2023-2024學(xué)年北京市平谷區(qū)市級(jí)名校數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年北京市平谷區(qū)市級(jí)名校數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若扇形的面積為、半徑為1，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足()A．或 B．或 C． D．3．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則z＝x+y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．54．高鐵、掃碼支付、共享單車(chē)、網(wǎng)購(gòu)被稱(chēng)為中國(guó)的“新四大發(fā)明”，為評(píng)估共享單車(chē)的使用情況，選了座城市作實(shí)驗(yàn)基地，這座城市共享單車(chē)的使用量（單位：人次/天）分別為，，…，，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估共享單車(chē)使用量的穩(wěn)定程度的是（）A．，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差 B．，，…，的平均數(shù)C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位數(shù)5．已知,,從射出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)反射后再射到直線(xiàn)上,最后經(jīng)直線(xiàn)反射后又回到點(diǎn),則光線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的路程可以用對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段,這條線(xiàn)段的長(zhǎng)為()A． B．3 C． D．6．如果全集，，則（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)G為的重心，若，，則=()A． B． C． D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí)，應(yīng)注意必須為（）A． B．， C．， D．，9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球 B．至少有一個(gè)紅球與都是黑球C．至少有一個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 D．至少有一個(gè)黑球與都是黑球10．從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則向量與向量垂直的概率為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若則____________12．若函數(shù)，的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則________．13．已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，則_______；若，則_______.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________15．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，的前項(xiàng)和為，則___________.16．無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個(gè)正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，角A,B,C，的對(duì)應(yīng)邊分別為，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面積為，，D為AC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn)，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.19．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.20．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大小；（2）設(shè)，的面積為，求的值.21．已知函數(shù).求：（1）函數(shù)的最大值、最小值及最小正周期；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】設(shè)扇形的圓心角為α，則∵扇形的面積為，半徑為1，

∴故選B2、A【解析】

畫(huà)出三點(diǎn)的圖像，根據(jù)的斜率，求得直線(xiàn)斜率的取值范圍.【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸交線(xiàn)段于點(diǎn)，作由直線(xiàn)①直線(xiàn)與線(xiàn)段的交點(diǎn)在線(xiàn)段(除去點(diǎn))上時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為鈍角，斜率的范圍是.②直線(xiàn)與線(xiàn)段的交點(diǎn)在線(xiàn)段(除去點(diǎn))上時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，斜率的范圍是.因?yàn)?，，所以直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足或.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩點(diǎn)求斜率的公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由約束條件畫(huà)出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足作出可行域，如圖：聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最小，此時(shí)有最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用方差或標(biāo)準(zhǔn)差表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度可得出選項(xiàng).【詳解】表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是方差或標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體，需掌握住數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是用方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)之間距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：已知直線(xiàn)AB的方程為：，則：點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則：，解得點(diǎn)，同理可得點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：故光線(xiàn)的路程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求解、斜率的求解、以及兩點(diǎn)之間的距離，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

首先確定集合U，然后求解補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，結(jié)合補(bǔ)集的定義可知.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，補(bǔ)集的定義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、B【解析】

由重心分中線(xiàn)為，可得，又（其中是中點(diǎn)），再由向量的加減法運(yùn)算可得．【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，則，又為的重心，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)，即重心分中線(xiàn)為兩段．8、D【解析】

根據(jù)題意驗(yàn)證，，時(shí)，不等式不成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)，，時(shí)，顯然不等式不成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí)，應(yīng)注意必須為，故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，包括3種情況：①恰有一個(gè)黑球，②恰有兩個(gè)黑球，③沒(méi)有黑球．

故恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，再由這兩件事的和不是必然事件，故他們是互斥但不對(duì)立的事件，

故選：A．10、B【解析】

通過(guò)向量垂直的條件即可判斷基本事件的個(gè)數(shù)，從而求得概率.【詳解】基本事件總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足的基本事件有，，，共3個(gè)，故所求概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，計(jì)算滿(mǎn)足條件的基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】因?yàn)?所以=.故填．12、【解析】

特殊值法：由的對(duì)稱(chēng)軸是，所以即可算出【詳解】由題意得是三角函數(shù)所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，需要記憶三角函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、對(duì)稱(chēng)軸、周期、定義域、最值、對(duì)稱(chēng)中心等。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性取特殊值法解決本題是關(guān)鍵。屬于中等題。13、【解析】

對(duì)式子兩邊平方，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可；式子兩邊分別與向量，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，得到關(guān)于的方程組，解方程組即可得答案.【詳解】∵，∴；∵，∴解得：，∴.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的方法.14、1【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1-2點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.15、【解析】

計(jì)算出，再由可得出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，.，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出數(shù)列的規(guī)律，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.16、【解析】

利用無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【詳解】無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個(gè)自然數(shù)，則，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；(II)【解析】

（I）由正弦定理得，展開(kāi)結(jié)合兩角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面積得，利用平方求解即可【詳解】（I），由正弦定理得整理得，則，，.(II)，，兩邊平方得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及兩角和的正弦，三角形內(nèi)角和定理，考查向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題18、（1）或；（2）.【解析】

（1）兩直線(xiàn)方程聯(lián)立可解得圓心坐標(biāo)，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，列方程可求得直線(xiàn)斜率，進(jìn)而得切線(xiàn)方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線(xiàn)：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點(diǎn)，使，只需兩圓有公共點(diǎn)即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線(xiàn)方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線(xiàn)方程為或．（2）∵圓的圓心在直線(xiàn)：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點(diǎn)應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點(diǎn)，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線(xiàn)的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線(xiàn)的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.本題（2）巧妙地將圓上存在點(diǎn)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點(diǎn)問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線(xiàn)定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線(xiàn)面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線(xiàn)段中點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的判定，考查棱錐的體積．線(xiàn)面平行的證明關(guān)鍵是找到線(xiàn)線(xiàn)平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．20、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為，利用兩角和差余弦公式展開(kāi)整理可求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方程求出；利用余弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，即（2）設(shè)的面積為，則由得：，解得：由余弦定理