九師聯(lián)盟2024屆高三年級下冊2月開學考試數(shù)學試題及答案

高三數(shù)學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題

目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)

作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題蓑圍：高*蓊圍。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A={了|0<工+1<2},_6={工|工<0或工>2},則403=

A.{z|—1<N<0}B.{H|2O<3}

C.{z|N<1或z>2>D.{z|zVO或2Vz〈3}

2.sin1650cos525°=

A；B.fC.-|D.一噂

3.已知單位向量a,b滿足|a+b|=2|a—，則a,b夾角的余弦值為

A.j-B.C.—D.卷

5555

4.已知復數(shù)z滿足（z—3i）（2—i）=5,貝!］|z|=

A.272B,275C.8D.20

5.若直線Z”=2N+4與拋物線C：y2=2ar（2>0）只有1個公共點，則C的焦點F到2的距離為

A.75B.275C.3^/5D.475

6.已知卜十六）”的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列,則展開式中二項式系數(shù)最大的項是

A.嚕h/B.7袤C.萼/D.7/

oO

7.函數(shù)/（X）=2jcos（￡—3z）的單調(diào)遞減區(qū)間是

12^7C7T

穴2次下5兀?24兀［

A.或ez)B.aez)

83'12菁:12亍'變十石」

-__7T__匚2人兀7t_|2妹[aez)r7：?2kn1+^y]aez)

c|_12'3'12?3J

【高三2月開學考?數(shù)學第1頁（共4頁）］X

8.已知"x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（一8,0）上單調(diào)遞減，a=/（In1.04）,6=/（l.04）,c=

fd”則

A.a<Zb<ZcB.a<cV6

C.c〈b〈aD.c<Za<Zb

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知數(shù)列｛Q〃｝滿足。1=3,2a〃+i=3a〃一2,則

A.｛々一2）是等差數(shù)列

B.3“｝的前幾項和為，［（我）—1^+272

C.｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列

D.數(shù)列卜”+1+（看）”）的最小項為4

10.已知函數(shù)/（Z）=［守］一［引（zGR,其中團表示不大于z的最大整數(shù)），則

A.7（z）是奇函數(shù)

B.f（z）是周期函數(shù)

C./G）在［0,2）上單調(diào)遞增

D.f（z）的值域為｛0,1｝

11.已知正四面體ABCD的棱長為4,點P是棱AC上的動點（不包括端點），過點P作平面。平行于

AD、BC,與棱AB、BD、CD交于Q,S,T,則

A.該正四面體可以放在半徑為次的球內(nèi)

B.該正四面體的外接球與以A點為球心,2為半徑的球面所形成的交線的長度為警k

C.四邊形PQST為矩形

D.四棱錐C-PQST體積的最大值為?？?/p>

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2023年度，網(wǎng)絡評選出河南最值得去的5大景點:洛陽龍門石窟，鄭州嵩山少林寺，開封清明上河園，

洛陽老君山，洛陽白云山，小張和小李打算從以上景點中各自隨機選擇一個去游玩，則他們都去洛陽

游玩,且不去同一景點的概率為.

13.已知B,F?分別是雙曲線C：￡—￡=l（a>0,b>0）的左、右焦點，過點B且垂直工軸的直線與C

交于A,B兩點，且tanNARB=￥5，若圓Q—2）2+y2=4與c的一條漸近線交于M,N兩點,則

\MN\=.

14.若圓錐SO的母線長為3,則圓錐SO體積的最大值為.

【高三2月開學考?數(shù)學第2頁（共4頁）】X

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

已知在AABC中，角所對的邊分別為a,6,c,c(cosB-cosC)=(c-6)cosC.

(1)若Ar2C,證明:ZVIBC是等腰三角形；

(2)若b=2c=4,求a的值.

16.(本小題滿分15分)

2022年日本17歲男性的平均身高為170.8cm,同樣的數(shù)據(jù)1994年是170.9cm,近30年日本的平均

身高不僅沒有增長，反而降低了0.1cm.反觀中國近30年，男性平均身高增長了約9cm.某課題組從

中國隨機抽取了400名成年男性，記錄他們的身高，將數(shù)據(jù)分成八組：[155,160),[160,165),…，

[190,195同時從日本隨機抽取了200名成年男性,記錄他們的身高,將數(shù)據(jù)分成五組：：160,165),

[165,170),…，[180,1851,整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)由頻率分布直方圖估計樣本中日本成年男性身高的75%分位數(shù)；

(2)為了了解身高與蛋白質(zhì)攝入量之間是否有關聯(lián),課題組調(diào)查樣本中的600人得到如下列聯(lián)表:

蛋白質(zhì)攝入量

身高合計

豐富不豐富

低于175cm108

不低于175cm100

合計600

結合頻率分布直方圖補充上面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷成年男性

身高與蛋白質(zhì)攝入量之間是否有關聯(lián)？

n(ad—6c)2

附:/=,"=a+Z>+c+<i.

(a十6)(c+d)(a+c)(b~\~d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【高三2月開學考?數(shù)學第3頁(共4頁/X

17.（本小題滿分15分）

如圖,正方體ABCD-A出SR的棱長為2,E,F分別為棱AB,CG的中點.

（1）請在正方體的表面完整作出過點E,F,Di的截面，并寫出作圖過程；（不用

證明）

（2）求點Bi到平面EFD,的距離.

18.（本小題滿分17分）

已知橢圓C：冒十戈=l（a>6>0）的離心率為e,點A（l,e）在C上,C的長軸長為4e.

（1）求C的方程；

（2）已知原點為。，點P在C上,0P的中點為Q,過點Q的直線與C交于點M,N,且線段MN恰好被

點Q平分，判斷。宓?痔一（0而?冰產(chǎn)是否為定值？若為定值,求出該定值;若不為定值，說

明理由.

19.（本小題滿分17分）

已知函數(shù)/（工）="（21）+山水a(chǎn)GR）.

（1）若/"）在（0,+8）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）若/O）有2個極值點為（皿>12>0），求證:。（曷+忌）>28.

【高三2月開學考?數(shù)學第4頁（共4頁）】X

高三數(shù)學參考答案、提示及評分細則

1.A因為A=｛i|0<z+lV2)=｛i|—1<尤<1>1=｛1|1<0或1>2｝,所以4口8=｛］|—IVzVO).故選A.

2.Csin165°cos525'=sin(180°—15°)cos(540°—15°)=sin15°(—cos15°)=—^-sin30°=—故選C.

3.B由|a+b|=2|a—"兩邊平方得l+2a?b+l=4(1—2。?b+1)，解得a?力=可，又a,b為單位向量，所以a,b夾角

的余弦值為引故選B.

4.B由Cz—3i)(2—i)=5,得2=,f_.+3i=+3i=2+i+3i=2+4i,所以|之|=V22+42=2^/5".故選B.

5.D聯(lián)立，與C的方程并消去m得9一”+4力=0.因為/與C只有1個公共點，所以(一力)2—16力=0,結合2>0,解

得2=16,則F〈8,0)，所以F到/的距離d=注等三""=4故選D.

72-+(-1)2

6.C展開式中的第r+1項為r+1=Ck，(+)’=(:)'Chf,所以前三項系數(shù)依次為C；,《戲，依題意，

有C2++C=Q,即1++*也產(chǎn)=〃,整理，得"一9"+8=0,解得〃=1(舍去)或〃=8.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可

知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，即Ts=(4)"◎4尹,=.故選C.

7.Df(rr)=COS(—3JC)=2COS(3^).由2&KW3N—于+2&K,4CZ,解得金++

&ez,所以/(z)的單調(diào)遞減區(qū)間是［令+2記,于+得三］(4ez).故選D.

8.A因為/'〈N)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞減，所以/<丁)在〈0.+8)上單調(diào)遞增；lnl.04Vlne

=1<1.04,即In1.04<l.04；令人工)=e，一(￡+1),當z>0時,，Cr)=e上一1>0,則乂工)單調(diào)遞增，所以h(0.04)=

e°-04-(0.04+l)=e°-M-l.04〉泯0)=0,即e°-04>l.04,所以e°-04>l.04>ln1.04.而/〈￡)在<0,+匚。)上單調(diào)遞增，

故有/<In1.04)</<1.04)<“e"。4)，即a<b<c.故選A.

9.BC由2a?+i=3a?—2,得2C4+1—2)=3(a?—2)，因為?—2=1片0,所以a?—2y^0,a3—2W0,…，a”一2片0,從而

皿二二母，所以｛/—2｝是首項為1,公比為得的等比數(shù)列，所以a?-2=lX(4廠’，即a“=(得)”’+2.所以羯

z7

an-NNN'Z'N

g2「1—(2)"［?

=(得)+2,所以<22+44+…+恁”='-------'-----=(~7-)-1］+2%,所以A錯誤，B正確；由a”=

「工

(得)+2,易知｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列,C正確；當〃22時,恁+1+((■)>。3=(得)+2〉4,當??=1時,a2H~~^~=

告H■-^~+2=曾〉4,D錯誤.故選BC.

10.BD由題意，Dr21表示不大于z的最大整數(shù)，則Lr+12l=Dr：］+l,所以V］GR"Cz+3)=［旺尹］一［守］=

［守+1］—［a+1］=+―(［宏］+1)=［守卜［(卜/⑴，則函數(shù)/⑴是以3為周期的函數(shù)，當

【高三2月開學考?數(shù)學參考答案第1頁(共6頁)】X

北匚0,2)時,/(遼)=［三］一［年］=0—0=0；當工6匚2,3)時"(z)=［三］—［5］=1—0=1,則/(z)=

o,—e匚0,2),

又—是以3為周期的函數(shù)，則—的值域為{0,1},B和D均正確"(一l)=f(2)=l"(D=0,所

1,尤e匚2,3),

以/(—1)聲一/(I),故/(1)不是奇函數(shù),A錯誤；當比e匚0,2)時"(1)=0,故/(1)在匚0,2)上無單調(diào)性,C錯誤.故

選BD.

11.AC對于A,易算出該正四面體外接球的半徑R=fx4=^，所以該正四面體可以放入半徑

為政的球內(nèi)，故A正確；

對于B,由A可知四面體外接球的半徑R=痣，如圖，在△AEO中，cosZ.EAO=

222222

AE+AO-EO2+(76)-(76)展cre-八…c』

---布方-Z7S-=---------------F------=/，所以SHINEAO=F-；在△EAO2中，石。2=

2AE-AO2X2XV666

EAsinNEA02=2X=易知兩個球面的交線為圓，其周長為2冗><*^^=豆，^兀,故

B錯誤；

對于C,取BC的中點M,連接AM,DM.易證BC,平面ADM,所以BC，AD；又AD〃平面￡,平面0口平面ABD=

QS,所以AD〃QS,同理AD〃PT,所以QS〃PT,同理PQ〃BC〃ST,所以四邊形PQST為平行四邊形;又NQST是

AD與BC所成的角，所以NQST=90°,于是四邊形PQST為矩形，則C正確；

對于D,設AP=AAC(0<XCL),易證PQ〃BC,所以券=桀，畢=儲可得QP=4人同理A

可得QS=4(1—；0.取AD中點N,連接MN,交平面PQST于點I.由上面的論證可知MN

_L平面PQST.因為平面PQST與AD,BC都平行，所以可得儡=荒=1一a,又易知MN

=2區(qū)所以2回1—4),即C到平面PQST的距離為2同1一入),所以VC-PQST=y-

4A-(4-4A)?2<(1-A)=^^(A3-2AJ4：A).4/。)=下一2*+1b/GU=3；l2—4義+1=(3/一1)。一1),因為/'GO

>0=0<Q<L/a)<()=4Q<l,所以/(^)^=屣卷)=焉，所以(n+g)山=畸&故D錯誤.故選AC.

12.微小張和小李從5個景點中各自選擇1個，共有5X5=25種可能，5個景點中有3個在洛陽，則他們都選擇去洛陽

游玩，且不去同一景點的情況有3X2=6種，故所求概率P=微.

22

13.設Fi(—C,0),F2(C,0)(C=%/a+Z?)，解得|F2Al=號，tan/ABF2=1=^^=熱=￡?、，解得亍=

正，所以漸近線方程為y=±2z,由對稱性,不妨取丁=21進行計算，弦長|MN|=2"^=2,4T=手.

14.2偌冗設底面半徑為一，則圓錐的高h=SO=/9-r2，體積V=-^7zr2h=-^7ir2/『戶J(9一y)/.令t=

，6(0,9),/(力=(9—力產(chǎn)，貝IJ/1)=-3產(chǎn)+1&=—3x(z—6),當xG(0,6)時,/'⑴單調(diào)遞增，當啰(6,9)時,/(力單

【高三2月開學考-數(shù)學參考答案第2頁(共6頁)】X

調(diào)遞減;所以當2=6,即r—A/6"時,V取最大值，此時h=J9—6=4^?V--^-Ttr2h=~~X6XA/3'-2^/3^兀

15.(1)證明：由cCcosB—cosC)=(c—6)cosC,及正弦定理，得

cosC(sinB—sinC)+sinC(cosB—cosC)—0,......................................................1分

即sinBcosC+cosBsinC=2sinCeosC,

即sin(B+C)=sin2c...............................................................................2分

因為A+C+B=7t,所以sin(7t—A)=sin2C,

即sinA=sin2C.....................................................................................3分

因為Ae(0,7r),2Ce(0,2Q,

所以A=2C或A+2C=兀

因為AW2c所以A+2c=兀,又A+C+B=7r,所以B=C.

故△ABC是等腰三角形..........................................................................6分

(2)解：因為6=4,c=2,即%,則

由(1)可得A=2G....................................................................................7分

因為sinA=sin2C,

所以sinA=2sinCeosC.

由正弦定理，得a=2ccosC.............................................................................9分

田務+&2—c2而*_a2+^>2—c2

因為cosC--荻一，所以a—92cvx—通一.

結合b=2c—4,解得<2—2^3^-.........................................................................13分

16.解：(1)由頻率分布直方圖可知5X<0.01+0.07+工+0.04+0.02)=1,解得z=0.06.....................2分

因為C0.01+0.07+0.O6)X5=O.7<0.75,(0.01+0.07+0.06+0.04)X5=0.9>0.75,

所以75%分位數(shù)位于［175,180)，設為，M,

則有0.7+Cm—175)X0.04=0.75,解得加=176.25(cm).

故日本成年男性身高的75%分位數(shù)為176.25cm.......................................................6分

(2)由頻率分布直方圖知，樣本中身高低于175cm的中國成年男性人數(shù)是(0.008+0.016+0.04+0.04)X5X400=

208(人)，

樣本中身高低于175cm的日本成年男性人數(shù)是(0.01+0.07+0.06)X5X200=140(人)，

故樣本中身高低于175cm的共有348人，可得下表：

蛋白質(zhì)攝入量

身高合計

豐富不豐富

彳氐于175cm108240348

不低于175cm152100252

合計260340600

...................................................................................................10分

零假設Ho:成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間無關聯(lián)，則由2X2列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得：

【高三2月開學考?數(shù)學參考答案第3頁(共6頁)】X

2_600X(108X100—240X152)2.q

X~348X252X340X260^51,04O>-r°-001—10.828,

依據(jù)a=0.001的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，即認為成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間有關聯(lián)......15分

17.解：（1）連接DiF并延長交DC延長線于點/,連接IE并延長交BC于點H,交DA延長線于點J,連接交AA】于

點G,

則截面DiGEHF即為所求.6分

取了=2,得平面DiEF的法向量為帆=（3,2,4）.12分

_|2X3+2X2+0X41_10同

設點場到平面EFDi的距離為4,則d=|m-

m/32+22+4229

故點Bi到平面EFDi的距離為"雜.

15分

18.解：⑴因為C的長軸長為4e,所以2a=4e,e=『

由e=\^=Ja不立得“=*，4加=4/一4,...................................................3分

把A（1.-1-）代入C的方程得3+左=1*即9十^^=1,...........................................5分

解得/=2,所以462=4〃2—“4=4,解得〃=],

所以。的方程為掾+9=1......................................................................7分

（2）法一：設PCxo9yo）,yi）,N（i2,北），

由題意可知，點Q既是O尸的中點，又是MN的中點，

仔0=41+%2

22'（久0=冗1+22,

所以彳即，...............................................................9分

。+\21丁0=丁1+2,

[2-2'

【高三2月開學考?數(shù)學參考答案第4頁（共6頁）】X

因為點P在C上，所以［&y+（/+北＞2=1,

整理得號+乂+號+y+乃22+2例於=1,

因為M,N在C上,所以號+底=1,當+狀=1,處12+2?12=-1........................................................................12分

將?g+2口3/2=-1兩邊平方，得君名+4乂必=1-4乃乃）12，

又（宕+2乂）（reI+2必）=4,展開，得若后+4認立+2宕出+2忌認=4,

所以1—4力112?12+2君十+2忌十=4,

所以京V后乂一2乃定2例北二停,...................................................................15分

又。M2,ON2—COM?ON）之=（%彳~\~y\）（曷+必）一（/i12+M）2）之

=

=曷必+名yi—2定1x2y\y2~^-

---A---A---A---AQ

所以OM2?ON2—（OM?ON）。為定值1...............................................................................................................17分

法二（通性通法）:當MNL■軸且MN在y軸右側時.顯然F（V2,0），Q（專,0），必像,§）,N（烏

則流?ON2^（OM-ON）2=^-Xy-（Y—^）”=暫；...............................................9分

同理，當MNL?軸且MN在y軸左側時，而不.曲一（原?加〉2=_1............................................................10分

當MN與工軸不垂直時,設直線MN的方程為y=kx+m.

（y=kx-\-m,

由，得（2人2+1）/+4歸7nx+21-2=0,

〔/+2y2=2,

則△=16/加2-4（2/+1）（21—2）＞0,化簡，得2F+l＞m2................................................................................12分

設M（%i），N5,北），貝!I6+"2=2￡,%，"1"2=黑+：?...........................................13分

設Q（io,）o），貝（Jio二球”彳，"°=kxo+加=2-1，

所以P（茨筆，喜萬）'代入"'+2^=2,得（茨筆）+2（系、）=2?

化簡，得4/=2必+1,適合/2+1>機2..................................................................................................15分

OM2?ON2—（OM?ON）2=（若-\-yl）（J；2+>2）一（支112+了12）2=病狀+后行一2?%2?2

—（JT1y2—42丁1）2=[11（左]2+祖）—4（￡乃+機）了=根2（乃一5）2=m2|2（^i+12）2—41112]

2r/—4km\22/一21

=ML（2F+I）-4X2F+TJ

_8加2（2公+1—加2）_8加2（4加一加2）__3_

—（2公+1）2—（W7—T,

綜上，加2?加2一（曲.濟）2為定值等............................................................17分

19.⑴解:法一:因為/（I）=a（?l）+lnz,

【高三2月開學考?數(shù)學參考答案第5頁（共6頁）】X

所以八z）=一,+!='|r（|?一（尤＞0），.....................................................2分

若Q&0,則在（0,+8）上單調(diào)遞增；...............................................3分

若。＞0,令=裊一則g‘