2020-2021學年湖北省黃岡市高一年級下冊期末數(shù)學試卷及答案解析

2020-2021學年湖北省黃岡市高一下期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題:本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將答案涂在答題卡上.

1.（5分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（3+力=2-i,則下列說法正確的是（）

A.復數(shù)z的模為V?2

B.復數(shù)z的共軌復數(shù)為-

1

C.復數(shù)z的虛部為-i

2

D.復數(shù)z在復平面內對應的點在第二象限

2.（5分）在△ABC中，a=15,b=\Q,A=45°,則cosB=（）

V2V2V7"

AA.—BR.—rC.—D.—

3333

3.（5分）不同的直線相和"，不同的平面a,P，y,下列條件中能推出a〃0的是（）

A.aAy=tt,0仆丫=m,n//mB.a±y,P±y

C.n//m,n_La,相_1_0D.n//a,m/7P，n//m

4.（5分）若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為1,當該圓錐體

積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）

A.2B.4C.V3D.2V3

5.（5分）一個正方體有一個面為紅色，兩個面為綠色，三個面為黃色，另一個正方體有兩

個面為紅色，兩個面為綠色，兩個面為黃色，同時擲這兩個正方體，兩個正方體朝上的

面顏色不同的概率為（）

1527

A.-B.-C.-D.—

36312

6.（5分）如圖，正三棱錐中，ZBAD=20°,側棱長為2,過點C的平面與側棱

AB,相交于9、D],則△CBiOi的周長的最小值為（）

D

第1頁共28頁

A.2V2B.2V3C.4D.2

—>—>

7.(5分)如圖所示，△ABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60°，。是BC的中點，BE=2R4,

則易-DE=()

8.（5分）歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設和公理作為全書推理的出發(fā)點.其

中第I命題47是著名的畢達哥拉斯定理（勾股定理），書中給出了一種證明思路：如圖，

及△ABC中，ZBAC=90°,四邊形A皮憶、ACFG.BCDE都是正方形，ANLDE于點

N,交BC于點先證明△ABE與△H3C全等，繼而得到矩形與正方形4BHL

面積相等；同理可得到矩形CDNM與正方形ACPG面積相等；進一步推理得證.在該圖

,1

中，若tcmZ?B/E=1,貝!JsinN3EA=()

二、多項選擇題.本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）下列各組向量中，可以作為基底的是（）

TT3

A.%=（0,2）,e2=,0）

-

B.出=（0,0）,e2=（1,2）

第2頁共28頁

C.e-L=(1,3),e2=(-2,-6)

D.et=(3,5),e2=(5,3)

（多選）10.（5分）下列關于復數(shù)z的四個命題中假命題為（）

A.若z+2=0,則z為純虛數(shù)

B.若團|=0|,則Z1=±Z2

C.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2

D.若z3-1=0,則z=l

（多選）11.（5分）如圖在三棱柱ABC-AiBiCi中，CCi_L底面4BC,ACJ_CB,點。是

AB上的動點，則下列結論正確的是（）

A.BC±ACi

B.當。為AB的中點時，平面CD81，平面441218

C.當。為AB中點時，AG〃平面CDB1

D.三棱錐4-CD81的體積是定值

（多選）12.（5分）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法中

正確的是（）

A.c=acosB+bcosA

B.若acosA=bcosB,則ZkABC為等腰三角形

C.若o2tanB=Z>2tanA,則a=b

D.若浸+/=C3,則△ABC為銳角三角形

三、填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）

13.（5分）一個口袋中裝有2個紅球，3個綠球，采用不放回的方式從中依次取出2個球,

則第一次取到綠球第二次取到紅球的概率為.

14.（5分）在4筋。中,。是2。的中點,42=1,47=2,4￡>=亭,則4718。的面積為.

第3頁共28頁

15.（5分）如圖，正方體ABCD-AIBICLDI中，。是AC的中點，直線為。與平面ACG

所成角的正弦值為

11

16.（5分）如圖等腰梯形ABCD中，AB//CD,CD=-AD=^AB=2,O是梯形ABCD的

外接圓的圓心，M是邊BC上的中點，則幾?京的值為

三、解答題:本大題共6個小題，共70分,解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.

17.（10分）復數(shù)z滿足|z|=&,z2為純虛數(shù)，若復數(shù)z在復平面內所對應的點在第一象限.

（1）求復數(shù)z；

（2）復數(shù)z,z,z2所對應的向量為b,c,已知（江+b）±（Ab+c）,求人的值.

第4頁共28頁

18.（12分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+=b,

（1）求角A;

（2）若△A8C的面積為—,求△ABC的周長.

第5頁共28頁

19.(12分)黃岡市一中學高一年級統(tǒng)計學生本學期20次數(shù)學周測成績(滿分150),抽取

了甲乙兩位同學的20次成績記錄如下：

甲：92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,

132,134,136,142,141

乙：102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,

138,139,142,145,150

(1)根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學成績的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學的成績

誰更好？

(2)將同學乙的成績分成[100,110),[。0,130)[130,140)[140,150],完成下列頻

率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意取出2個成績，求取出的2個成績

不是同一個人的且沒有滿分的概率.

分組頻數(shù)頻率

[100,110)

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

合計201

第6頁共28頁

20.(12分)如圖，已知在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是梯形，BC//ADS.BC=2AD,

平面以C_L平面ABC。，PA=PC,PA±AB.

(1)證明：ABLPC；

(2)若刑_LPC,PB=2PC=4,求四棱錐P-ABC。的體積.

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21.(12分)如圖，四邊形ABCD中，ZBAC=9Q°，ZABC=60°,AD±CD,設/AC。

=0.

(1)若AABC面積是△AC。面積的4倍，求sin20；

1

(2)若tanNADB=求tan0.

第8頁共28頁

22.(12分)如圖①梯形ABC。中AO〃BC,AB=V3,BC=\,CD=V2,BELAD<BE

=1,將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面A3EL平面BCDE,CE與2。相交于0,點尸

在AB上，AAP=2PB,R是CD的中點，過O,P,R三點的平面交AC于Q.

(1)證明：。是AC的中點;

(2)證明：平面BEQ；

(3)M是上一點，已知二面角M-EC-B為45°,求——的值.

AB

①②

第9頁共28頁

第10頁共28頁

2020-2021學年湖北省黃岡市高一下期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題:本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將答案涂在答題卡上.

1.（5分）已知z?為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（3+i）=2-i,則下列說法正確的是（）

A.復數(shù)z的模為V旨2

B.復數(shù)z的共軌復數(shù)為一3+、

C.復數(shù)z的虛部為［i

D.復數(shù)z在復平面內對應的點在第二象限

【解答】解：復數(shù)z滿足z（3+i）=2-i,整理得：z=|^=《二鬻-2=，/

對于A：|z|=J（｝2+（_》2=:，故A正確；

11

對于3：復數(shù)Z的共輾復數(shù)為-+-i,故2錯誤；

22

對于C：復數(shù)z的虛部為/故C錯誤；

對于D復數(shù)z在復平面內對應的點在第四象限，故。錯誤.

故選：A.

2.（5分）在△ABC中，a=15,6=10,A=45°,則cosB=（）

V2_V2?V7次

AA.—B.—-C.—D.—

3333

【解答】解：根據(jù)正弦定理可得：sinB=噌="筆空=,，

Va=15>Z?=10,

由大邊對大角可得：0<8<A=45°,

cosB=V1-sin2B=鼻.

故選：C.

3.（5分）不同的直線m和n,不同的平面a,0,丫，下列條件中能推出a〃0的是（）

A.aGy=〃,pAy=m,n//mB.a±y,p±y

C.n//m,〃_La,mXpD.n//a,m//P，n//m

【解答】解：由不同的直線相和〃，不同的平面a,P，Y，知:

第11頁共28頁

若我門丫=〃，廿1~1丫=加，n//m,則a與。相交或平行，故A不正確；

若a_Ly,P±y,則a與0相交或平行，故3不正確；

若n〃m,n±a,m±p,則由平面平行的判定定理知a〃0,故C正確；

若"〃a,m//^,n//m,則a與0相交或平行，故。不正確.

故選：C.

4.（5分）若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為1,當該圓錐體

積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）

A.2B.4C.V3D.2V3

【解答】解：如圖，圓錐的軸截面為等腰△SAB,且內切圓為球的大圓.設圓錐底面圓周

的半徑為廣，高為九球的半徑為R,R=L

則由條件有1-兀/％=2?4-兀R3,整理得分=8①

33

1______________1

在△&4B中，SA=SB=7T2+屈,所以］?（或2+八2+由7+序+2y）?1=--/i-2r

②，

聯(lián)立①②，解得h=4.

故選：B.

5.（5分）一個正方體有一個面為紅色，兩個面為綠色，三個面為黃色，另一個正方體有兩

個面為紅色，兩個面為綠色，兩個面為黃色，同時擲這兩個正方體，兩個正方體朝上的

面顏色不同的概率為（）

第12頁共28頁

152

--C-

A.3B.63

Ill

【解答】解：第一個正方體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為:，第二個正方

632

111

體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為-，-，-，

333

1111111

,兩個正方體朝上的面顏色相同的概率為-x-+-x-+-x-=-,

6333233

兩個正方體朝上的面顏色不同的概率為1-寺=名

故選：C.

6.（5分）如圖，正三棱錐A-20）中，NA4D=20°,側棱長為2,過點C的平面與側棱

AB.AD相交于3、Di，則△CBiDi的周長的最小值為（）

A.2V2B.2V3C.4D.2

【解答】解：把正三棱錐A-BCO的側面展開，

兩點間的連接線CC即是截面周長的最小值.

正三棱錐A-BCD中，ZBAD=20°,所以，ZCAC'=60°,AC=2,

：.CC'=2,

...截面周長最小值是CC'=2.

故選：D.

7.（5分）如圖所示，△ABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60°，。是2C的中點，BE=2EA,

則元）-DE=（）

第13頁共28頁

c

->—>

【解答】解：:△ABC中，4B=3,AC=2,ZBAC=60°,。是BC的中點，BE=2EA,

->TT[TT1Tl.T一1一->

：.AD^DE=^AB+ACnAE-AD)=^AB+AC^-AB--(AB+AC))=^AB+AC)

22322

1~>1-?1->-1->-1->―>-j111

,(一gAB—2)=—j-2AB?—^AC2—,AC=—X3?—]X2——wX3X2x,=

11

一甲

故選：B.

8.(5分)歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設和公理作為全書推理的出發(fā)點.其

中第I命題47是著名的畢達哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路：如圖，

Rt/XABC中，ZBAC=90°,四邊形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN_LDE于點

N,交BC于點M.先證明AABE與△HBC全等，繼而得到矩形BENM與正方形

面積相等；同理可得到矩形CZJNM與正方形ACPG面積相等；進一步推理得證.在該圖

1

中，若tcm/BAE=2，則sinNBEA=()

Vio

D.

io

【解答】解：設42=左，AC=m,BC=n,可得M+%2=〃2,

,JBH//CL,

ZBHC=ZHCL,

又LABE咨△HBC,

第14頁共28頁

可得/B〃C=ZBAE,

：./HCL=ZBAE,

tanZ.HCL=彳

rk1

即訴=?

??ITIk,

.*.n=V2/c,

11

在△ABE中,tanZ.BAE=q,^sinZ-BAE=奔,

ABBE

在△ABE中,

sinZ.BEAsin乙BAE'

kn『/io

即--------—,可得sinNBE/=-

sinZ-BEAJo-

故選：D.

二、多項選擇題.本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）下列各組向量中，可以作為基底的是（）

3

A.之2=0)

61=2

—?—?

B.0(0,0),e2=(1,-2)

—>—>

C.q=(1,3),e2=(-2,-6)

D.5),(5,3)

e2=

【解答】解:VOX0#2x,：.er與居不共線，正確,

與屆共線，???3錯誤，

VOX(-2)=0X1,：.er

第15頁共28頁

V1X（-6）=3X（-2）,Ael與房共線，；.C錯誤，

V3X3^5X5,：.ex與居不共線，.?.￡）正確，

故選：AD.

（多選）10.（5分）下列關于復數(shù)z的四個命題中假命題為（）

A.若z+2=0,則z為純虛數(shù)

B.若|Z1|=|Z2|,則Z1=±Z2

C.若Iz-i|=l,則|z|的最大值為2

D.若/-1=0,貝!Jz=1

【解答】解：選項A：設z=a+6i,（a,b為實數(shù)），因為2=a-bi,所以z+2=2a=0,

則a=0,所以z=bi,因為b可能為0,故A錯誤，

選項8：當zi=l+i,Z2=l-i時，|zi|=|z2|,故2錯誤，

選項C：當時，復數(shù)z對應的點在以（0,1）為圓心，1為半徑的圓上，故團的

最大值為1+1=2,故C正確，

選項D：當2=—去+5i時，z3=l,故￡＞錯誤，

故選：ABD.

（多選）11.（5分）如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，CCi_L底面ABC,ACLCB,點D是

上的動點，則下列結論正確的是（）

A.BC±ACi

B.當。為AB的中點時，平面平面AAiBiB

C.當。為中點時，ACi〃平面CDBi

D.三棱錐4-CDSi的體積是定值

【解答】解：對于A,?.?在三棱柱A2C-4&C1中，CCi，底面ABC,

：.BC±CC1,y.AC±CB,CC1ACA=C,CQu平面ACC14，CBu平面ACCiAi，：.BC

第16頁共28頁

_L平面ACCiAi,又ACiu平面AC,J.BCLACi，故A正確；

對于8,:在三棱柱ABC-AiBCi中，CCi_L底面ABC,

：.AAi±CD,.?.當O）_LA2時，由AAi,AB是平面中的相交線，得到。。_1平

面441囪8,平面CZ）Bi_L平面此時。不一定為中點，故B錯誤；

對于C,^BCiHBiC=O,則。是BCi中點，連結0D則。是中點時，OD"XC\,

；ACiC平面CDBi，ODu平面CDBi，；.ACi〃平面CDBi,故C正確；

對于D,.?△4B1C的面積是定值，AB//AiBi，ABC平面A1B1C,43u平面4SC,

...AB〃平面AiBiC,：.D到平面AiBiC的距離是定值，，三棱錐Ai-CDBi的體積是定

值，故。正確.

故選：ACD.

（多選）12.（5分）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法中

正確的是（）

A.c=acosB+bcosA

B.若〃cosA=Z?cosB,則△ABC為等腰三角形

C.若?2tanB=/?2tanA，則a—b

D.若。3+/=°3,則△Age為銳角三角形

【解答】解：對A：VsinC=sin(A+8)=sinAcosB+sinBcosA,c=acosB+bcosA,所以

A正確；

對B：VacosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin25,

「△ABC的內角A,B,C,...ZAnZB或2A+22=p即A=B或A+2=S，故三角形可能

是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

,。。，一、、，「。osin2AsinB

對C：:crtmB=Z?2tanA,???由正弦定理得：sin2AtanB=sin2BtanA，得：---------=

sin2BsinA

cosA

第"頁共28頁

整理得：sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,A=B或A+B=與故C錯誤；

對D：由題意知：a、b、c中c是最大的正數(shù)，...由（?+63=03變形得：（巴）3+（2）3=1

cc

＜（-）2+（-）2,；./+房＞c2,，c為銳角，又知C為最大角，.?.△ABC為銳角三角

CC

形，故。正確；

故選：AD.

三、填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）

13.（5分）一個口袋中裝有2個紅球，3個綠球，采用不放回的方式從中依次取出2個球,

則第一次取到綠球第二次取到紅球的概率為0.3.

【解答】解：由題意可得，樣本空間的總數(shù)為5X4=20,

第一次取到綠球第二次取到紅球的樣本數(shù)為3X2=6,

故所求的概率尸=余=0.3.

故答案為：0.3.

14.（5分）在△ABC中，。是BC的中點，AB=\,AC=2,AD=^~,則△ABC的面積為

V3

2-,

【解答】解：是BC中點，且AB=1,AC=2,AD],

T1TT71T—31——

：.AD==：CAB+AC）,貝！MU（AB+ac）2,gp___（1+4+2AB-AC）,

z444

—>—>

：.AB-AC=-1,

—>—>

AB-AC_-11

cosNBAC=f

\AB\-\AC\1XZ2

sinNBAC=

.,.SAABC=^AB*ACsmZBAC=；xlx2x^=

故答案為：—.

2

15.（5分）如圖，正方體A2CZ）-4BiCiDi中，。是AC的中點，直線以。與平面ACS

2V2

所成角的正弦值為

-3-

第18頁共28頁

【解答】解：以A3、AD,A4i所在的直線分別為x,?z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標系,

不妨設正方體ABCD-AISCLDI的邊長為1,

則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),

11T1

C(l,1,0),Bl(1,0,1),Cl(1,1,1),D1(0,1,1),0(-,0),所以/。=(一力

1

一，~1),

2

AC=(LL0),ADr=(0,L1).

設平面AC》的一個法向量為￡=(%,y,z),則

，空=°,即令尸7,則x=l=z,則￡=(1,-1,1).

丘.他=0U+z_u

二日—Bi。,幾_-212_1_-2_-2>f2

于ZE,COSVB\O,71>=—-=-F=----=3=—5—，

\BrO\\n\JjxV375

——2萬

所以sin8=|cos<Bi。，n>\=.

其中。為直線BiO與平面ACDi所成角.

第19頁共28頁

所以直線310與平面ACDi所成角的正弦值為亍.

、2V2

故答案為：—.

11

16.（5分）如圖等腰梯形ABCD中，AB//CD,CD=-AD=^AB=2,O是梯形ABCD的

外接圓的圓心，M是邊BC上的中點，則）?薪的值為16.

【解答】解：設俞=2SC（0<A<1）,

是邊BC上的中點,

A=訝，

則AM=AB+BM=AB+ABC,

T->TT-?->71T——2T

又?：BC=AC-AB=AD+DC-AB=AD+^AB-AB=AD-^AB,

：.AM=AB+A(AD-|AB)=AAD+(1

：O是△ABC的外心，

-AB=^AB2=18A0-AD=^AD2=8,

T—>—>—nT

：.A0-AM=AO-[AAD4-(1-竽)43]

=AAO,AD+(1—^~^A0,AB=8A+18(1—=18—44,4=2，

^AO-AM=16,

故答案為：16.

DC

/^\

AB

第20頁共28頁

三、解答題:本大題共6個小題，共70分,解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.

17.(10分)復數(shù)z滿足團=疙，z2為純虛數(shù)，若復數(shù)z在復平面內所對應的點在第一象限.

(1)求復數(shù)z；

(2)復數(shù)z,z,z?所對應的向量為q,b,c,已知(入a+b)_L(入b+c),求人的值.

【解答】解：(1)設z=〃+4(〃>0,匕>0),

則|z|=Va2+b2=V2,即〃2+。2=2,①

*.*z2=?2-b2+2abi為純虛數(shù)，，次-廿=0且2ab￥3②

由①②解得。=1，b=l,

??z=1+z；

(2)9：z=l+i

.*.z=1—i,/=2}

TTT

.?.a=(L1)/b=(1/-1),c=(0/2),

.',a'b—0/a-c=2,b?c=-2,b2=2,

.T——T/d—T—T

由(4a+b)_L(4b+c),+b),(4b+c)=0,

TTTTTTT

即22a.b+AQ?c+Ab2+/)?c=0,

???4入-2=0,得;1=；.

18.(12分)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+和=b,

(1)求角A;

(2)若a=V7,△ABC的面積為---，求△ABC的周長.

2

【解答】解：⑴acosC+|c=h,

一i

由正弦定理得sinAcosCH-^sinC=sinB,

又?.,sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

1

sinC=cosAsinC,

2

VsinOO,

.._1

??cosA—

第21頁共28頁

(2)由余弦定理得：7=/?2+C2-2Z?ccos60°BPZ?2+c2-bc—1,

(b+c)2-3bc=l,

RABC—'bcsiTiZl—be-—~,

??bc'=~6,

：.(6+c)2-18=7,

b+c=5,

：.AABC的周長為5+V7.

19.(12分)黃岡市一中學高一年級統(tǒng)計學生本學期20次數(shù)學周測成績(滿分150),抽取

了甲乙兩位同學的20次成績記錄如下：

甲：92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,

132,134,136,142,141

乙：102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,

138,139,142,145,150

(1)根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學成績的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學的成績

誰更好？

(2)將同學乙的成績分成[100,110),[。0,130)[130,140)[140,150],完成下列頻

率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意取出2個成績，求取出的2個成績

不是同一個人的且沒有滿分的概率.

分組頻數(shù)頻率

[100,110)

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

合計201

第22頁共28頁

117+121

【解答】解：(1)甲的中位數(shù)是=119,

2

128+128

乙的中位數(shù)是=128>119,

2

，乙的成績更好.

(2)完成頻率分布表如下:

分組頻數(shù)頻率

[100,110)20.1

[110,120)40.2

[120,130)50.25

[130,140)60.3

[140,150]30.15

合計201

乙的頻率分布直方圖如下圖所示:

第23頁共28頁

（3）甲乙兩位同學的不低于140（分）的成績共5個，甲兩個成績記作4、A2,

乙3個成績記作由、歷、B3（其中&表示150分），

任意選出2個成績所有的取法為：

（Ai，42），（4，Bi）,（4，歷），（Ai，2?3）,（A2，Bi）,（A2，歷），

（A2,B3）,（Bi，B2）,（Bi，B3），（B2,B3）,共10種取法,

其中兩個成績不是同一個人的且沒有滿分的是：

（Ai，Bi）,（Ai，4），（A2,BD,（42,BG,共4種取法，

取出的2個成績不是同一個人的且沒有滿分的概率尸=條=|?

20.（12分）如圖，已知在四棱錐尸-ABCD中，底面A2CD是梯形，BC//ADBC=2AD,

平面必C_L平面ABC。，PA=PC,PA±AB.

（1）證明：AB±PC；

（2）若E4_LPC,PB=2PC=4,求四棱錐P-ABC。的體積.

【解答】（1）證明：取AC的中點O,連接PO,如圖所示;

因為AP=PC,所以POL4C,

又因為平面B4C_L平面ABCD,所以尸O_L平面ABCD

又因為ABu平面ABCD,所以尸O_L4B；……①

第24頁共28頁

又因為ABLM……②

由①②可得AB_L平面B4C,所以AB_LPC.

(2)解：因為尸8=2PC=4,所以R1=PC=2,

XABXB4,所以A32=PB2-必2,所以28=2百；

又因為B4_LPC,PA=PC=2,所以4C=2&,PO=V2；

由(1)知AB_L平面E4C,所以AB_LAC,

所以S"BC=\AB-/IC=jx2V3x2V2=2V6；

114

所以

--%p。--X-

ABc3ABc33V3.

又因為BC〃A。，BC=2AD,所以SAABC=2SAACD，

所以嚷及^TCD=2V三棱錐p—ABC=3^;

所以四棱錐P-ABCD的體積是

V四棱腳—ABCD=V三棱御-ABC+V三棱錐p_ACD=3+3~2百.

另解：因為44^=348?4。=/*2百義2&=2①，

所以S"DC=V6,所以S破彩4BC0=3*）,

計算四棱錐P-ABCD的體積是喝麒PYBCD=jX3V6XV2=2A/3.

21.(12分)如圖，四邊形ABCD中，ZBAC=90°,ZABC=60°,ADLCD,設/AC。

=0.

(1)若△ABC面積是△AC。面積的4倍，求sin2。；