中考數(shù)學一輪復習專題5.2特殊平行四邊形重難點題型講練(6大題型158題)(講練)(原卷版+解析)

專題5.2特殊平行四邊形重難點題型講練題型1：矩形的性質類型1-利用矩形性質求解（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形紙片中，，，將沿折疊到位置，交于點F，則的值為（）A． B． C． D．類型2-利用矩形性質證明（2023秋·云南曲靖·九年級統(tǒng)考期末）在矩形中，對角線，交于點O，把繞點A順時針旋轉，使點B剛好落在線段上的點E處，點C旋轉至點F處，交于點G．(1)求證：為等腰三角形；(2)試判斷與的關系，并說明理由．類型3-矩形的折疊問題25．（2023春·山西晉城·九年級校聯(lián)考階段練習）綜合與實踐問題情境：綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學活動．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點A的直線折疊，使點D的對應點落在邊上，展開后折痕交于點E．(1)的度數(shù)為______．(2)求線段的長度．拓展延伸：(3)如圖2，在圖1的基礎上，繼續(xù)沿過點A的直線折疊，使點B的對應點落在上，展開后折痕交于點F，連接．請判斷的形狀并說明理由．綜合訓練1．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，已知，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（2023春·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習）如圖，點E，F(xiàn)分別在矩形的邊上，過A作交矩形對角線于點G，，，，則長度是（

）A． B． C． D．3．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，四邊形為矩形，且，，點E為上一點且，連接、，且，，連接，則的長為（

）A．10 B． C． D．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知：如圖，矩形中，，對角線相交于點O，點P是線段上任意一點，且于點E，于點F，則等于（）A．6 B．5 C． D．5．（2022秋·廣東肇慶·八年級廣東肇慶中學?？计谀┮阎喝鐖D，折疊長方形的一邊，使點D落在邊的點E處，已知，，則的長是（

）A． B．2 C． D．6．（2023·黑龍江綏化·?？寄M預測）如圖，在矩形中，，，點是上一個動點，把沿向矩形內部折疊，當點A的對應點恰好落在的平分線上時，的長為（

）A．或 B．4或 C．或 D．或7．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，過點A作的垂線，垂足為E．若，則____．8．（2022秋·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形的四個頂點分別在直線，，，上．若直線且間距相等，，，則的值為______．9．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預測）如圖，在矩形中，，，點P在矩形上或其對角線上運動，，則長為________．10．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，在矩形中，交于點O，于點E，，則的度數(shù)為_________11．（2022春·北京東城·八年級校考階段練習）如圖，過矩形的對角線上一點K分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）12．（2023·河南周口·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，E為射線上一點，將沿翻折，使點B落在點F處，若，則BE＝_____．13．（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕，把紙片展平，連接．（1）圖中是__________三角形；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點A落在邊上的點H處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕，把紙片展平，如圖2，則__________，設與交于點P，若直線交直線于點O，，，則__________．14．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將矩形繞點旋轉得到矩形，點在上，延長交于點.(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．15．（2022秋·浙江金華·九年級校考期中）如圖，四邊形是矩形，，，是上的一點，且，點是邊上的任意一點．連接，將線段繞點順時針旋轉，得到線段．(1)求點到的距離；(2)當時，若此時點恰好落在對角線上，求的長．16．（2023·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考一模）已知矩形，將其繞著點逆時針旋轉得到矩形．(1)如圖1，若點在上，連接．①求證：平分；②連接交于點，若，，求的長．(2)如圖2，若點，，在同一條直線上，與交于點，，，求的長．17．（2023·山東青島·?？家荒＃┮阎壕€段和矩形如圖①擺放（點E與點B重合），點F在邊上，，．如圖②．從圖①的位置出發(fā)，沿方向運動，速度為；動點P同時從點D出發(fā)，沿方向運動，速度為．點M為的中點，連接，，，與相交于點Q，設運動時間為．解答下列問題：(1)當時，求t的值；(2)設五邊形的面積為，求S與t的關系式；(3)當時，求線段的長；(4)當t為何值時，五邊形的周長最小，最小是多少？直接寫出答案即可．18．（2023春·湖南長沙·八年級長沙縣湘郡未來實驗學校校考階段練習）在平面直角坐標系中存在矩形，點、點，且、滿足：（實數(shù)．(1)求點坐標；(2)如圖1，作的角平分線交軸于，的中點為，作交軸于，求的值（用含式子表示）；(3)如圖2，在（2）的條件下，當時，將矩形向右推倒得到矩形，使與重合，落在軸上，現(xiàn)在將矩形沿射線以1個單位/秒平移，設平移時間為，用表示平移過程中矩形與矩形重合部分的面積．19．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）已知矩形的對角線，相交于點O，點E是邊上一點，連接，，，且．求證：．20．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在五邊形中，四邊形是矩形，是以E為直角頂點的等腰直角三角形．與交于點G，將直線繞點E順時針旋轉交于點F．(1)求證：；(2)判斷線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)若，且，求線段的長．21．（2023秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，E是邊的中點，于點F，連接．(1)求證：；(2)求證：．22．（2022秋·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）在矩形中，E為邊上一動點，連接．(1)將沿翻折，使點B恰好落在對角線上的點F處，AE交于點G．①如圖①，若，求證：F為的中點；②如圖②，當，時，求的長．(2)根據(jù)②所得數(shù)據(jù)，將矩形沿翻折，點C的對應點為，點D的對應點為，使點E，，D三點在一條直線上，如圖③，求此時的長．題型2：菱形的性質類型1應用菱形的性質求解（2022秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考開學考試）如圖，在菱形中，的垂直平分線交于點為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．類型2應用菱形的性質證明（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？既＃┤鐖D，已知菱形，點F在的延長線上，點E在的延長線上，且滿足．求證：是等邊三角形．綜合訓練1．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，為菱形的對角線，已知，則等于（

）A． B． C． D．2．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖所示，在菱形中，，，分別是邊和的中點，于點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·重慶·九年級?？计谀┤鐖D，四邊形是菱形，連接，交于點，過點作，交于點，若，，則的長度是（）A． B． C． D．5．（2023秋·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，若，則的度數(shù)為________．6．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校┤鐖D，在菱形中，與相交于點，的垂直平分線交于點，連接，若，則的度數(shù)為______．7．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，為的中點，點在上，，，將沿方向平移，使點落在上，則平移的距離為________．8．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，菱形紙片中，，，將紙片沿對角線剪開，再將沿射線的方向平移得到，當是直角三角形時，平移的距離為___．9．（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在菱形中，，，G為邊上一動點，作于點，于點H，當取得最小值時，__________．10．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）如圖，在菱形中，對角線與相交于點，過點作，交于點，若，，則的長是______．11．（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，菱形的頂點是原點，頂點在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點．若菱形的面積為，則的值為________．12．（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，菱形的邊長為，其中對角線的長為，則菱形的面積為_________．13．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，扇形的半徑為6，圓心角為，則陰影部分的面積是______．14．（2022·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，是菱形的對角線，．(1)請用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為E，交于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）條件下，連接，求的度數(shù)．15．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，點是邊上一動點，連接，將射線繞點逆時針旋轉60°，分別交邊于點，交對角線于點.(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)若，，求及的長；(3)若，求的值.16．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）如圖，已知菱形中，對角線、相交于點，過點作，過點作，與相交于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，則四邊形的周長為．17．（2023·四川巴中·校考一模）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點O，平分，過點C作交的延長線于點E，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．18．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線，交于點O，，，連接，交于點F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，直接寫出菱形的面積．19．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線交于點F，延長到點C，使，延長到點D，使，連接(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．20．（2022秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，點E、F分別在邊上，且，連接，求證：．21．（2023秋·廣東河源·九年級?？计谀┤鐖D，在菱形中，對角線，交于點，交延長線于，交延長線于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求AC的長．22．（2023春·北京海淀·九年級人大附中?？奸_學考試）如圖，在中，，D是的中點，點E，F(xiàn)在射線上，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)點G為線段的中點，射線交于點H，若，求線段的長．23．（2023秋·福建莆田·九年級莆田第二十五中學?？计谀┤鐖D，中，為的中點，連接，作點關于的對稱點，連接．(1)求證：四邊形為菱形；(2)連接，若平分，求的長24．（2023秋·云南曲靖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，為菱形的一條對角線，以為直徑作，交于點E，交于點F，G為邊上一點，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑．題型3：正方形的判定類型1-應用正方形的性質求解（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，在正方形中，點在對角線上，，，，分別為垂足，連結，，若，則（

）A．5 B． C． D．類型2-利用正方形的性質證明（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）如圖，在正方形中，是邊上點，（與、不重合），連接，將沿所在的直線折疊得到，延長交于，連接，作，與的延長線交于點，連接．(1)求證：；(2)求證：平分．類型3-正方形的重疊面積問題（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學?？寄M預測）如圖，將邊長為4的正方形繞點按逆時針方向旋轉，得到正方形，連接，在旋轉角從0°到180°的整個旋轉過程中，當時，的面積為____________．類型4-正方形的折疊問題（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點G，連接、．(1)求證：；(2)求的面積；(3)在的條件下，求周長的最小值．綜合訓練1．（2022·陜西西安·西安市第三中學?？寄M預測）下列四邊形中，對稱軸條數(shù)最多的四邊形是（

）A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．菱形 D．正方形2．（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預測）如圖，有六根長度相同的木條，小明先用四根木條制作了能夠活動的菱形學具，他先將該活動學具調成圖1所示菱形，測得，對角線，接著將該活動學具調成圖2所示正方形，最后用剩下的兩根木條搭成了如圖3所示的圖形，連接，則圖3中的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·重慶江北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P為線段上任意一點，分別以、為邊在同側作正方形、，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·八年級單元測試）如圖，E、F、H分別為正方形的邊、、上的點，連接，，且，平分交于點G．若，則的度數(shù)為（

）A．26° B．38° C．52° D．64°6．（2022秋·重慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點M是上一點，點E是的中點，繞點E順時針旋轉得到，連接，．則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，是上一點，，將繞著點順時針旋轉到與重合，，則正方形的邊長為（

）A． B． C．5 D．48．（2022秋·貴州黔東南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為6的正方形內作，交于點E，交于點F，連接，將繞點A順時針旋轉到的位置，點D的對應點是點B．若，則的長為（

）A． B． C． D．29．（2022秋·山西朔州·九年級統(tǒng)考期末）如圖．正方形的邊長為4．以C為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，若再以C為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．10．（2023春·八年級課時練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點，將△CEF沿CF翻折，使點E的對應點G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點H，則FH的長是（

）A． B． C．1 D．11．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的面積為12，點E在邊上，且，連接將沿折疊，點A對應點為F，延長交于點G，點M，N分別是，的中點，則的長為（

）A． B． C． D．12．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，為的中點，將沿折疊，使點落在正方形內點處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．13．（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，以正方形中邊為一邊向外作等邊，則__．14．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖．已知正方形紙片的邊，點P在邊上，將沿折疊，點A的應點為．（1）若時，的長為______﹔（2）若點到邊或的距離為1，則線段的長為______．15．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考一模）數(shù)學課上，老師將如圖邊長為2的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，為半徑的扇形（鐵絲的粗細忽略不計），則所得扇形的面積是______．16．（2023秋·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，若大正方形與小正方形的面積之差是20，則與的面積之和是_________17．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形內三個相鄰的正方形面積分別為4，3和2，則圖中陰影部分的面積為_______．18．（2023秋·河北唐山·八年級?？计谀┤鐖D，有一塊邊長為2的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB延長線交于點E，則四邊形AECF的面積是___________．19．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為，點是邊的中點，點是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接，當最小時，的長是______．20．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點C落在點E處，分別延長、交于點F、G，若點M是邊的中點，則______cm．21．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，正方形紙片的邊長為12，E是邊上一點，連接，折疊該紙片，使點A落在上的G點，并使折痕經(jīng)過點B，折痕與交于點H，點F在上，若，則的長為_____．22．（2023春·八年級課時練習）如圖，點E在正方形外，連接，過點A作的垂線交于點F．若．則下列結論：①；②；③點B到直線的距離為；④．其中正確的結論是________.（填寫所有正確結論的序號）23．（2023·浙江·模擬預測）如圖，正方形的邊長為，E，F(xiàn)分別是的中點，與分別交于點M，N．請你回答下列問題：(1)求證：．(2)直接寫出的長．(3)求的面積．24．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，正方形的頂點C在直線a上，且直線a于M，直線a于N．(1)求證：(2)若點B，D到a的距離分別是1，2，求正方形的面積．25．（2023春·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習）如圖，正方形的對角線和交于點O，點E是上的一點，．(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本操作：過點B作的角平分線交和分別于點F和點G（保留作圖痕跡，不寫作法）：(2)求證：．證明：在正方形中，，∵，平分∴______①∴又∵∴∴______②在和中，∴∴______④∴26．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）如圖，四邊形是正方形，是等腰三角形，，．連接，過B作于F，連接，．(1)若，求的度數(shù)；(2)當變化時，的大小會發(fā)生變化嗎?請說明理由；(3)試用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．27．（2023秋·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學?？计谀┤鐖D，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點H．(1)如圖1，當點G在上時，求證：；(2)將正方形繞點C旋轉一周．①如圖2，當點E在直線右側時，判斷的數(shù)量關系并證明；②當時，若，請直接寫出線段的長．28．（2022秋·四川廣安·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知E是正方形的邊上的一點，延長到點F使，連接，．(1)能通過旋轉得到嗎？說明理由．(2)連接，過點D作垂直于點M，交于點N．若，，求的長．29．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？既＃┤鐖D，在正方形中，點P在邊上，且不與點A，D重合，點H在邊上，且不與點A，B重合，連接與交于點E.若，求證：30．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，E、F分別是和上的動點，且．(1)求證：；(2)若平分，且正方形的面積為36，連接，點P為線段上一個動點，，，垂足分別為G、H．則_____．31．（2022春·福建龍巖·八年級校考期中）如圖1，在正方形中，點E是邊上的一點，，且交正方形外角的平分線于點P．(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)在邊上是否存在點M，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請畫出圖形并給予證明；若不存在，請說明理由；(4)如圖2，在邊長為4的正方形中，將線段沿射線平移，得到線段，連接，則直接寫出的最小值是．題型4：特殊平行四邊形的判定類型1-矩形的判定（2023春·八年級課時練習）如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，請你再添一個條件，使得平行四邊形是矩形，則下列條件符合的是()A．平分 B． C． D．25．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形中，于點，延長至點，使，連接，與交于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，求的長．類型2-菱形的判定（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙兩人分別用一張矩形紙做一個折菱形的游戲．甲沿折疊使得點落在上，沿折疊使得點落在上，甲說得到的四邊形為菱形；乙沿折疊使得與重合，再折出，，乙說得到的四邊形為菱形；下列說法正確的是（

）（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，矩形，延長至點E，使，連接，過點C作交的延長線于點F，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接交于點G．當，時，求的長．類型3-正方形的判定（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在中，點E、D、F分別在邊上，且，，下列四個判斷中，不正確的是（

）A．四邊形是平行四邊形B．如果平分，那么四邊形是菱形C．如果，那么四邊形是矩形D．如果且，那么四邊形是正方形（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：如圖1，點為正方形內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到（點的對應點為點）．延長交于點，連接，猜想證明：(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若、請猜想線段與的數(shù)最關系并加以證明，解決問題；(3)如圖1，若的面積為72，，請直接寫出的長．綜合訓練1．（2023秋·遼寧朝陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（

）A．當，是矩形 B．當，是菱形C．當，是菱形 D．當，是正方形2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，要使平行四邊形為矩形，則可添加下列哪個條件（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河南平頂山·九年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個條件，能使平行四邊形ABCD是矩形（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習）順次連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，在下列條件中，能使四邊形EFGH為矩形的是（）A．AB＝CD B．AB⊥CD C．AC⊥BD D．5．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十六中學?？计谀┮阎倪呅蜛BCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（

）A．當∠ABC=90°時，它是矩形 B．當AB=BC時，它是菱形C．當AC⊥BD時，它是菱形 D．當AC=BD時，它是正方形6．（2023秋·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，對角線，相交于點O，若添加一個條件，使得一定為菱形，該條件是（）A． B． C． D．7．（2022秋·四川南充·九年級?？茧A段練習）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項可以使四邊形AFCE是菱形的為（）A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC8．（2021秋·山東菏澤·九年級?？茧A段練習）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，那么下列條件中，能判斷平行四邊形ABCD是菱形的為（

）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC9．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，那么與只需滿足（

）A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．互相平分且垂直10．（2023·廣西防城港·校考一模）如圖，在正方形中，對角線，交于點O，點E，F(xiàn)分別在，上，且，交于點G，連接．下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．四邊形是菱形11．（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，中，點E、F在對角線上，且，要使四邊形為菱形，現(xiàn)有甲、乙、丙三種方案：甲：只需要滿足；乙：只需要滿足；丙：只需要滿足．則正確的方案是（

）A．甲、乙、丙 B．甲、丙 C．甲、乙 D．乙、丙12．（2023秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，添加下列條件，能使菱形成為正方形的是（

）A． B． C． D．平分13．（2023秋·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對角線，交于點O，要使該矩形成為正方形，則應添加的條件是（

）A． B．C． D．14．（2023春·八年級課時練習）如圖，在矩形內有一點，與分別平分和，點為矩形外一點，連接，，若，則添加下列條件不能判定四邊形是正方形的是（

）A． B． C． D．15．（2022秋·遼寧遼陽·九年級校聯(lián)考期中）有下列四個條件：①；②；③；④；從中選兩個作為補充條件，使平行四邊形為正方形，現(xiàn)有下列四種選法，你認為錯誤的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④16．（2023·湖南湘潭·湘潭縣云龍中學?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形添加一個條件_____使得它成為矩形．（任意添加一個符合題意的條件即可）17．（2022秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）平行四邊形的對角線與相交于點，若要使平行四邊形成為矩形，則需要添加的一個條件是___________．（只寫出一種情況即可）18．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形是菱形，從①，②，③中選擇一個作為條件后，使四邊形成為正方形，則應該選擇的是______．（僅填序號）19．（2022春·山東濟寧·八年級?？计谀┤鐖D，已知點D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件_____，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是正方形．20．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，AD是△ABC的中線，過點A作AEBC，過點B作BEAD交AE于點E．(1)求證：∠E＝∠ADB．(2)當△ABC滿足條件時，四邊形ADBE是矩形？請說明理由．21．（2022春·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對角線與交于點O.(1)添加一個條件：_____，則可判定四邊形是矩形；(2)若，，則與的周長之差為_____________.22．（云南省楚雄州部分地區(qū)2022-2023學年九年級下學期教學質量作業(yè)四（開學考）數(shù)學試題）如圖，四邊形中，是對角線，，且，于點D，點E、F分別是邊、的中點，連接、分別交于點G、H．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的面積．23．（2023春·八年級課時練習）如圖，已知，延長到E，使，連接，，，若．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．24．（2023春·江蘇·八年級校考周測）如圖，在中，是上的任意一點（不與點、重合），過點平行于的直線分別與、的外角的平分線交于點、．(1)與相等嗎？證明你的結論．(2)試確定點的位置，使四邊形是矩形，并加以證明．25．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D為的中點，四邊形是平行四邊形．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)填空：①當且時，四邊形的周長等于______；②當時，四邊形的形狀為______．26．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知中，是邊上一點，過點分別作交于點，作交于點，連接．(1)下列條件：①是邊的中點；②是的角平分線；③點與點關于直線對稱．請從中選擇一個能證明四邊形是菱形的條件，并寫出證明過程；(2)若四邊形是菱形，且，，求的長．27．（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，點E，F(xiàn)在上，且．(1)求證：；(2)不添加輔助線，請你補充一個條件，使得四邊形是菱形；并給予證明．28．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖，已知在中，，，，點、分別從點、出發(fā)沿、方向向點A、C勻速運動，運動速度均為，當點到達點時，兩點都停止運動．以、為邊作平行四邊形，連接，交于點設運動的時間為．(1)求四邊形的最大面積．(2)填空：①當______時，四邊形是矩形；②當______時，四邊形是菱形．29．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中校考周測）如圖，在四邊形中，，，對角線、交于點，平分，過點作交延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．30．（2023·黑龍江綏化·?？寄M預測）如圖，在梯形中，，，，，，動點從點開始沿邊向以秒的速度運動，動點從點開始沿邊向以秒的速度運動，、分別從、同時出發(fā)，當其中一點到端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為秒．問：(1)求為何值時，四邊形是平行四邊形？(2)四邊形可能是矩形嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，說明理由；(3)四邊形可能是菱形嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，說明理由．31．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線交于點F，延長到點C，使，延長到點D，使，連接(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．32．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，是邊上的中線，分別過點作的平行線交于點且交于點連接(1)求證：四邊形是菱形；(2)若求菱形的面積．33．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，在四邊形中，，過對角線的中點O，作，分別交邊，于點E，F(xiàn)，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．34．（2022秋·廣東東莞·八年級階段練習）如圖，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．求的值；35．（2023春·江蘇·八年級?？贾軠y）如圖，矩形中，點P是線段上一動點，O為的中點，的延長線交于Q．(1)求證：；(2)若厘米，厘米，P從點A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合），設點P運動時間為t秒，請用t表示的長；并求t為何值時，四邊形是菱形．36．（2022春·福建龍巖·八年級?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，，過點作，交的延長線于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，，則的長為．37．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點M、N，連接、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若四邊形的周長為52，，求的長．38．（2022秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，點M，N分別為上一點，且，連接．(1)當時，求證：四邊形是菱形；(2)填空：①當時，四邊形是矩形；②當時，以為對角線的正方形的面積為．39．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，中，是的平分線，作交于點，交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當滿足條件時，四邊形是正方形．40．（2023秋·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對角線相交于點O．(1)若，求證：矩形是正方形；(2)請?zhí)砑右粋€異于（1）的條件，使矩形成為正方形，不用說明理由．41．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，，是的兩條中位線．我們探究的問題是：這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的邊或角有什么關系？建議按下列步驟探索：(1)圍成的四邊形是否必定是平行四邊形？(2)在什么條件下，圍成的四邊形是菱形？(3)在什么條件下，圍成的四邊形是矩形？(4)你還能發(fā)現(xiàn)其他什么結論嗎？42．（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，垂足為點是外角的平分線，，垂足為點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)當滿足什么條件時，四邊形為正方形？給出證明．43．（2023秋·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，過點C的直線，D為邊上一點，過點D作，交直線與E，垂足為F，連接，．(1)求證：；(2)當D在中點時，四邊形是什么特殊四邊形？說明理由；(3)在滿足（2）的條件下，當滿足______條件時，四邊形是正方形（直接填寫答案）．題型5：中點四邊形（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結論；(2)當四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；(3)你學過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．綜合訓練1．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，已知，則的大小是（

）題型5：中點四邊形（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結論；(2)當四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；(3)你學過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．綜合訓練1．（2023春·福建福州·八年級校考階段練習）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，且，下列結論：①四邊形是菱形；②；③若，則；④；其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·八年級課時練習）如圖所示，順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，使四邊形為正方形，應添加的條件分別是（

）A．且 B．且C．且 D．且3．（2023春·全國·八年級專題練習）順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是(

)A．平行四邊形 B．對角線相等的四邊形C．矩形 D．對角線互相垂直的四邊4．（2022秋·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，E、F、G、H分別是、、、的中點，若中點四邊形是菱形，那么原四邊形滿足什么條件（

）A． B．C． D．5．（2023秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是內一點，，，，，、、、分別是、、、的中點，則四邊形的周長是（

）A． B． C． D．6．（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點，則關于四邊形EFGH，下列說法正確的是（

）A．不一定是平行四邊形 B．當AC＝BD時，它為菱形C．一定是軸對稱圖形 D．不一定是中心對稱圖形7．（2022春·全國·八年級校考期末）如圖，四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊、、、的中點．若四邊形為菱形，則對角線、應滿足條件_______．8．（2022秋·福建漳州·九年級漳州實驗中學校考期中）如圖，四邊形中，E，F(xiàn)、G、H分別是邊，、、的中點，請你添加一個條件，使四邊形為菱形，應添加的條件是_____________．9．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知矩形的對角線的長為10cm，順次連接各邊中點E、F、G、H得四邊形，則四邊形的周長為______cm．10．（2022秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)，G，H分別是各邊的中點，連接，，，．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．題型5：特殊平行四邊形的動點問題（2023·全國·九年級專題練習）如圖,在矩形ABCD中，，，動點M以的速度從A點出發(fā),沿向點B運動,同時動點N以的速度從點D出發(fā),沿DA向點A運動，設運動的時間為秒（）．(1)當為何值時，的面積等于矩形面積的？(2)是否存在某一時刻,使得以A、M、N為頂點的三角形與相似?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由．綜合訓練1．（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，，動點P從點A開始，沿邊，以1厘米/秒的速度向點D運動；動點Q從點C開始，沿邊，以3厘米/秒的速度向B點運動．已知P、Q兩點分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．假設運動時間為t秒，問：(1)t為何值時，四邊形是平行四邊形？(2)在某個時刻，四邊形可能是菱形嗎？為什么？(3)t為何值時，四邊形是等腰梯形？2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點B的坐標為，現(xiàn)有兩動點P，Q，點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運動，連接，，．設運動時間為t秒（）．(1)點P的坐標為______，點Q的坐標為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若以A，P，Q為頂點的三角形與相似時，請直接寫出t的值．3．（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點E，，，點C為射線上一點且縱坐標為8，連接，過點C作軸，過點A作交于點B．(1)請直接寫出直線的函數(shù)表達式；(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)點F在，上運動，現(xiàn)從點C出發(fā)，沿路線向點A以每秒2個單位的速度勻速運動，設運動時問為t（秒），連接EF，EB①當時，請直接寫出的面積S與運動時間的函數(shù)關系式；②請直接寫出的面積為9時t的值；4．（2022秋·四川眉山·九年級校考階段練習）如圖，已知正方形的邊長為，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向向點運動，若、兩點同時出發(fā)運動時間為．(1)連接、、，求當為何值時，的面積為？(2)當點P在上運動時，是否存在這樣的t使得是以為一腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．5．（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點P從點A出發(fā)，沿線段向點B以的速度運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段向點A以的速度運動．當其中一點到達端點時，兩點同時停止運動．以、為鄰邊作平行四邊形．設平行四邊形與重疊部分的圖形面積為，運動時間為．(1)當點E落在線段上時，求t的值；(2)求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；(3)當四邊形為菱形時，求t的值．6．（2022秋·江西撫州·九年級校考期末）如圖，在中，，平分，過點作的平行線交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)如果，的長單位：米）是的兩根，求的長以及菱形的面積；7．（2022秋·山東青島·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動（不與點A，B重合），一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發(fā)沿向點D移動（不與點C，D重合）．運動時間設為t秒．(1)若點P，Q均以的速度移動，則___________；___________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)在（1）的條件下，t為何值時，P，Q間的距離為？(3)若點P為的速度移動，點Q以的速度移動，經(jīng)過多長時間，使為等腰三角形？(4)若點P，Q均以的速度移動，經(jīng)過多長時間，四邊形為菱形？8．（2022秋·山東聊城·八年級校考期末）已知正方形中，，．動點以每秒2個單位速度從點出發(fā)沿線段方向運動，動點同時以每秒8個單位速度從點出發(fā)沿正方形的邊方向順時針作折線運動，當點與點相遇時停止運動，設點的運動時間為．(1)當運動時間為__秒時，點P與點Q相遇；(2)當時，求線段的長度；(3)連接，當和全等時，求的值．9．（2022秋·吉林白城·八年級校考階段練習）如圖，已知正方形中，邊長為，點在邊上，．點在線段上以/秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上以厘米/秒的速度由點向點運動，設運動的時間為秒．(1)，．（用含的代數(shù)式表示）(2)若以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等，求的值．10．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，是的中點．動點從點出發(fā)，沿以每秒5個單位的速度向點運動，連接，以、為鄰邊作．設點的運動時間為（秒）．(1)的長是______．(2)當與的斜邊垂直時，求的值．(3)當是軸對稱圖形時，求的值．(4)作點關于直線的對稱點．當與的某一條直角邊垂直時，直接寫出的值．專題5.2特殊平行四邊形重難點題型講練題型1：矩形的性質類型1-利用矩形性質求解（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形紙片中，，，將沿折疊到位置，交于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用矩形和折疊的性質可得，設，則，，在中利用勾股定理列方程，即可求出的值，進而可得．【詳解】四邊形是矩形，，，，，，由折疊的性質可得，，，設，則，，在中，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查矩形的性質、解直角三角形、折疊的性質、勾股定理等，解題關鍵是利用矩形和折疊的性質得到．類型2-利用矩形性質證明（2023秋·云南曲靖·九年級統(tǒng)考期末）在矩形中，對角線，交于點O，把繞點A順時針旋轉，使點B剛好落在線段上的點E處，點C旋轉至點F處，交于點G．(1)求證：為等腰三角形；(2)試判斷與的關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)且，理由見解析【分析】(1)首先根據(jù)矩形的性質，可證得，，再由旋轉的性質，可得，，即可證得，據(jù)此即可證得結論；(2)首先根據(jù)矩形的性質及旋轉的性質，可得，，再由，即可證得，據(jù)此即可判定與的位置關系．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，由旋轉的性質，可得，，，，，，為等腰三角形；（2）解：且，理由如下：四邊形是矩形，，，由旋轉的性質，可得，，，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，熟練掌握和運用矩形及旋轉的性質是解決本題的關鍵．類型3-矩形的折疊問題25．（2023春·山西晉城·九年級校聯(lián)考階段練習）綜合與實踐問題情境：綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學活動．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點A的直線折疊，使點D的對應點落在邊上，展開后折痕交于點E．(1)的度數(shù)為______．(2)求線段的長度．拓展延伸：(3)如圖2，在圖1的基礎上，繼續(xù)沿過點A的直線折疊，使點B的對應點落在上，展開后折痕交于點F，連接．請判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)(3)等腰直角三角形，證明見解析【分析】（1）首先根據(jù)折疊的性質得的，然后利用勾股定理求出，得到，然后求解即可；（2）首先根據(jù)線段的和差得到，然后證明出，最后利用勾股定理和折疊的性質求解即可；（3）首先根據(jù)題意證明，然后利用相似三角形的性質得到，進而得到，然后證明出，得到，，根據(jù)同角的余角相等得到，可證明出是等腰直角三角形．【詳解】（1）∵由題意可得，∵矩形紙片中，，∴∴∴，故答案為：45°；（2）∵矩形紙片中，∴∵，∴∵∴∴∴∴；（3）∵∴由折疊的性質可得，，∴又∵∴∴，即∴∴∴，即又∵∴又∵∴∴，∵∴∴∴是等腰直角三角形．【點睛】此題考查了矩形的性質，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，勾股定理，折疊的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．綜合訓練1．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，已知，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質，等腰三角形的性質以及三角形外角的性質，即可求解．【詳解】解：∵矩形的對角線，相交于點，∴，，，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質以及三角形外角的性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．2．（2023春·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習）如圖，點E，F(xiàn)分別在矩形的邊上，過A作交矩形對角線于點G，，，，則長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作，交于點H，延長交于點K，先證明四邊形是平行四邊形，可得，再由勾股定理可得，再由，可得，然后根據(jù)，可得，再由勾股定理求出，即可求解．【詳解】解∶如圖，過點B作，交于點H，延長交于點K，∵四邊形是矩形，∴，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．3．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，四邊形為矩形，且，，點E為上一點且，連接、，且，，連接，則的長為（

）A．10 B． C． D．【答案】C【分析】過點作于點G，先根據(jù)矩形的性質，結合證明，得出，設，則，則，求出x的值，得出，，證明，得出，求出，，最后根據(jù)勾股定理求出結果即可．【詳解】解：過點作于點G，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設，則，則，即，整理得：，解得：，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，設，則，∵，∴，解得：，（舍去），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定和性質，證明．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知：如圖，矩形中，，對角線相交于點O，點P是線段上任意一點，且于點E，于點F，則等于（）A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)矩形的性質以及勾股定理可得，，再由，即可求解．【詳解】解：連接，如圖，在矩形中，，∴，，∴，，,∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質，勾股定理是解題的關鍵．5．（2022秋·廣東肇慶·八年級廣東肇慶中學?？计谀┮阎喝鐖D，折疊長方形的一邊，使點D落在邊的點E處，已知，，則的長是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求出、的長，利用勾股定理列出關于的方程，即可解決問題．【詳解】解∶∵折疊，∴，，∵四邊形為長方形，，，∴；，設，則；由勾股定理得：，∴，由勾股定理得：，解得：，∴，故答選：A．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用勾股定理等幾何知識來分析、判斷、推理或解答．6．（2023·黑龍江綏化·校考模擬預測）如圖，在矩形中，，，點是上一個動點，把沿向矩形內部折疊，當點A的對應點恰好落在的平分線上時，的長為（

）A．或 B．4或 C．或 D．或【答案】D【分析】過點作于點M．由題意易證為等腰直角三角形，即得出，．設，則．在中，由勾股定理可得出關于x的等式，解出x的值，即為的長，進而即得出的長．【詳解】如圖，過點作于點M．∵點A的對應點恰落在的平分線上，且，∴為等腰直角三角形，∴可設，則．又由折疊的性質知．∵在中，，∴，解得：，∴或．∵為等腰直角三角形，∴，∴或．故選D．【點睛】本題考查矩形的性質，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理，解一元二次方程等知識．正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．7．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，過點A作的垂線，垂足為E．若，則____．【答案】45【分析】由矩形的性質得出，再由已知條件得出，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得，最后再根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得，進而可得，由此即可得出結果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，∵，，，四邊形是矩形，，，，，，，故答案為：45．【點睛】本題考查了矩形的性質、角的計算；熟練掌握矩形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．8．（2022秋·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形的四個頂點分別在直線，，，上．若直線且間距相等，，，則的值為______．【答案】##【分析】過C作于點F，交于點E，設交于點G，證，得，則，再由平行線的性質得，然后由銳角三角函數(shù)定義求出，即可求解．【詳解】解：過C作于點F，交于點E，設交于點G，由題意得：，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握矩形的性質，證明是解題的關鍵．9．（2022·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預測）如圖，在矩形中，，，點P在矩形上或其對角線上運動，，則長為________．【答案】或12或【分析】根據(jù)點P在矩形上或對角線上，進行分類討論即可．【詳解】解：如圖：∵四邊形是矩形，且，，①當點P在上，，；②當點P在，連接，是直角三角形，，不滿足∴點P在上情況不存在；③點P在上，以點B為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，∴設，又，，且，，，或，，或（舍去），∴點P在上情況不存在；④點P在上，設點P為，，解得：，，，；⑤當點P在，，，設，，即，，∴設點，，，，且，解得：或（舍去），，故答案為：，12，．【點睛】本題考查三角形的三邊關系，點的坐標，解一元二次方程，建立平面直角坐標系，根據(jù)點的坐標求線段長度列一元二次方程是解決本題的關鍵．10．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，在矩形中，交于點O，于點E，，則的度數(shù)為_________【答案】##度【分析】由矩形的性質得出，得出，由直角三角形的性質求出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質等知識；熟練掌握矩形的性質和等腰三角形的性質是解題的關鍵．11．（2022春·北京東城·八年級?？茧A段練習）如圖，過矩形的對角線上一點K分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質對角線把矩形面積一分為二即可解得．【詳解】解：∵四邊形是矩形，又∵對角線上一點K分別作矩形兩邊的平行線與，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，∴的面積的面積的面積的面積的面積的面積，∴．故答案為．【點睛】此題考查矩形的性質，解題的關鍵是熟悉矩形的對角線平分矩形的面積．12．（2023·河南周口·校考一模）如圖，在矩形中，E為射線上一點，將沿翻折，使點B落在點F處，若，則BE＝_____．【答案】4或12【分析】注意本題應分類討論，①當點E在上時，連接，作于G，根據(jù)已知條件可求得，可證，從而可知是等邊三角形，可得，即可求解．②當點E在的延長線上時，作，交的延長線于G，根據(jù)已知條件可求得，可知，進而可證是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖1，當點E在上時，連接，作于G，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴，由折疊得，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，如圖2，當點E在的延長線上時，作，交的延長線于G，∴，∵∵∴∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：4或12．【點睛】本題考查了折疊的性質、三角函數(shù)、三角形全等的判定及性質，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．13．（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕，把紙片展平，連接．（1）圖中是__________三角形；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點A落在邊上的點H處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕，把紙片展平，如圖2，則__________，設與交于點P，若直線交直線于點O，，，則__________．【答案】

等邊

##15度

1【分析】（1）由折疊的性質可得是的線段垂直平分線，是的線段垂直平分線，則有，然后問題可求解；（2）由折疊的性質可知，然后結合（1）可進行求解的度數(shù)；由矩形的性質及（1）可得，然后根據(jù)三角函數(shù)可進行求解．【詳解】解：（1）由折疊的可知：是的線段垂直平分線，是的線段垂直平分線，∴，即，∴是等邊三角形；故答案為：①等邊；（2）∵折疊紙片，點A落在邊上的點H處，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為②，③1．【點睛】本題主要考查矩形與折疊的問題及三角函數(shù)、等邊三角形的性質與判定，熟練掌握矩形與折疊的問題及三角函數(shù)、等邊三角形的性質與判定是解題的關鍵．14．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將矩形繞點旋轉得到矩形，點在上，延長交于點.(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得出，，根據(jù)旋轉的性質得出，，再證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質得出，由全等三角形的性質得出，再計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，由旋轉性質，得：，，∴，，∵在矩形中，，∴，在和中，，∴，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度數(shù)為．【點睛】本題考查矩形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，正確得出全等是解題的關鍵．15．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形是矩形，，，是上的一點，且，點是邊上的任意一點．連接，將線段繞點順時針旋轉，得到線段．(1)求點到的距離；(2)當時，若此時點恰好落在對角線上，求的長．【答案】(1)1(2)【分析】（1）作于點H，根據(jù)旋轉可知，，根據(jù)證，即可得出；（2）由可得，根據(jù)證明，可得，即，求出，進而可求的長．【詳解】（1）解：如圖，作于點H，線段繞點順時針旋轉得到線段，，，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，即點到的距離是1；（2）解：如圖，當點恰好落在對角線上，作于點H，由（1）知，，．，，，，，即，解得，，，．【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質等，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，注意旋轉前后對應邊相等．16．（2023·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考一模）已知矩形，將其繞著點逆時針旋轉得到矩形．(1)如圖1，若點在上，連接．①求證：平分；②連接交于點，若，，求的長．(2)如圖2，若點，，在同一條直線上，與交于點，，，求的長．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①利用旋轉的性質，矩形的性質，平行線的性質證明即可．②過點作于點，連接，證明四邊形ABHG是平行四邊形，運用勾股定理計算OB，結合平行四邊形的性質計算即可．（2）利用矩形的性質，證明，列比例式計算即可．【詳解】（1）①證明：根據(jù)題意可得，，，，，平分．②解：如圖，過點作于點，連接．四邊形是矩形，，，由①得平分，，由旋轉的性質可得且，，，四邊形是平行四邊形，，，在中，，，，，，在中，，，，，．（2）根據(jù)旋轉的性質可得，，，四邊形是矩形，，在中，，，，，，，．【點睛】本題考查了旋轉性質，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，熟練掌握三角形相似的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵．17．（2023·山東青島·?？家荒＃┮阎壕€段和矩形如圖①擺放（點E與點B重合），點F在邊上，，．如圖②．從圖①的位置出發(fā)，沿方向運動，速度為；動點P同時從點D出發(fā)，沿方向運動，速度為．點M為的中點，連接，，，與相交于點Q，設運動時間為．解答下列問題：(1)當時，求t的值；(2)設五邊形的面積為，求S與t的關系式；(3)當時，求線段的長；(4)當t為何值時，五邊形的周長最小，最小是多少？直接寫出答案即可．【答案】(1)(2)(3)(4)五邊形的周長的最小值為【分析】（1）通過等量代換得出，證明，利用相似三角形對應邊成比例得，代入數(shù)值即可求解；（2），用含t的代數(shù)式表示出相關線段的長度，代入即可求解；（3）先證，推出，再證，推出，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質可得，因此利用勾股定理求出的長度即可；（4）作M點關于的對稱點，過點作，過點F作，相交于點H，則，可得當D、F、H三點共線時，的值最小，最小值為的長度，由此可解．【詳解】（1）解：∵矩形中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴，∴，又∵矩形中，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵M是的中點，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵M是的中點，∴，∴；（3）解：如圖，連接交于點G，∵，M是的中點，∴E是的中點，∵，∴P點是的中點，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴Q點是的中點，∵，∴，∵，，∴，∴；（4）解：∵，，∴，，如圖，作M點關于的對稱點，過點作，過點F作，相交于點H，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，當D、F、H三點共線時，的值最小，∵，，∴，∵，∴五邊形的周長的最小值為．【點睛】本題考查矩形上的動點問題，涉及矩形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊中線的性質，平行四邊形的性質，利用軸對稱求線段的最值，勾股定理等知識點，綜合運用上述知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．18．（2023春·湖南長沙·八年級長沙縣湘郡未來實驗學校?？茧A段練習）在平面直角坐標系中存在矩形，點、點，且、滿足：（實數(shù)．(1)求點坐標；(2)如圖1，作的角平分線交軸于，的中點為，作交軸于，求的值（用含式子表示）；(3)如圖2，在（2）的條件下，當時，將矩形向右推倒得到矩形，使與重合，落在軸上，現(xiàn)在將矩形沿射線以1個單位/秒平移，設平移時間為，用表示平移過程中矩形與矩形重合部分的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由，根據(jù)非負數(shù)的性質得，，可求得，則點的坐標為；（2）連接，由四邊形是矩形得，，，則點的坐標為，由的角平分線交軸于得，是等腰直角三角形，而是中點，則，因為，所以，可證明，則，所以，即可求得；（3）設矩形與矩形重合部分的面積為，交于點，可證明是等腰直角三角形，則，再按三種情況確定的取值范圍，并結合圖形分別求出相應的用含的代數(shù)表示的式子．【詳解】（1）如圖1，，，且，，，，，，，．（2）如圖1，連接，四邊形是矩形，，，，，平分，，，，，的中點為，，，，，，，，，，，．（3）如圖2，設矩形與矩形重合部分的面積為，交于點，，，由旋轉得，由平移得軸，，，，，，，，，當點與點重合時，則，；當與重合時，則，；當點與點重合時，則，，當時，如圖2，；當時，如圖3，，當時，如圖4，；當時，如圖5，，綜上所述，．【點睛】此題考查圖形與坐標、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、數(shù)形結合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性較強，難度較大，屬于考試壓軸題．19．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）已知矩形的對角線，相交于點O，點E是邊上一點，連接，，，且．求證：．【答案】見解析【分析】由矩形的性質得到，再利用即可判定．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，在和中，，∴．【點睛】此題考查了矩形的性質和全等三角形的判定，利用矩形的性質得到是解題的關鍵．20．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在五邊形中，四邊形是矩形，是以E為直角頂點的等腰直角三角形．與交于點G，將直線繞點E順時針旋轉交于點F．(1)求證：；(2)判斷線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)若，且，求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)線段，，之間的數(shù)量關系為：，理由見解析；(3)．【分析】（1）由題意知：，，，從而得知，由三角形的內角和定理得知，由旋轉得知，從而，進而可得結論；（2）將繞點旋轉得到，則已知和旋轉的性質可以得出：，，點在直線上，，證明，得到，等量代換可得結論；（3）連接，證明，得到，從而得到，由等腰三角形三線合一知：，由（2）可知，，，在中，由勾股定理求出，從而得出線段的長．【詳解】（1）證明：∵是以E為直角頂點的等腰直角三角形，∴，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴∵將直線繞點E順時針旋轉交于點F，∴，從而，∴；（2）線段，，之間的數(shù)量關系為：，理由如下：將繞點旋轉得到，如圖：則，，，，∴，，∴點在直線上，，在和中，∴，∴，而，∴；（3）若，且，則，連接，如圖：在和中，，∴，∴，而，∴，∵，∴，由（2）可知，，，在中，由勾股定理，得：，∴．【點睛】本題屬于幾何綜合，考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質及勾股定理，熟練掌握相關知識和構造輔助線是解決問題的關鍵．21．（2023秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，E是邊的中點，于點F，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得出，再根據(jù)，即可得出結論；（2）過D作交于點N，先得出四邊形是平行四邊形，得出，再證明垂直平分，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵矩形，∴，，∴，又∵于點F，∴，∴，∴；（2）證明：過D作交于點N，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴垂直平分，∴．【點睛】本題考查矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，垂直平分線的性質，相似三角形的判定，正確理解題意是解題的關鍵．22．（2022秋·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）在矩形中，E為邊上一動點，連接．(1)將沿翻折，使點B恰好落在對角線上的點F處，AE交于點G．①如圖①，若，求證：F為的中點；②如圖②，當，時，求的長．(2)根據(jù)②所得數(shù)據(jù)，將矩形沿翻折，點C的對應點為，點D的對應點為，使點E，，D三點在一條直線上，如圖③，求此時的長．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①先證明是等邊三角形，再根據(jù)等角對等邊證明即可證明結論成立；②由折疊的性質得，，則，再證，即可解決問題；（2）分兩種情況，a、證，得，再由勾股定理得，即可解決問題．【詳解】（1）①∵，∴．由折疊的性質得：，∴是等邊三角形，∴，．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴F為的中點；②由折疊的性質得：，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：（負值已舍去），即BC的長為；（2）如圖③，由折疊的性質得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質和折疊的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵．題型2：菱形的性質類型1應用菱形的性質求解（2022秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考開學考試）如圖，在菱形中，的垂直平分線交于點為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，根據(jù)菱形的性質可得垂直平分，，，，從而得到，再由垂直平分，可得，即可求解．【詳解】解：連接、，如圖，∵四邊形是菱形，∴垂直平分，，，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故選：D【點睛】本題主要考查了菱形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．類型2應用菱形的性質證明（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考三模）如圖，已知菱形，點F在的延長線上，點E在的延長線上，且滿足．求證：是等邊三角形．【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)菱形的性質得到，則，證明是等邊三角形，得到，則，利用證明，得到，進而推出，即可證明是等邊三角形．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴是等邊三角形．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，證明是等邊三角形，得到，進而利用證明，得到是解題的關鍵．綜合訓練1．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，為菱形的對角線，已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由菱形的性質先證明，，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵菱形，∴，，∵，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查的是菱形的性質，熟記菱形的每一條對角線平分一組對角是解本題的關鍵．2．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖所示，在菱形中，，，分別是邊和的中點，于點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先延長交的延長線于點G．根據(jù)已知可得的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質可得到的度數(shù)，從而不難求得的度數(shù)．【詳解】延長交的延長線于點G．如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵F是邊的中點，∴，在與中，∴∴，∴F為中點．由題可知，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∵E，F(xiàn)分別為，的中點，∴，，∴；故選：D．【點睛】此題主要考查了菱形的性質以及全等三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．3．（2022秋·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性質可得，由直角三角形的性質可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質，掌握菱形的性質是解題的關鍵．4．（2023秋·重慶·九年級?？计谀┤鐖D，四邊形是菱形，連接，交于點，過點作，交于點，若，，則的長度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質，利用勾股定理求得邊長，等面積法求得，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴,，在中，,∵，∴在中，故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理，掌握菱形的性質是解題的關鍵．5．（2023秋·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，若，則的度數(shù)為________．【答案】##度【分析】根據(jù)菱形的性質進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，熟知菱形的對角線平分一組對角是解題的關鍵．6．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校┤鐖D，在菱形中，與相交于點，的垂直平分線交于點，連接，若，則的度數(shù)為____