江蘇省無錫市江陰市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

江蘇省無錫市江陰市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)直線l與平面平行，直線m在平面上，那么（）A．直線l不平行于直線m B．直線l與直線m異面C．直線l與直線m沒有公共點(diǎn) D．直線l與直線m不垂直2．設(shè)，則下列不等式恒成立的是A． B．C． D．3．有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是-1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，，且，則有窮數(shù)列中值為0的項(xiàng)數(shù)是（）A．1000 B．1010 C．1015 D．10304．已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且，若向量滿足，則的最大值是（）A．1 B． C．3 D．5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．已知，，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．設(shè)，是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為，的周期為，且是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，其中．若在區(qū)間上，函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知一個(gè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其偶數(shù)項(xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，則這個(gè)數(shù)列的公比為（）A．2 B．3 C．4 D．69．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；1310．設(shè)為正數(shù)，為的等差中項(xiàng)，為的等比中項(xiàng)，則與的大小關(guān)為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若是等比數(shù)列，，，則________12．設(shè)a＞0，b＞0，若是與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值是__．13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)__________.14．在中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是_____________．①總存在某個(gè)內(nèi)角，使得；②存在某鈍角，有；③若，則的最小角小于．15．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，則__________．16．如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長等于______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量=,=,=,為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若△為直角三角形，且∠為直角，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)、、能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件.18．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值時(shí)的值19．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．21．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，為的中點(diǎn)，且，，.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，求四棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由題設(shè)條件，得到直線與直線異面或平行，進(jìn)而得到答案．【詳解】由題意，因?yàn)橹本€與平面平行，直線在平面上，所以直線與直線異面或平行，即直線與直線沒有公共點(diǎn)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中直線與直線只見那的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，以及直線與平面平行的應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

利用不等式的性質(zhì)，合理推理，即可求解，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以A項(xiàng)不正確；因?yàn)?，所以，，則，所以B不正確；因?yàn)椋瑒t，所以，又因?yàn)?，則，所以等號(hào)不成立，所以C正確；由，所以，所以D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

把（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870展開，將a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡得：＝1005，由于數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，即可得出．【詳解】（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870，展開可得：+2（a1+a2+…+a2015）+2015＝3870，把a(bǔ)1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡可得：＝1005，∵數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，∴有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中值為0的項(xiàng)數(shù)等于2015﹣1005＝1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了乘法公式化簡求值、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4、D【解析】

設(shè)出平面向量的夾角，求出的夾角，最后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡等式，最后利用輔助角公式求出的最大值.【詳解】設(shè)平面向量的夾角為，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，所以平面向量的夾角為，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，所以.，，，其中，顯然當(dāng)時(shí)，有最大值，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)各選項(xiàng)的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A錯(cuò)誤，同時(shí)和一個(gè)平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項(xiàng)D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡單證明，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)向量的平行可得4m＝3m+4，解得即可．【詳解】，，且，則，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行的充要條件，考查了運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)題意可知，函數(shù)和在上的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，作出兩函數(shù)圖象，即可數(shù)形結(jié)合求出．【詳解】作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)和在上的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，故函數(shù)和在上的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，才可以滿足題意．所以，圓心到直線的距離為，解得，因?yàn)閮牲c(diǎn)連線斜率為，所以，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與兩函數(shù)圖象之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題．8、B【解析】

由數(shù)列為等比數(shù)列，則，結(jié)合題意即可得解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等比數(shù)列公比的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與中位數(shù)的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)，所以中間一個(gè)矩形最該，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo)，第一個(gè)矩形的面積為，第二個(gè)矩形的面積為，故將第二個(gè)矩形分成即可，所以中位數(shù)是，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對應(yīng)的概率，且各個(gè)小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.10、B【解析】

由等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的運(yùn)算可得，，再結(jié)合即可得解.【詳解】解：因?yàn)闉檎龜?shù)，為的等差中項(xiàng)，為的等比中項(xiàng)，則，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了重要不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解公比再求和即可.【詳解】設(shè)公比為,則.故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】由已知,是與的等比中項(xiàng)，則則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟練應(yīng)用“乘1法”是解題的關(guān)鍵．13、【解析】

根據(jù)平面向量時(shí)，列方程求出的值．【詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．14、①③【解析】

①中，根據(jù)直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分類討論，得出必要一個(gè)角在內(nèi)，即可判定；②中，利用兩角和的正切公式，化簡得到，根據(jù)鈍角三角形，即可判定；③中，利用向量的運(yùn)算，得到，由于不共線，得到，再由余弦定理，即可判定．【詳解】由題意，對于①中，在中，當(dāng)，則，若為直角三角形，則必有一個(gè)角在內(nèi)；若為銳角三角形，則必有一個(gè)內(nèi)角小于等于；若為鈍角三角形，也必有一個(gè)角小于內(nèi)，所以總存在某個(gè)內(nèi)角，使得，所以是正確的；對于②中，在中，由，可得，由為鈍角三角形，所以，所以，所以不正確；對于③中，若，即,即，由于不共線，所以，即，由余弦定理可得，所以最小角小于，所以是正確的．綜上可得，命題正確的是①③．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題以真假命題為載體，考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用，以及向量的運(yùn)算及應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用解三角形的知識(shí)和向量的運(yùn)算進(jìn)行化簡是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．15、【解析】

設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由得到，再進(jìn)一步分析即得解.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以可得，整理?又，所以，所以，又，所以．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算法則和共線向量，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線，屬于中檔題.16、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出CD的長．【詳解】∵A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中利用，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用向量的運(yùn)算法則求出，，再利用向量垂直的充要條件列出方程求出m；（2）由題意得A，B，C三點(diǎn)不共線，則與不共線，列出關(guān)于m的不等式即可．【詳解】（1）因?yàn)?，=，=，所以，，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點(diǎn)共線、三點(diǎn)不共線等問題，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.【解析】

（1）將代入函數(shù)計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)為，當(dāng)時(shí)取最小值.【詳解】(1)(2)由可得，故函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算，三角函數(shù)的最小值，將三角函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、【解析】

由等比數(shù)列易得公比和，進(jìn)而可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入求和公式計(jì)算可得．【詳解】解：∵等比數(shù)列滿足，，

∴公比，

，

，

∴等差數(shù)列中，

∴公差，

∴數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）【解析】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)椋?，因此，．?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)?，所以，因此．因?yàn)?，所以，因此，．點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.21、（1）見解析（2）6【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可得出平面；（2）過作交于，由平面，得出平面，可