北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某象棋俱樂(lè)部有隊(duì)員5人，其中女隊(duì)員2人，現(xiàn)隨機(jī)選派2人參加一個(gè)象棋比賽，則選出的2人中恰有1人是女隊(duì)員的概率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖像與函數(shù)，的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．4．一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.755．設(shè)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．6．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．7．已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，直線(xiàn)與圓:交于兩點(diǎn)，且.記，其前項(xiàng)和為，若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A． B． C． D．9．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．10．設(shè)為正數(shù)，為的等差中項(xiàng)，為的等比中項(xiàng)，則與的大小關(guān)為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.12．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長(zhǎng)為_(kāi)__．13．在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形，其中PA=PB=14．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________．15．設(shè)，用，表示所有形如的正整數(shù)集合，其中且，為集合中的所有元素之和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)______16．把“五進(jìn)制”數(shù)轉(zhuǎn)化為“十進(jìn)制”數(shù)是_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求.18．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線(xiàn)段BC，PB，AD的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線(xiàn)段BD上找一點(diǎn)H，使得FH∥平面PCG，并說(shuō)明理由．19．三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是，且滿(mǎn)足．（1）求角的大??；（2）若，，求．20．已知為第三象限角，．(1)化簡(jiǎn)(2)若，求的值21．已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別是240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)。（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”發(fā)生的概率。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

直接利用概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.2、A【解析】

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】可得兩函數(shù)圖象如下圖所示：兩函數(shù)共有個(gè)交點(diǎn)本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩函數(shù)的解析式，通過(guò)平移和翻折變換等知識(shí)得到函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式得到結(jié)果.3、B【解析】

根據(jù)求出的范圍，再由區(qū)間長(zhǎng)度比即可得出結(jié)果.【詳解】區(qū)間的長(zhǎng)度為；由，解得，即，區(qū)間長(zhǎng)度為，事件“”發(fā)生的概率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录鶕?jù)互斥事件的和即可求解.【詳解】因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录?，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.5、A【解析】

.故選A.6、C【解析】

先求出直線(xiàn)的斜率，再求出所求直線(xiàn)的斜率，再利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】由題得直線(xiàn)的斜率為，所以所求的直線(xiàn)的斜率為，所以所求的直線(xiàn)方程為即.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查互相垂直直線(xiàn)的性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用橢圓的性質(zhì)列出不等式求解即可．【詳解】方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得，解得1＜m．則m的取值范圍為：（1，）．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．8、D【解析】

根據(jù)題意，先求出弦長(zhǎng)，再表示出，得到，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再表示出，用錯(cuò)位相減求和求出，再求解即可.【詳解】根據(jù)題意，圓的半徑，圓心到直線(xiàn)的距離，所以弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，，所以，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以，，，所以，由有解，，只需大于的最小值即可，因?yàn)?，所以，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的弦長(zhǎng)、由和求數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位相減求數(shù)列的和和解不等式有解的情況，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題.9、A【解析】

根據(jù)題意，先求出直線(xiàn)PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線(xiàn)方程為，即.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查求弦所在直線(xiàn)方程，熟記直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】

由等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的運(yùn)算可得，，再結(jié)合即可得解.【詳解】解：因?yàn)闉檎龜?shù)，為的等差中項(xiàng)，為的等比中項(xiàng)，則，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了重要不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

兩圓方程相減求出公共弦所在直線(xiàn)的解析式，求出第一個(gè)圓心到直線(xiàn)的距離，再由第一個(gè)圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長(zhǎng)．【詳解】圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心，半徑r為2，且圓心到直線(xiàn)的距離，則公共弦長(zhǎng)為．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線(xiàn)方程是解本題的關(guān)鍵．13、65π【解析】

本題首先可以通過(guò)題意畫(huà)出圖像，然后通過(guò)三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來(lái)確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿(mǎn)足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，作AB中點(diǎn)D，連接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，過(guò)點(diǎn)E作平面ABC的垂線(xiàn)，在垂線(xiàn)上取一點(diǎn)O，使得PO=OC。因?yàn)槿忮F底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為23的等邊三角形，E所以三棱錐的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)E的平面ABC的垂線(xiàn)上，因?yàn)镻O=OC，P、C兩點(diǎn)在三棱錐的外接球的球面上，所以O(shè)點(diǎn)即為球心，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，PA=PB，D為AB中點(diǎn)，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P設(shè)球的半徑為r，則有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面積為S=4πr【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過(guò)三棱錐的幾何特征來(lái)確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。14、6【解析】

由題得x=7，再利用中位數(shù)的公式求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是7，所以，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．故答案為6【點(diǎn)睛】本題主要考查眾數(shù)的概念和中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

把集合中每個(gè)數(shù)都表示為2的0到的指數(shù)冪相加的形式，并確定，，，，每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)次，于是利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題意可知，，，，是0，1，2，，的一個(gè)排列，且集合中共有個(gè)數(shù)，若把集合中每個(gè)數(shù)表示為的形式，則，，，，每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)次，因此，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)列新定義為問(wèn)題背景，考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的理解能力與計(jì)算能力，屬于中等題．16、194【解析】由.故答案為：194.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）利用即可求出答案；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案．【詳解】解：（1）∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，；（2）∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列已知求，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．18、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設(shè)AE，GC與BD分別交于M，N兩點(diǎn)，證明N點(diǎn)為所找的H點(diǎn)．【詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點(diǎn)，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明：∵E、G分別是BC、AD中點(diǎn)，∴AE∥CG，∵AE?平面PCG，CG?平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC?平面PCG，EF?平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E點(diǎn)，AE，EF?平面AEF，∴平面AEF∥平面PCG．（3）設(shè)AE，GC與BD分別交于M，N兩點(diǎn)，易知F，N分別是BP，BM中點(diǎn)，∴，∵PM?平面PGC，F(xiàn)N?平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N點(diǎn)為所找的H點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間平行位置關(guān)系的證明，考查立體幾何的探究性問(wèn)題的解決，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、⑴(2)【解析】

⑴由正弦定理及，得，因?yàn)椋?；⑵由余弦定理，解得【詳解】⑴由正弦定理得，由已知得，，因?yàn)椋寓朴捎嘞叶ɡ?，得即，解得或，?fù)值舍去，所以【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，常要求正確選擇正弦定理或余弦定理對(duì)三角形中的邊、角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行求解，同時(shí)注意三角形當(dāng)中的邊角關(guān)系，如內(nèi)角和為180度等20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】利用指數(shù)運(yùn)算、指對(duì)互化、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解試題分析：（1）（2）由，得．又已知為第三象限角，所以，所以，所以=………………10分考點(diǎn)：本題主要考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符號(hào)的判定．點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符好的判定方法．誘導(dǎo)公式的記憶應(yīng)結(jié)合圖形記憶較好，難度一般．21、(1)應(yīng)分別從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)分別抽取3人，2人，2人(2)P【解析】

（1）由分層抽樣的性質(zhì)可得甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2，可得抽取7名同學(xué)，應(yīng)分別從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名的所有可能結(jié)果為21種，其中2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為5種，可得答案.【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2因?yàn)椴扇》謱映闃拥姆椒ǔ槿?名同學(xué)，所以應(yīng)分別從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名的所有可能結(jié)果為：ABACADAEAFAG