高中數(shù)學(xué)必修二《第六章 平面向量及應(yīng)用》同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修二《第六章平面向量及應(yīng)用》同步練習(xí)《6.1平面向量的概念》同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．下列說法不正確的是()A．向量的模是一個非負(fù)實數(shù)B．任何一個非零向量都可以平行移動C．長度不相等而方向相反的兩個向量一定是共線向量D．兩個有共同起點且共線的向量終點也必相同答案D解析顯然，選項A，B，C說法正確．對于D，由共線向量知，兩個有共同起點且共線的向量其終點不一定相同，故錯誤．故選D.2．若向量a與b不相等，則a與b一定()A．不共線 B．長度不相等C．不可能都是單位向量 D．不可能都是零向量答案D解析因為所有的零向量都是相等的向量．故選D.3．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正確的是()A．①④B．③C．①②③D．②③答案B解析a為任一非零向量，故|a|＞0.故③正確；①②④都錯誤．4．?dāng)?shù)軸上點A，B分別對應(yīng)－1,2，則向量eq\o(AB,\s\up16(→))的長度是()A．－1B．2C．1D．3答案D解析易知|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2－(－1)＝3.5．若|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AD,\s\up16(→))|且eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形答案C解析由eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))知四邊形ABCD為平行四邊形；由|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AD,\s\up16(→))|知四邊形ABCD為菱形．二、填空題6．把同一平面內(nèi)所有模不小于1，不大于2的向量的起點，移到同一點O，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形的面積等于________．答案3π解析這些向量的終點構(gòu)成的圖形是一個圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π.7．設(shè)a0，b0是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.答案③解析因為a0，b0都是單位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.從而|a0|＋|b0|＝2.8．若A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對于B地的位移是________．答案西北方向5eq\r(2)km解析根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，由圖可知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝5eq\r(2)km，且∠ABC＝45°，故C地相對于B地的位移是西北方向5eq\r(2)km.三、解答題9．如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(5).(1)畫出所有的向量eq\o(AC,\s\up16(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up16(→))|的最大值與最小值．解(1)畫出所有的向量eq\o(AC,\s\up16(→))，如圖所示．(2)由(1)所畫的圖知，①當(dāng)點C位于點C1或C2時，|eq\o(BC,\s\up16(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②當(dāng)點C位于點C5或C6時，|eq\o(BC,\s\up16(→))|取得最大值eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴|eq\o(BC,\s\up16(→))|的最大值為eq\r(41)，最小值為eq\r(5).能力提升訓(xùn)練1．在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分別為AB和CD的中點，在以A，B，C，D，M，N為起點和終點的所有向量中，回答下列問題：(1)與向量eq\o(AD,\s\up16(→))相等的向量有____________，向量eq\o(AD,\s\up16(→))的相反向量有____________；(2)與向量eq\o(AM,\s\up16(→))相等的向量有____________，向量eq\o(AM,\s\up16(→))的相反向量有____________；(3)在模為eq\r(2)的向量中，相等的向量有________對；(4)在模為1的向量中，相等的向量有________對．答案(1)eq\o(MN,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(NM,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))(2)eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(DN,\s\up16(→))，eq\o(NC,\s\up16(→))eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(ND,\s\up16(→))，eq\o(CN,\s\up16(→))(3)4(4)18解析(1)與eq\o(AD,\s\up16(→))相等的向量有：eq\o(MN,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))；與向量eq\o(AD,\s\up16(→))相反的向量有：eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(NM,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→)).(2)與eq\o(AM,\s\up16(→))相等的向量有：eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(DN,\s\up16(→))，eq\o(NC,\s\up16(→))；與向量eq\o(AM,\s\up16(→))相反的向量有：eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(ND,\s\up16(→))，eq\o(CN,\s\up16(→)).(3)在模為eq\r(2)的向量中，相等的向量有：eq\o(AN,\s\up16(→))與eq\o(MC,\s\up16(→))，eq\o(DM,\s\up16(→))與eq\o(NB,\s\up16(→))，eq\o(NA,\s\up16(→))與eq\o(CM,\s\up16(→))，eq\o(MD,\s\up16(→))與eq\o(BN,\s\up16(→))，共4對．(4)在模為1的向量中，相等的向量有18對．其中與eq\o(AD,\s\up16(→))同向的有3對，與eq\o(AD,\s\up16(→))反向的有3對，與eq\o(AM,\s\up16(→))同向的有6對，與eq\o(AM,\s\up16(→))反向的有6對，共18對．2．一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向向前行進(jìn)1米，逆時針方向轉(zhuǎn)變α(0°<α<180°)度，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1米，再逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，按直線向前行進(jìn)1米，按此方法繼續(xù)操作下去．(1)按1∶100比例作圖說明當(dāng)α＝45°時，操作幾次時賽車的位移為零；(2)按此法操作使賽車能回到出發(fā)點，α應(yīng)滿足什么條件？解(1)如圖所示，操作8次后，賽車的位移為零；(2)要使賽車能回到出發(fā)點，只需賽車的位移為零，按(1)的方式作圖，則所作圖形是內(nèi)角為180°－α的正多邊形．故n(180°－α)＝(n－2)180°.所以即α＝eq\f(360°,n)，n為不小于3的整數(shù)．《6.2平面向量的運算》同步練習(xí)6.2.1向量的加法運算基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．在平行四邊形ABCD中，下列式子：①eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))；②eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))；③eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))；④eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))；⑤eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))；⑥eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)).其中不正確的個數(shù)是()A．1B．2C．4D．6答案A解析eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(DA,\s\up16(→))，故⑥不正確；其他都正確．2．設(shè)a＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→)))，b是任一非零向量，則在下列結(jié)論中，正確的是()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．②④⑤答案C解析a＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝0，易知①③⑤正確．故選C.3．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中不正確的是()A.eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(FA,\s\up16(→))B.eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(EF,\s\up16(→))＝0C.eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(EC,\s\up16(→))D.eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))答案D解析由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝eq\o(DF,\s\up16(→))≠eq\o(FD,\s\up16(→)).4．已知四邊形ABCD是菱形，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→)) B.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))C.eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)) D.eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))答案C解析由四邊形ABCD是菱形知Ceq\o(D,\s\up16(→))＝Beq\o(A,\s\up16(→))，則Aeq\o(C,\s\up16(→))＋Beq\o(A,\s\up16(→))＝Aeq\o(C,\s\up16(→))＋Ceq\o(D,\s\up16(→))＝Aeq\o(D,\s\up16(→)).故選C.5．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P滿足eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，則下列結(jié)論中正確的是()A．P在△ABC的內(nèi)部B．P在△ABC的邊AB上C．P在AB邊所在的直線上D．P在△ABC的外部答案D解析由eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))可得四邊形PBCA為平行四邊形，所以點P在△ABC的外部．二、填空題6．根據(jù)圖示填空．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝________；(3)eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝________.答案(1)eq\o(OB,\s\up16(→))(2)eq\o(BO,\s\up16(→))(3)eq\o(AC,\s\up16(→))解析由三角形法則知(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(2)eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(BO,\s\up16(→)).(3)eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).7．已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝c，eq\o(DE,\s\up16(→))＝d，eq\o(AE,\s\up16(→))＝e，則a＋b＋c＋d＝________.答案e解析a＋b＋c＋d＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))＝e.8．若P為△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，則∠ACB＝________.答案120°解析如圖，因為eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，則四邊形APBC是平行四邊形．又P為△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up16(→))|＝|eq\o(PB,\s\up16(→))|＝|eq\o(PC,\s\up16(→))|.因此，∠ACB＝120°.三、解答題9．已知矩形ABCD中，寬為2，長為2eq\r(3)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AC,\s\up16(→))＝c，試作出向量a＋b＋c，并求出其模的大?。馊鐖D，作eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，則a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up16(→))，a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝2eq\o(AC,\s\up16(→))＝2c，∴|a＋b＋c|＝|2eq\o(AC,\s\up16(→))|＝2eq\r(22＋2\r(3)2)＝8.能力提升訓(xùn)練1．在某地大地震后，一架救援直升飛機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，此時直升飛機位于A地________方向，與A地的距離為________km.答案北偏東30°40eq\r(3)解析如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分別是直升飛機兩次位移，則eq\o(AC,\s\up16(→))表示兩次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)).在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up16(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up16(→))|2＋|\o(DC,\s\up16(→))|2))＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時直升飛機位于A地北偏東30°，與A地的距離為40eq\r(3)km.2．已知船在靜水中的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，求船行進(jìn)的方向．解作eq\o(AB,\s\up16(→))＝v水，eq\o(AD,\s\up16(→))＝v船，以eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))為鄰邊作?ABCD，則eq\o(AC,\s\up16(→))＝v實際，如圖．由題意可知∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|v水|＝10m/min，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cos∠ABC＝eq\f(|\o(AB,\s\up16(→))|,|\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴∠ABC＝60°，從而船與水流方向成120°角．故船行進(jìn)的方向與水流的方向成120°角．6.2.2向量的減法運算基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．下列運算中正確的是()A.eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→)) B.eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(DB,\s\up16(→))C.eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)) D.eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝0答案C解析根據(jù)向量減法的幾何意義，知eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))，所以C正確，A錯誤；B顯然錯誤；對于D，eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))應(yīng)該等于0，而不是0.2．下列說法錯誤的是()A．若eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))，則eq\o(OM,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))B．若eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))，則eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))C．若eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))，則eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(EO,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))D．若eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))，則eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(EO,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))答案D解析由向量的減法就是向量加法的逆運算可知，A，B，C都正確．由相反向量定義知，若eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))，則eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(EO,\s\up16(→))＝－eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→))＝－(eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→)))＝－eq\o(OM,\s\up16(→))，故D錯誤．3．有下列不等式或等式：①|(zhì)a|－|b|＜|a＋b|＜|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案A解析①當(dāng)a與b不共線時成立；②當(dāng)a＝b＝0，或b＝0，a≠0時成立；③當(dāng)a與b方向相反，且|a|≥|b|時成立；④當(dāng)a與b方向相同時成立．4.eq\o(AC,\s\up16(→))可以寫成：①eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))；②eq\o(AO,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))；③eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))；④eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))，其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案D解析由向量的加法及減法定義可知①④符合．5．邊長為1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))|的值為()A．1B．2C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)答案D解析如圖所示，延長CB到點D，使BD＝1，連接AD，則eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝eq\r(3)，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))|＝eq\r(3).二、填空題6．對于非零向量a，b，當(dāng)且僅當(dāng)________時，有|a－b|＝||a|－|b||.答案a與b同向解析當(dāng)a，b不同向時，根據(jù)向量減法的幾何意義，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有兩向量同向時，才有|a－b|＝||a|－|b||.7．如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點O，則eq\o(BA,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝________.答案eq\o(CA,\s\up16(→))解析eq\o(BA,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→)).8．如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的中心，其中eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up16(→))等于________．答案b－c解析eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＝b－c.三、解答題9．設(shè)O是△ABC內(nèi)一點，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，若以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，其第四個頂點為H.試用a，b，c表示eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(OH,\s\up16(→))，eq\o(BH,\s\up16(→)).解由題意可知四邊形OADB為平行四邊形，∴eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，∴eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OD,\s\up16(→))＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四邊形ODHC為平行四邊形，∴eq\o(OH,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＝c＋a＋b，∴eq\o(BH,\s\up16(→))＝eq\o(OH,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b＋c－b＝a＋c.能力提升訓(xùn)練1．設(shè)平面向量a1，a2，a3滿足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3滿足|bi|＝|ai|，且ai順時針旋轉(zhuǎn)30°后與bi同向，其中i＝1,2,3，則b1－b2＋b3＝________.答案0解析將ai順時針旋轉(zhuǎn)30°后得ai′，則a1′－a2′＋a3′＝0.又∵bi與ai′同向，且|bi|＝|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.2．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點，eq\o(CM,\s\up16(→))＝a，eq\o(CA,\s\up16(→))＝b.求證：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.證明因為△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA＝CB.又M是斜邊AB的中點，所以CM＝AM＝BM.(1)因為eq\o(CM,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(AM,\s\up16(→))，又|eq\o(AM,\s\up16(→))|＝|eq\o(CM,\s\up16(→))|，所以|a－b|＝|a|.(2)因為M是斜邊AB的中點，所以eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))，所以a＋(a－b)＝eq\o(CM,\s\up16(→))＋(eq\o(CM,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\o(CM,\s\up16(→))＋eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\o(CM,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))，因為|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝|eq\o(CB,\s\up16(→))|，所以|a＋(a－b)|＝|b|.6.2.3向量的數(shù)乘運算基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．下列各式計算正確的個數(shù)是()①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3答案C解析根據(jù)向量數(shù)乘的運算律可驗證①②正確；③錯誤，因為向量的和、差及數(shù)乘運算的結(jié)果仍為一個向量，而不是實數(shù)．2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點，則向量eq\o(CD,\s\up16(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))B．－eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))C．－eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))D.eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))答案B解析解法一：∵D是AB的中點，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))，∴eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→)).解法二：由eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(CB,\s\up16(→))＋(eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))]＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→)).3．設(shè)Aeq\o(B,\s\up16(→))＝eq\f(\r(2),2)(a＋5b)，Beq\o(C,\s\up16(→))＝－2a＋8b，Ceq\o(D,\s\up16(→))＝3(a－b)，則共線的三點是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D答案A解析∵Beq\o(D,\s\up16(→))＝Beq\o(C,\s\up16(→))＋Ceq\o(D,\s\up16(→))＝a＋5b，Aeq\o(B,\s\up16(→))＝eq\f(\r(2),2)Beq\o(D,\s\up16(→))，∴A，B，D三點共線．故選A.4．若eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq\o(CD,\s\up16(→))＝－5e1，且|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．菱形C．等腰梯形 D．不等腰的梯形答案C解析因為eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up16(→))，所以AB∥CD，且|eq\o(AB,\s\up16(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up16(→))|.而|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|，所以四邊形ABCD為等腰梯形．5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若eq\o(AC,\s\up16(→))＝a，eq\o(BD,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up16(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b答案B解析如圖所示，∵E是OD的中點，∴eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)b.又△ABE∽△FDE，∴eq\f(AE,FE)＝eq\f(BE,DE)＝eq\f(3,1).∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝3eq\o(EF,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AF,\s\up16(→))，在△AOE中，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b，∴eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故選B.二、填空題6．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝________.答案－4解析∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq\f(1,2)，k＝－4.7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，則向量a寫為λ1b＋λ2c的形式是________．答案－eq\f(1,18)b＋eq\f(7,27)c解析若a＝λ1b＋λ2c，則－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27).))8．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，則m＋n的值為________．答案2解析解法一：因為eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，所以eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,n)eq\o(AC,\s\up16(→))，則eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(AN,\s\up16(→))－eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,n)eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up16(→)).因為點O為BC的中點，連接AO，所以eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))，則eq\o(MO,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))－eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))，因為M，O，N三點共線，所以可設(shè)eq\o(MO,\s\up16(→))＝λeq\o(MN,\s\up16(→))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(λ,n)eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\f(λ,m)eq\o(AB,\s\up16(→))，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)＋\f(λ,m)))eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(λ,n)))eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，由于eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)＋\f(λ,m)＝0，,\f(1,2)－\f(λ,n)＝0，))消去λ得eq\f(1,2)－eq\f(1,m)＋eq\f(n,2m)＝0，變形整理可得m＋n＝2.解法二：在△ABC中，連接AO.由于O是BC的中點，因此eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→)).由于eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，則eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)meq\o(AM,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)neq\o(AN,\s\up16(→)).由于M，O，N三點共線，則eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)n＝1，從而m＋n＝2.三、解答題9．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，如果eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1－e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝3e1＋e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝7e1－6e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共線；(3)若e1＋λe2與λe1＋e2不共線，試求λ的取值范圍．解(1)證明：因為eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝3e1＋e2＋7e1－6e2＝10e1－5e2＝5(2e1－e2)＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BD,\s\up16(→))共線．因為eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BD,\s\up16(→))有公共點B，所以A，B，D三點共線．(2)因為2λe1＋e2與e1＋λe2共線，所以存在實數(shù)μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．因為e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝μ，,1＝λμ.))所以λ＝±eq\f(\r(2),2).(3)假設(shè)e1＋λe2與λe1＋e2共線，則存在實數(shù)μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．因為e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λμ，,λ＝μ，))所以λ＝±1.所以當(dāng)λ≠±1時，e1＋λe2與λe1＋e2不共線．能力提升訓(xùn)練1．如圖所示，向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))的終點A，B，C在一條直線上，且eq\o(AC,\s\up16(→))＝－3eq\o(CB,\s\up16(→)).設(shè)eq\o(OA,\s\up16(→))＝p，eq\o(OB,\s\up16(→))＝q，eq\o(OC,\s\up16(→))＝r，則以下等式中成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q B．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)q D．r＝－q＋2p答案A解析∵eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝－3eq\o(CB,\s\up16(→))＝3eq\o(BC,\s\up16(→))，∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→)).∴eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))．∴r＝q＋eq\f(1,3)(r－p)．∴r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q.2．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up16(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up16(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．答案eq\f(1,2)解析由已知eq\o(DE,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，從而λ1＋λ2＝eq\f(1,2).6.2.4向量的數(shù)量積基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，則向量a與b的夾角為()A．30°B．60°C．150°D．120°答案D解析cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,2×4)＝－eq\f(1,2)，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故選D.2．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()A．0B．2eq\r(2)C．4D．8答案B解析∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝2eq\r(2).3．若平面四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，則該四邊形一定是()A．直角梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案C解析由eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，得平面四邊形ABCD是平行四邊形，由(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，得eq\o(DB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，即平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，則該四邊形一定是菱形．4．若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D．π答案A解析由題意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，所以a·b＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)|b|))2－2b2＝eq\f(2,3)b2，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(2,3)b2,\f(2\r(2),3)b2)＝eq\f(\r(2),2)，所以〈a，b〉＝eq\f(π,4).5．已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若非零向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析因為|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cosθ＋|c|2＝0，其中θ為c與a＋b的夾角，所以|c|＝|a＋b|·cosθ＝eq\r(2)cosθ≤eq\r(2)，所以|c|的最大值是eq\r(2)，故選C.二、填空題6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．答案eq\r(2)1解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|cos45°＝2eq\r(2)|b|，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝|a|2＋eq\f(1,2)a·b－3|b|2＝16＋eq\r(2)|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－eq\f(2\r(2),3)(舍去)．b在a上的投影向量的模為||b|cos〈a，b〉|＝eq\r(2)cos45°＝1.7．已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.答案2解析由題意，將b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝eq\f(1,2)，所以t＝2.8．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))＝1，則AB的長為________．答案eq\f(1,2)解析因為eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))2＝1＋eq\f(1,2)×1×|eq\o(AB,\s\up16(→))|cos60°－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up16(→))|2＝1，所以eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up16(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up16(→))|2＝0，解得|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2).三、解答題9．已知a，b是兩個非零向量，當(dāng)a＋tb(t∈R)的模取得最小值時，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求證：b與a＋tb垂直．解(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,b2)))2＋a2－eq\f(a·b2,b2).當(dāng)t＝－eq\f(a·b,b2)時，|a＋tb|取得最小值．(2)證明：因為(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－eq\f(a·b,b2)×b2＝0，所以a＋tb與b垂直．能力提升訓(xùn)練1．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．答案4解析由a＋b＋c＝0，得(a＋b＋c)2＝0，得a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0.又(a－b)⊥c，a⊥b，∴(a－b)·c＝0，a·b＝0.∴a·c＝b·c.∴a2＋b2＋c2＝－4b·c，b2＋c2＝－1－4b·c.①由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，故(b＋c)2＝1，即b2＋c2＋2b·c＝1.②由①②得b·c＝－1，故a2＋b2＋c2＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.2．在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up16(→))＝2eq\o(PD,\s\up16(→)).(1)若四邊形ABCD是矩形，求eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))的值；(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，且eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝6，求eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AD,\s\up16(→))夾角的余弦值．解(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0，由eq\o(CP,\s\up16(→))＝2eq\o(PD,\s\up16(→))，得eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(CP,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up16(→)).所以eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝(eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→)))·(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CP,\s\up16(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(DC,\s\up16(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))－\f(2,3)\o(DC,\s\up16(→))))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\f(2,9)eq\o(DC,\s\up16(→))2＝36－eq\f(2,9)×81＝18.(2)由題意，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CP,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up16(→))))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up16(→))2＝36－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－18＝18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→)).又eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝6，所以18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝6，所以eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝36.又eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(AD,\s\up16(→))|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝eq\f(2,3).所以eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AD,\s\up16(→))夾角的余弦值為eq\f(2,3).《6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》同步練習(xí)6.3.1平面向量基本定理基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若eq\o(BC,\s\up16(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2，則eq\o(OC,\s\up16(→))＝()A.eq\f(1,2)(e1＋e2) B.eq\f(1,2)(e1－e2)C.eq\f(1,2)(2e2－e1) D.eq\f(1,2)(e2－e1)答案A解析因為O是矩形ABCD對角線的交點，eq\o(BC,\s\up16(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2，所以eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)．故選A.2．在△ABC中，點P是AB上一點，且eq\o(CP,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up16(→))，又eq\o(AP,\s\up16(→))＝teq\o(AB,\s\up16(→))，則t的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,3)答案A解析Ceq\o(P,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，即Aeq\o(P,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up16(→)).又eq\o(AP,\s\up16(→))＝teq\o(AB,\s\up16(→))，∴t＝eq\f(1,3).故選A.3．如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，且eq\o(BP,\s\up16(→))＝3eq\o(PA,\s\up16(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)答案D解析由已知eq\o(BP,\s\up16(→))＝3eq\o(PA,\s\up16(→))，得eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝3(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OP,\s\up16(→)))，整理，得eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))，故x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的一點，且eq\f(AF,FD)＝eq\f(1,5)，連接CF并延長交AB于點E，則eq\f(AE,EB)等于()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)答案D解析設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\f(AE,EB)＝λ.∵eq\f(AF,FD)＝eq\f(1,5)，∴eq\o(CF,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,12)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(11,12)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,12)a－eq\f(11,12)b.eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(λ,1＋λ)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(λ,1＋λ)a－b.又eq\o(CF,\s\up16(→))與eq\o(CE,\s\up16(→))共線，可設(shè)eq\o(CF,\s\up16(→))＝keq\o(CE,\s\up16(→))，則eq\f(1,12)a－eq\f(11,12)b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,1＋λ)a－b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,12)＝\f(λk,1＋λ)，,－\f(11,12)＝－k，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(11,12)，,λ＝\f(1,10).))故選D.5．已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋2\o(OC,\s\up16(→))))，則點P一定為()A．AB邊中線的中點B．AB邊中線的三等分點(非重心)C．△ABC的重心D．AB邊的中點答案B解析∵O是△ABC的重心，∴eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(OC,\s\up16(→))＋2\o(OC,\s\up16(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))，∴點P是線段OC的中點，即AB邊中線的三等分點(非重心)．故選B.二、填空題6．已知e1，e2是兩個不共線的向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5k,2)))e2與b＝2e1＋3e2共線，則實數(shù)k＝________.答案－2或eq\f(1,3)解析由題設(shè)，知eq\f(k2,2)＝eq\f(1－\f(5k,2),3)，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq\f(1,3).7．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若eq\o(AM,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋μeq\o(BC,\s\up16(→))，則λ＋μ＝________.答案eq\f(2,3)解析在△ABH中，BH＝eq\f(1,2)AB＝1，∵BC＝3，∴BH＝eq\f(1,3)BC.∴eq\o(AH,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BH,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→)).∵M(jìn)為AH的中點，∴eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up16(→)).∵eq\o(AM,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋μeq\o(BC,\s\up16(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).8．如圖，在正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(BD,\s\up16(→))＝c，則在以{a，b}為基底時，eq\o(AC,\s\up16(→))可表示為________，在以{a，c}為基底時，eq\o(AC,\s\up16(→))可表示為________．答案