數(shù)學(xué)選修2-1第二章圓錐曲線與方程2-5直線與圓錐曲線課堂探究學(xué)案

2.5直線與圓錐曲線課堂探究探究一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(或x)得一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ＞0，則直線l與曲線C相交；若Δ＝0，則直線l與曲線C相切；若Δ＜0，則直線l與曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)，若C為雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則l平行于拋物線的對(duì)稱軸．(3)當(dāng)直線與雙曲線或拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線或拋物線可能相切，也可能相交．【典型例題1】已知直線l：kx－y＋2－k＝0，雙曲線C：x2－4y2＝4，當(dāng)k為何值時(shí)，(1)l與C無(wú)公共點(diǎn)；(2)l與C有唯一公共點(diǎn)；(3)l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．思路分析：直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就等于直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)．因此本題可轉(zhuǎn)化為方程組解的個(gè)數(shù)的判定，從而確定參數(shù)的取值．解：(1)將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①要使l與C無(wú)公共點(diǎn)，即方程①無(wú)實(shí)數(shù)解，則有1－4k2≠0，且Δ＜0，即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)＜0.解得k＞eq\f(－2＋eq\r(19),3)或k＜eq\f(－2－eq\r(19),3)，故當(dāng)k＞eq\f(－2＋eq\r(19),3)或k＜eq\f(－2－eq\r(19),3)時(shí)，l與C無(wú)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)1－4k2＝0，即k＝±eq\f(1,2)時(shí)，方程①只有一解；當(dāng)1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝eq\f(－2±eq\r(19),3)時(shí)，方程①只有一解，故當(dāng)k＝±eq\f(1,2)或k＝eq\f(－2±eq\r(19),3)時(shí)，l與C有唯一公共點(diǎn)．(3)當(dāng)1－4k2≠0，且Δ＞0時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的解，即l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，于是可得，當(dāng)eq\f(－2－eq\r(19),3)＜k＜eq\f(－2＋eq\r(19),3)，且k≠±eq\f(1,2)時(shí)，l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．探究二相交弦長(zhǎng)問(wèn)題若直線l與圓錐曲線F(x，y)＝0相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)可用下列兩種方法：(1)把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間距離公式，便得到弦AB的長(zhǎng)，一般來(lái)說(shuō)，這種方法較為麻煩．(2)不求交點(diǎn)坐標(biāo)，可用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．設(shè)直線方程為y＝kx＋m，與圓錐曲線F(x，y)＝0交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((x1－x2)2＋(kx1＋m－kx2－m)2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)；或當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|＝eq\r(1＋eq\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋eq\f(1,k2))·eq\r((y1＋y2)2－4y1y2).當(dāng)k＝0時(shí)，直線平行于x軸，∴|AB|＝|x1－x2|.【典型例題2】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y＝x＋1與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|＝eq\f(eq\r(10),2)，求橢圓的方程．思路分析：設(shè)出橢圓方程，將橢圓方程和直線方程聯(lián)立消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量數(shù)量積和弦長(zhǎng)公式建立方程組求解．解：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,mx2＋ny2＝1，))得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)＞0，即m＋n－mn＞0.由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，∴eq\f(2(n－1),m＋n)－eq\f(2n,m＋n)＋1＝0，∴m＋n＝2.①又|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(8(m＋n－mn),(m＋n)2)＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(eq\r(10),2)))2，將m＋n＝2代入得mn＝eq\f(3,4).②由①②式，得eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(1,2)，,n＝eq\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(3,2)，,n＝eq\f(1,2).))故橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(3,2)y2＝1或eq\f(3,2)x2＋eq\f(y2,2)＝1.探究三中點(diǎn)弦問(wèn)題對(duì)中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用的解題方法——平方差法，其解題步驟為：(1)設(shè)點(diǎn)，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)；(2)代入，即代入圓錐曲線方程；(3)作差，即兩式相減，然后用平方差公式把上式展開(kāi)，整理．【典型例題3】已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，求：(1)以P(2，－1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；(2)斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程；(3)過(guò)Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．分析：可利用平方差法求解，在求軌跡方程時(shí)要注意變量的范圍．解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)為R(x，y)，則2x＝x1＋x2,2y＝y(tǒng)1＋y2.又A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，故有xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16.兩式相減，得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)．故kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4(y1＋y2))＝－eq\f(x,4y).(1)由kAB＝－eq\f(x,4y)＝eq\f(1,2)，得所求軌跡方程為x－2y－4＝0.(2)由kAB＝－eq\f(x,4y)＝2，得所求軌跡方程為x＋8y＝0(－4≤x≤4)．(3)由kAB＝－eq\f(x,4y)＝eq\f(y－2,x－8)，得所求軌跡方程為(x－4)2＋4(y－1)2＝20(－4≤x≤4)．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)混淆直線與圓錐曲線相切和直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)【典型例題4】過(guò)點(diǎn)(1,3)作直線與拋物線y＝x2－2x＋eq\f(17,4)交于一點(diǎn)，求此直線的方程．錯(cuò)解：設(shè)所求直線方程為y－3＝k(x－1)，把它代入拋物線方程y＝x2－2x＋eq\f(17,4)中，得x2－(2＋k)x＋k＋eq\f(5,4)＝0.由題意知，直線與拋物線相切，∴Δ＝(2＋k)2－4×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(k＋eq\f(5,4)))＝0，解得k＝±1.∴所求的直線方程為y－3＝±1×(x－1)，即x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.錯(cuò)因分析：對(duì)于拋物線，一條直線若與它相切，則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，反過(guò)來(lái)并不一定成立．與拋物線對(duì)稱軸平行的直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，但它不是拋物線的切線，因此，直線與拋物線相切，并不是直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件．上述解答把直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)問(wèn)題完全轉(zhuǎn)化為切線問(wèn)題，顯然是錯(cuò)誤的．正解：過(guò)平面上一點(diǎn)