《3.4圓錐曲線的綜合問題》同步練習及答案

《3.4圓錐曲線的綜合問題》同步練習一、單選題1．若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則()A．2 B．4 C．8 D．162．拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則的值為()A． B． C． D．3．橢圓與雙曲線有公共點P，則P與雙曲線兩焦點連線構成三角形的面積為()A．48 B．24 C．2 D．4．若，則方程與所表示的曲線可能是圖中的（）A． B．C． D．5．以拋物線的焦點為圓心，為半徑的圓，與直線相切，則（）A．或 B．或 C．或 D．-3或6．已知方程的曲線為C，下面四個命題中正確的個數(shù)是①當時，曲線C不一定是橢圓；②當時，曲線C一定是雙曲線；③若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則；④若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則.A．1 B．2 C．3 D．47．已知拋物線的準線被雙曲線截得的弦長為6，則該拋物線的焦點坐標是()A． B． C． D．8．已知拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點若雙曲線的離心率是，那么（）A． B． C． D．9．設橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的一個公共點,則的值等于A． B．C． D．10．如圖，點是拋物線的焦點，點,分別在拋物線和圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是()A． B． C． D．二、多選題11．若方程所表示的曲線為，則下面四個選項中錯誤的是（）A．若為橢圓，則 B．若是雙曲線，則其離心率有C．若為雙曲線，則或 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則12．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結論正確的是（）A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率C．橢圓上不存在點使得 D．雙曲線上存在點使得13．已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，過點的直線與拋物線交于，兩點，為線段的中點，為坐標原點，則下列結論正確的是（）A．的準線方程為 B．線段的長度最小為4C．的坐標可能為 D．恒成立三、填空題14．設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程是___________．15．若直線與拋物線只有一個交點，則實數(shù)的值為______16．過橢圓內(nèi)一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是__________17．已知直線，橢圓，點，若直線和橢圓有兩個不同交點，則周長是_____，的重心縱坐標的最大值是______四、解答題18．已知橢圓過點且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點，試探究是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由．20．已知拋物線.（1）若是拋物線上任一點，，求點到和軸距離之和的最小值；（2）若的三個頂點都在拋物線上，其重心恰好為的焦點，求三邊所在直線的斜率的倒數(shù)之和.21.已知橢圓經(jīng)過點，，點是橢圓的下項點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點，已知，求直線的斜率.22．已知拋物線：的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，弦的中點的橫坐標為，.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若直線的傾斜角為銳角，求與直線平行且與拋物線相切的直線方程.23.已知點在拋物線上，且點的縱坐標為1，點到拋物線焦點的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線的準線與軸的交點為，過拋物線焦點的直線與拋物線交于，，且，求的值.答案解析一、單選題1．若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則()A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】拋物線的焦點是，雙曲線的一個焦點是，由條件得解得.故選：D.2．拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準線為，雙曲線的兩條漸近線為，可得兩交點為，即有三角形的面積為，解得，故選A．3．橢圓與雙曲線有公共點P，則P與雙曲線兩焦點連線構成三角形的面積為()A．48 B．24 C．2 D．【答案】B【解析】結合橢圓性質(zhì),可以得到建立方程,得到點P的坐標為,故,故選B.4．若，則方程與所表示的曲線可能是圖中的（）A． B．C． D．【答案】C【解析】即為直線，即為曲線，.對于A選項，由直線方程可知，，，則曲線，表示圓或橢圓，A選項錯誤；對于B選項，由直線方程可知，，，則曲線，不存在，B選項錯誤；對于C選項，由直線方程可知，，，則曲線，表示焦點在軸上的雙曲線，C選項正確；對于D選項，由直線方程可知，，，則曲線，表示焦點在軸上的雙曲線，D選項錯誤.故選：C.5．以拋物線的焦點為圓心，為半徑的圓，與直線相切，則（）A．或 B．或 C．或 D．-3或【答案】C【解析】拋物線的焦點為,以拋物線的焦點為圓心,為半徑的圓可得:圓心為,半徑，由直線與圓相切,可得:圓心到直線的距離,解得或.故選:.6．已知方程的曲線為C，下面四個命題中正確的個數(shù)是①當時，曲線C不一定是橢圓；②當時，曲線C一定是雙曲線；③若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則；④若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】對于①，當時，曲線表示為圓，所以不一定是橢圓，所以①正確對于②，當時表示焦點在y軸上的雙曲線，當曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，所以一定是雙曲線，所以②正確對于③若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則，解得，所以③正確對于④若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，解得，所以④正確綜上，四個選項都正確所以選D7．已知拋物線的準線被雙曲線截得的弦長為6，則該拋物線的焦點坐標是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為拋物線的準線被雙曲線截得的弦長為6所以該準線與雙曲線的一個交點坐標表示為，代入雙曲線中得，所以焦點坐標為故選：D8．已知拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點若雙曲線的離心率是，那么（）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準線.，，因此雙曲線的漸近線方程為：，雙曲線的一條漸近線方程與拋物線準線方程聯(lián)立得：，得根據(jù)雙曲線的對稱性可知：故選：A9．設橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的一個公共點,則的值等于A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），解方程組，得．取P點坐標為，，，cos∠F1PF2==．故選A．10．如圖，點是拋物線的焦點，點,分別在拋物線和圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線x2＝4y的焦點為（0，1），準線方程為y＝﹣1，圓（y﹣1）2+x2＝4的圓心為（0，1），與拋物線的焦點重合，且半徑r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A+1，|AB|＝y(tǒng)B﹣yA，∴三角形ABF的周長＝2+yA+1+yB﹣yA＝y(tǒng)B+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周長的取值范圍是（4，6）．故選：B．二、多選題11．若方程所表示的曲線為，則下面四個選項中錯誤的是（）A．若為橢圓，則 B．若是雙曲線，則其離心率有C．若為雙曲線，則或 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則【答案】AD【解析】若，方程即為，它表示圓，A錯；對于選項B，若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；，若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；，，故正確；對于選項C，若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線，故正確；對于選項D，若，則，故方程表示焦點在軸上的橢圓；若，則，故表示焦點在軸上的橢圓，則錯；故選：12．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結論正確的是（）A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率C．橢圓上不存在點使得 D．雙曲線上存在點使得【答案】ABD【解析】如圖，設，則由正六邊形性質(zhì)可得點，由點在橢圓上可得，結合可得，橢圓離心率，當點為橢圓上頂點時，，此時；點在雙曲線的漸近線上可得即,雙曲線的離心率為,當點為雙曲線的頂點時，易知.故選：ABD.13．已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，過點的直線與拋物線交于，兩點，為線段的中點，為坐標原點，則下列結論正確的是（）A．的準線方程為 B．線段的長度最小為4C．的坐標可能為 D．恒成立【答案】BCD【解析】焦點到準線的距離即為，所以拋物線的焦點為，準線方程為，A項錯誤.當垂直于軸時長度最小，此時，，所以，B項正確.設，，直線的方程為.聯(lián)立，消去可得，消去可得，所以，，當時，可得，所以C正確，又，，所以，所以D正確.故選：BCD三、填空題14．設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程是___________．【答案】【解析】拋物線的焦點為在軸上,故雙曲線,又,故.故雙曲線的方程為.故答案為：15．若直線與拋物線只有一個交點，則實數(shù)的值為______【答案】0或【解析】聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，①若，則，滿足題意；②若，則，解得.綜上所述，0或.故答案為：0或16．過橢圓內(nèi)一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是_____________【答案】【解析】由題意知，該直線斜率存在，設直線與橢圓交于兩點，斜率為，則，兩式相減得，即，所以，所以所求直線方程為，即.故答案為：.17．已知直線，橢圓，點，若直線和橢圓有兩個不同交點，則周長是___________，的重心縱坐標的最大值是___________【答案】【解析】由題意知，可知恒過定點，此點為橢圓的左焦點，記為.則.所以的周長為.設設的重心縱坐標為.則.聯(lián)立直線與橢圓方程得，整理得.則，所以.當時，，當且僅當，即時，等號成立，此時；當時，，當且僅當，即時，等號成立，此時.綜上所述：.所以的重心縱坐標的最大值是.故答案為:;.四、解答題18．已知橢圓過點且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在這樣的直線，直線方程為：.【解析】（1）由已知點代入橢圓方程得由得可轉(zhuǎn)化為由以上兩式解得所以橢圓C的方程為：.（2）存在這樣的直線.當l的斜率不存在時，顯然不滿足,所以設所求直線方程代入橢圓方程化簡得：①.②,設所求直線與橢圓相交兩點由已知條件可得,③綜合上述①②③式子可解得符合題意,所以所求直線方程為：.19．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點，試探究是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由．【答案】（1）（2）是定值，7【解析】（1）由離心率，得a∶b∶c＝2∶∶1，則可設橢圓C的方程為，由點在橢圓C上，得，即c2＝1，所以橢圓C的方程為（2）設直線l的方程為y＝x＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以OA2＋OB2＝＋3－+＋3－＝(＋)＋6.由消去y得3x2＋2nx＋2n2－6＝0.當Δ＞0時，x1＋x2＝－n，x1x2＝，從而＝4，所以OA2＋OB2＝7，為定值．20．已知拋物線.（1）若是拋物線上任一點，，求點到和軸距離之和的最小值；（2）若的三個頂點都在拋物線上，其重心恰好為的焦點，求三邊所在直線的斜率的倒數(shù)之和.【答案】（1）（2）0【解析】（1）由拋物線定義可知：到和軸距離之和，當三點共線時，取最小值.（2）設，，，∵∴.又，同理：，∴21.已知橢圓經(jīng)過點，，點是橢圓的下項點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點，已知，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意知，直線，的斜率存在且不為零，設直線，與直線聯(lián)立方程有，得.設直線，同理，因為，所以，①無實數(shù)解；②，解得，綜上可得，直線的斜率為.22．已知拋物線：的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，弦的中點的橫坐標為，.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若直線的傾斜角為銳角，求與直線平行且與拋物線相切的直線方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）設，，因為的中點的橫坐標為，所以.根據(jù)拋物線定義知.所以