定理：到一條線段的兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．如圖，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC＝8cm，AB＝10cm，則△EBC的周長為（）A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm【答案】B【分析】由DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，可得AE=CE，繼而可得△EBC的周長=BC+AB．【解析】解：∵DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，∴AE=CE，∵BC=8cm，AB=10cm，∴△EBC的周長為：BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=8+10=18（cm）．故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．8．如圖，在中，、分別是線段、的垂直平分線，若，則的周長是（

）A．120 B．50 C．100 D．90【答案】C【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)得，，等量代換即可求解．【解析】解：∵、分別是線段、的垂直平分線，∴，，∴的周長．故選C．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．9．如圖，為中邊的中垂線，，則的周長是（

）A．16 B．18 C．26 D．28【答案】B【分析】利用線垂直平分線的性質(zhì)得,再等量代換即可求得三角形的周長．【解析】∵是中邊的垂直平分線，∴，∴，∴的周長．故選：B．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；利用線段進(jìn)行等量代換，把線段進(jìn)行等效轉(zhuǎn)移是正確解答本題的關(guān)鍵．題型3：線段垂直平分線—尺規(guī)作圖10．如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點、，連接，交于點，交于點，連接．若的周長等于，的周長為，那么線段的長等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)作圖過程可得是的垂直平分線，進(jìn)而可得，，再由的周長等于，的周長為，可得，，兩式相減可得答案．【解析】解：根據(jù)題意可得是的垂直平分線，的周長為，，的周長等于，，是的垂直平分線，，，，，．故選：C．【點睛】此題主要考查了作線段的垂直平分線，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．11．如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線交于點D，連接．若，，則的周長為（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，進(jìn)而可得△ACD的周長．【解析】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周長=CD+AD+AC=4+10=14，故選：D．【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．12．小明在紙上畫出線段及它的中點O，再過點O畫出與垂直的直線，沿直線將紙對折．發(fā)現(xiàn)與重合，則直線稱為線段的__________．【答案】垂直平分線/中垂線【分析】根據(jù)線段垂直平分線的定義，即可得到直線稱為線段的垂直平分線．【解析】解：∵沿直線將紙對折．發(fā)現(xiàn)與重合∴∵點O畫出與垂直的直線∴∴直線稱為線段的垂直平分線故答案為：垂直平分線【點睛】本題考查了線段垂直平分線定義，理解線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．題型4：線段垂直平分線的判定13．在中，，，點到的距離是，到的距離是，則等于__________【答案】2或10【分析】根據(jù)可判斷點都在的垂直平分線上，然后分兩種情況討論：①當(dāng)點在的內(nèi)部時，②當(dāng)點O在的外部時，分別計算即可．【解析】解：∵，∴點都在的垂直平分線上，由題意知，分兩種情況：①當(dāng)點在的內(nèi)部時，；②當(dāng)點O在的外部時，；故答案為：2或10．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的基本性質(zhì)．解本題的關(guān)鍵在于分類討論．14．如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點Q，交AC于點P，．若的周長是，，則的長是_______．【答案】/8厘米【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，，再求出，，即可求出．【解析】解：∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∵PQ是BC邊的垂直平分線，∴，，∴，∵的周長是，∴，∴，即，∵，，∴．故答案為：【點睛】本題考查了線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)和定義，結(jié)合題意進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．15．如圖，中，，平分，于E．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：直線是線段的垂直平分線．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）在中，求出即可解決問題；（2）證明得出，，利用線段垂直平分線的判定即可證明．【解析】（1）解：∵，平分，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴，又∵平分，∴，∵，∴，∴，，∴點D在的垂直平分線上，點A在的垂直平分線上，（兩點確定一條直線），∴直線是線段的垂直平分線．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明，．題型5：線段垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合題16．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（

）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得點A在CD的垂直平分線上，點B在CD的垂直平分線上，又由兩點確定一條直線，可得AB是CD的垂直平分線．【解析】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴點A在CD的垂直平分線上，點B在CD的垂直平分線上，∴AB是CD的垂直平分線．即AB垂直平分CD．故選：A【點睛】本題考查了垂直平分線的判定定理，熟悉垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．17．已知：如圖，，，點在上．求證：．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理說明是線段的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出答案．【解析】證明：如圖，連接，

∵，∴點A是線段垂直平分線上的點．∵，∴點D是線段垂直平分線上的點，∴是線段垂直平分線，∴．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理，靈活的應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．18．如圖，如圖，為三角形的角平分線，于點E，于點F，連接交于點O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)．理由如下【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得再利用內(nèi)角和即可得出；（2）證得點、在線段的垂直平分線上．【解析】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：．理由如下：平分，，，．在線段的垂直平分線上．，，，在和中，，．．又，，，，，是線段的垂直平分線．．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，角平分線的性質(zhì)．找到和，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，即可證明．題型6：軸對稱中的光線反射問題19．如圖，光線自點P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【分析】利用軸對稱變換的性質(zhì)判斷即可．【解析】解：如圖，過點P，點B的射線交于一點O，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．20．如圖，兩平面鏡、的夾角，入射光線平行于，入射到上，經(jīng)兩次反射后的出射光線平行于，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用反射的性質(zhì)得到入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，再利用平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個三角形中求解．【解析】如圖，由題意得，∠1=∠θ=∠3，由鏡面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故選C．【點睛】本題考查了鏡面對稱問題，需注意利用反射的性質(zhì)、平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個三角形中求解是正確解答本題的關(guān)鍵．21．光線以如圖所示的角度照射到平面鏡工上，然后在平面鏡，之間來回反射．若，，則等于(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角將已知轉(zhuǎn)化到三角形中，利用三角形的內(nèi)角和是求解．【解析】解：如圖：由反射規(guī)律可知：，，，又∵∴，即．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角是解題關(guān)鍵，注意隱含的的關(guān)系的使用．題型7：線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定的綜合解答題22．如圖，在中，，邊上的垂直平分線交于點，交邊于點，連接．(1)若，，求的周長；(2)若，試求的度數(shù)．【答案】(1)23(2)23°【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形的周長公式，可得答案；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得答案．【解析】（1）解：是的垂直平分線，．，又，，；（2）解：，設(shè)，，，．是的外角，，、、是三角形的內(nèi)角，，，解得．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出與的關(guān)系，把三角形的周長轉(zhuǎn)化成是解題關(guān)鍵，（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)得出與的關(guān)系是解題關(guān)鍵．23．如圖，在中，垂直平分線段，的周長為18，且，求、的長各為多少？【答案】；【分析】利用中垂線的性質(zhì)得到的周長，再結(jié)合，即可得解．【解析】解：∵垂直平分線段，∴，又∵的周長為18，∴，∴，即：，又∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)．熟練掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．24．如圖在中，，，的垂直平分線交于點D，垂足為E．(1)求的周長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)27；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得到△ABD的周長=AB+BC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，然后由三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)．【解析】（1）解：∵是的垂直平分線，∴，∵，，∴的周長是：；（2）解：如圖，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題關(guān)鍵．25．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=65°，則∠NMA的度數(shù)是______；(2)連接MB，若AB=6cm，△MBC的周長是10cm.

①求BC的長；②在直線MN上是否存在點D，使由B、C、D三點構(gòu)成的△DBC的周長值最??？若存在，標(biāo)出點D的位置并求△DBC的周長最小值；若不存在，說明理由.【答案】(1)40°(2)①BC的長為4cm；②存在，標(biāo)出點D的位置見解析，△DBC的周長最小值為10cm【分析】（1）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與MB的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長，可得答案；②根據(jù)兩點之間線段最短，可得D點與M點的關(guān)系，可得DB＋DC與AC的關(guān)系．（1）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°?2∠B，又∵M(jìn)N垂直平分AB，∴∠NMA＝90°?∠A＝90°?（180°?2∠B）＝2∠B?90°＝40°，故答案為：40°；（2）如圖：①∵M(jìn)N垂直平分AB，∴MB＝MA，又∵△MBC的周長是10cm，∴AC＋BC＝10cm，∴BC＝4cm.②當(dāng)點D與點M重合時，△DBC的周長最小，最小值是10cm.【點睛】本題考查了軸對稱，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得出DB＝DA．一、單選題1．如圖所示，線段的垂直平分線與相交于點D，已知，則的長為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)“線段的垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”即可求解．【解析】解：∵是線段的垂直平分線，∴，故選：B．2．用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用尺規(guī)作圖畫出AB的垂直平分線，即可據(jù)此作出選擇．【解析】1．以AB為圓心，大于AB為半徑作弧相交于E、F，2．過EF作直線即為AB的垂直平分線．故選C．【點睛】本題考查了作圖--基本作圖，熟悉垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為，則的周長是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AD=CD，AC=2AE，結(jié)合周長，進(jìn)行線段的等量代換可得答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周長=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=13+6=19cm．故選C．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等），進(jìn)行線段的等量代換是正確解題關(guān)鍵．4．如圖所示，直線l是一條河的河岸，P，Q是河同側(cè)的水產(chǎn)的生產(chǎn)基地，現(xiàn)從河岸某點M處分別派出兩輛水產(chǎn)車運(yùn)送水產(chǎn)如下有四種運(yùn)輸方案，則運(yùn)輸路程合理且最短的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型求最短路線題型，作點P關(guān)于直線l的對稱點，連接Q交直線l于點M，作圖即可.【解析】根據(jù)“將軍飲馬”模型求最短路線題型，作點P關(guān)于直線l的對稱點，連接Q交直線l于點M，利用兩點之間線段最短和線段垂直平分線的性質(zhì)作圖即可，故選：B．【點睛】本題考查了“將軍飲馬”模型求最短路線題型，掌握兩點之間線段最短和線段垂直平分線的性質(zhì)作圖方法.5．如圖，在四邊形中，垂直平分，垂足為點E，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝AD，BC＝BD，再對各選項進(jìn)行逐一分析即可．【解析】解：∵垂直平分，∴，故A正確，該選項不符合題意；在和中，∴，故C正確，該選項不符合題意，；∴，故B正確，該選項不符合題意；；不一定等于，故D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）．

A．在AC、BC兩邊高線的交點處 B．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處C．在AC、BC兩邊中線的交點處 D．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，可知超市應(yīng)建在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處，故選：B．【點睛】本題考查線段垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，，，點在線段的垂直平分線上，若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】解：，，，點在線段的垂直平分線上，，，故選：．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得點A在CD的垂直平分線上，點B在CD的垂直平分線上，又由兩點確定一條直線，可得AB是CD的垂直平分線．【解析】∵AC＝AD，BC＝BD，∴點A在CD的垂直平分線上，點B在CD的垂直平分線上，∴AB是CD的垂直平分線．即AB垂直平分CD．故選A【點睛】本題考查了垂直平分線的判定定理，熟悉垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，且BD=DC，E是BC延長線上一點，且點C在AE的垂直平分線上，有下列結(jié)論：①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE，其中，正確的結(jié)論是（）A．只有 B．只有C．只有 D．只有【答案】B【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CA=CE，又可判定AB=AC，可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，由于∠E不一定等于30°，于是得到AD不一定等于AE，由BD=CD＜AC，故④錯誤．【解析】解：∵BD=CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∵C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE，∴AB=AC=CE，故①正確，∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，故②正確，∵∠E不一定等于30°，∴AD不一定等于AE，故③錯誤，∵BD=CD＜AC，故④錯誤．故選B．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，證明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三邊關(guān)系可知，，即BE+EF的值最小為，通過證明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性質(zhì)求出AE′B′即可．【解析】解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖：此時BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG和△AB′G中，，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，在△ABE′和△AB′E′中，，∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．即當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為115°．故選B．【點睛】本題考查垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識點，解題的關(guān)鍵是找出BE+EF取最小值時點E的位置．二、填空題11．如圖，在中，垂直平分．若，，則的長為．【答案】6【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線短兩個端點的距離相等，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵垂直平分，∴，又∵，∴，故答案為：6．12．如圖，在中，直平分，，，則的周長為．【答案】【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的周長公式和等量代換可得的周長等于即可解答．本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．【解析】解：∵垂直平分，∴，∴的周長等于．故答案為：．13．如圖，中，，于點H，若，，則．【答案】8【分析】先作輔助線，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，可以得到的長，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和判定，可以得到的長，從而可以求得的長．【解析】解：如圖，在線段上截取，則，，垂直平分，，，，，，，，，，故答案為：8．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖，周長為16cm，，垂直平分，則cm．

【答案】5【分析】由三角形的周長求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，推出，由此求出，由此求出．【解析】解：∵周長為16cm，，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴∵垂直平分，∴∴∴，∴故答案為：5．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，按以下步驟作圖：分別以點和點為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，直線交邊于點，連接．若，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)是的垂直平分線，可以得到，，利用余角性質(zhì)可以得到，進(jìn)而得到，再利用勾股定理即可求出的長；【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，，∵，∴，，∴，∴，即：在中，，故答案為：【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及判定，余角的性質(zhì)，勾股定理，掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖的方法及垂直平分線的性質(zhì)，利用余角性質(zhì)得到相等的角進(jìn)而得到等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，已知四邊形中，，，，若線段平分四邊形的面積，則．

【答案】【分析】連接交于點O，作，可得垂直平分，進(jìn)而得出，再求出，即可得出四邊形的面積，然后求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)，，求出，即可得出答案．【解析】連接交于點O，過點D作于點M．

∵，，∴點A，C在的垂直平分線上，即垂直平分．∵，∴，，∴，∴，∴，∴四邊形的面積．∵，∴，∴．∵線段平分四邊形的面積，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，求三角形的面積，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，D為中點，作交于E，交于F，連接，，則的取值范圍是．【答案】【分析】延長到M，使，連接，利用證明，得到，再根據(jù)三線合一的逆定理得出，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得解．【解析】解：延長到M，使，連接，∵D為中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合理的輔助線并根據(jù)SAS證明是解題的關(guān)鍵．18．如圖，是等腰的角平分線，，，過點A作的垂線，過點C作的平行線，兩線交于點G．與交于E，與交于F，連接，點N是線段上的動點，點M是線段上的動點，連接，，下列四個結(jié)論：①；②；③；④；⑤其中正確的是（填寫番號）【答案】①④⑤【分析】由是角平分線及，可以證明，則可得，，，由得是的垂直平分線，則，又可得，可計算出，則可判定②錯誤；由，易得，進(jìn)而可得，即可判定①正確；由可得，即⑤正確；由知，③錯誤；連接、，過作于點，則，，當(dāng)與的中點重合時，最小，且最小值為，從而可判定④正確；最后可確定答案．【解析】解：∵，，∴，∵是的角平分線∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，由，則是的垂直平分線，∴，∴，∴，故②錯誤；∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正確；∵，，∴，∵∴，∴，∴，即，

故③錯誤；連接、，過作于點，則點是的中點，且；∵是的垂直平分線，∴，∴，當(dāng)與的中點重合時，最小，最小值為，故④正確；故答案為：①④⑤．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，注意靈活運(yùn)用這些知識．三、解答題19．如圖，點E是△ABC的邊AB的延長線上一點，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求證：點E在BC的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到∠EBC=∠A+∠ACB，結(jié)合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到結(jié)論．【解析】證明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴點E在BC的垂直平分線上．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，用到的知識點：到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．20．如圖,AD是△ADC中∠A的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,聯(lián)結(jié)EF．求證：AD⊥EF

【答案】見解析【分析】由角平分線的性質(zhì)可知，再利用三角形全等證明，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可得結(jié)論.【解析】解：∵是中的平分線，，∴，∵，，∴∴點、D都在的垂直平分線上∴【點睛】本題綜合考查了角平分線及線段的垂直平分線，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵.21．如圖，已知，，是上一點.求證：.【答案】證明見解析.【分析】連接BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD是線段BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出PB=PC，再利用SSS證明△ABP與△ACP全等，進(jìn)而得出．【解析】證明：連接點在的垂直平分線上，同理，點也在的垂直平分線上，∵兩點確定一條直線，直線是線段的垂直平分線，是上一點，又，，.【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．22．如圖，在四邊形ABCD中，，E為CD的中點，連接AE、BE，，延長AE交BC的延長線于點F．(1)請判斷FC與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若AB＝6，AD＝2，求BC的長度．【答案】(1)FC=AD，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：FC=AD，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵E是CD的中點（已知），∴DE=EC（中點的定義）．在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB=BF=BC+CF，∴AB=BC+AD，∵AB=6，AD=2，∴BC=4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．如圖，中，，．(1)尺規(guī)作圖：在線段上找一點，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的基礎(chǔ)上，證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)，（1）分別以點A，B為圓心，大于為半徑畫弧，分別相交于點E，F(xiàn)，連接，即可得；（2）連接，根據(jù)，得，根據(jù)垂直平分，得，計算得，則，可得，即可得；掌握尺規(guī)作圖——垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：如圖所示，（2）證明：如圖所示，連接，∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴．24．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證得，可得．再由，，．可證得，即可求證；（2）由（1）可知，，．可得，從而得到，進(jìn)而得到點在的垂直平分線上．再由，點也在的垂直平分線上，即可求證．【解析】（1）證明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；（2）證明∶如圖，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴點在的垂直平分線上．又∵，∴點也在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線