2024年山東省濟南市萊蕪區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析） (二)

2024年山東省濟南市萊蕪區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.-2的倒數(shù)是（）

A.2B.—2C.~D.—

22

【答案】D

【分析】

本題主要考查了求一個數(shù)的倒數(shù)，根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：=

，-2的倒數(shù)是二，

2

故選：D.

2.下列幾何體中，其主視圖是三角形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查了判斷簡單幾何體的三視圖，旨在考查學(xué)生的空間想象能力.

【詳解】解：A：主視圖為三角形，符合題意；

B：主視圖為矩形，不符合題意；

C：主視圖為圓，不符合題意；

D：主視圖為矩形，不符合題意；

故選：A

3.2023年我國城鎮(zhèn)新增就業(yè)12440000人，將數(shù)字12440000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.1244xl08B.1.244xl08C.1.244xl07D.12.44xl07

【答案】C

試卷第1頁，共30頁

【分析】

本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)的方法，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為

axlO"的形式，其中141al<10,〃為整數(shù)是關(guān)鍵，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形

式，其中14同<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多

少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，〃是正整數(shù);

當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負(fù)整數(shù)，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可；

【詳解】12440000=1.244xlO7.

故選：C.

4.剪紙藝術(shù)是我國獨有的藝術(shù)形式之一，下列剪紙既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖

形的是()

【答案】D

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，如果一個平面圖形沿一條

直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞

著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中

心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義

進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

B.是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

D.既是軸對稱也是中心對稱圖形，故該選項符合題意；

故選：D.

5.如圖，AB//CD,/ECD=80。，EF平分NBEC,則()

cFD

試卷第2頁，共30頁

A.100°B.120°C.130°D.160°

【答案】C

【分析】

本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì),

角平分線的定義，由平行線的性質(zhì)可得，4EC=80。，由鄰補角的性質(zhì)可得4EC=100。,

由角平分線的定義可得48歷=50。，再由鄰補角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】ZECD=80°,

ZAEC=NECD=80°,

ZBEC=180°-ZAEC=180°-80°=100°,

EF平分/BEC,

ZBEF=-ZBEC=-xl00°=50°,

22

ZAEF=180°-ZBEF=180°-50°=130°,

故選：C.

6.實數(shù)a、6在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

ba

IIII.I，II.tII

-5-4-3-2-1012345

ab

A.a+b<0B.a-b>0C.-2a>-2bD.—<—

33

【答案】B

【分析】此題考查實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的運算和比較大小等知識，熟練掌握運算法則是解

題的關(guān)鍵.先由數(shù)軸得到2<3,-2<b<-l,再逐項做出判斷即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，2<a<3,-2<b<-l,

a+b>0,a-b>0,-2a<0<-2b,,

33

綜上可知，只有選項B正確，

故選：B

7.下列運算正確的是()

A.a~+6~=(a+6)~B.(a-

C.(-a。2)=—a^b5D.(%).(-2a6~)=-2a/，

【答案】D

【分析】

此題主要考查了完全平方公式的運用和同底數(shù)幕的乘法運算以及幕的乘方運算，根據(jù)完

試卷第3頁，共30頁

全平方公式和同底數(shù)幕的乘法運算法則以及幕的乘方運算法則計算后判斷即可.

222

【詳解】解：A.a+b=(a+b)-2ab,原計算錯誤，故該選項不符合題意;

B.(a-b>)=a2-2ab+b2,原計算錯誤，故該選項不符合題意;

C.(-ab2>)=-a3b6,原計算錯誤，故該選項不符合題意；

D.(ab2)-(-2ab2)=-2a2b4,原計算正確，故該選項符合題意；

故選：D.

8.某校開展“龍的傳人”演講比賽，每班選兩名選手參加比賽，九(1)班的小華，小麗,

小軍，小明積極報名參賽，從他們4人中選2名參賽，選中小華和小軍的概率是()

1111

A.—B.-C.-D.-

12632

【答案】B

【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖即可求解，掌

握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)小華、小麗、小軍、小明分別用4B、C、。表示,

畫樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖可得，共有12種等結(jié)果，其中選中小華和小軍的有2種，

，選中小華和小軍的概率是二2=1

126

故選：B.

9.如圖，在中，AC=BC,NBAC=36°,以點/為圓心，以/C為半徑作弧交48

于點。，連接CD,以點。為圓心，以。。為半徑作弧交4D于點￡,分別以點為

圓心，以大于!CE的長為半徑作弧，兩弧交于點尸，作射線。2交ZC于點尸，以下結(jié)

2

論不正琥的是()

A./CDF=36°B.AF=BD

試卷第4頁，共30頁

AB^AABC

【答案】D

【分析】

此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的作圖及性質(zhì)，

解一元二次方程，根據(jù)題中的作圖步驟，得出。P平分再結(jié)合/C=3C,

NBAC=36。,可得出圖中相等的邊，相等的角，由此可證明A/CDSAOB,據(jù)此可解

決問題.熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題中的作圖步驟可知，AC=AD,DP平分NCD4.

,：ABAC=36°,AC=BC,

：.ZCZ)^=Z^CZ)=1x(180o-36o)=72o,ZB=ZBAC=36°,ZACB=1OS°

：?NCDF=N4DF=I7牙=36,ZCFD=12°,ZBCD=ZACB-ACD=36°,

2

故A選項中的結(jié)論正確.

ZA=ZADF=36°,

AF=DF.

ZFCD=ZCFD=72°,

???DF=CD.

丁/B=NDCB=36。,

：.CD=BD,

：.AF=BD.

故B選項中的結(jié)論正確.

VZBAC=ZCDF=36°,ZACD=ZDCF,

AACDS^DCF,

,ACCDACAF

??=,叫"=,

CDCFAFCF

AF+CF〔CFAF人CF

即Rn：-------=1+一=一,令——=t,

AFAFCFAF

則1+1J,解得：yI二1（負(fù)值舍去）,

t2

.CFV5-1

??-------------?

AF2

不妨令。尸=有-1,AF=2,

則AD=AC=y/5-1+2=45+1.

又：BD=AF=2,

試卷第5頁，共30頁

/.715=75+1+2=6+3,

,CF_=布-1=4囪一8

'AF石+3（3+君卜（3-6）4

故C選項中的結(jié)論正確.

.廣△CDF=CF二期-1,

S&ADF4F2

.S“DF_CF_也_3-也

S/XACD/CV5+12

又.廣用_AD_也-\

S/L4BCABJ~5+32

:.建辿=三具蟲」=出一2,

S/LIBC22

故D選項中的結(jié)論錯誤.

故選：D.

10.若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角

形.有下列結(jié)論：

①已知Ay43c是比例三角形，AB=4,BC=5,那么/C=2百；

②在。8c中，點。在/C上，且4D=3C,ZABD=NC,那么AA8C是比例三角形;

③如圖，在四邊形4BCD中，己知BD平分/ABC,AB1AC,ADLCD,

那么“3C是比例三角形；

④已知直線;；=岳+30與x軸、V軸交于點48,點C（3,0）,那么小BC是比例三角

形.

其中，正確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】

本題考查新定義比例三角形、勾股定理、相似三角形，理解新定義是解題關(guān)鍵.

試卷第6頁，共30頁

①應(yīng)該有3種情況，②條件不足，③用相似三角形定義判定A/BCSADCN,得到

AC-=ADBC,進(jìn)而求解乙4。8=44助，得至U48=/￡),即可得證；④由解析式求48

坐標(biāo)，確定三邊長度，即可得證.

【詳解】①三角形ABC是比例三角形，若AC?=/BBC,那么/C=2百；若/爐=4c?BC,

那么/C=￡；若BC°=AB,AC,那么/C=25,因此①錯誤；

②已知NO=8C,ZABD=/C,無法證得三角形Z8C一條邊的平方等于另外兩條邊的

乘積，因此②錯誤；

③因為所以/DZC=//CS,又因為48_L/C,ADVCD,所以

Z.ADC=Z.CAB,所以A4BCSADC4,---=---,可以得到/C?=/DBC;因為

ACAD

AD\\BC,所以N4DB=NCBD；又因為8。平分/4BC,所以ZABD=NCBD,

ZADB=ZABD,AB=AD,因此/C?=/公臺。，三角形NBC是比例三角形，因此③正

確；

④已知直線的解析式，可以求出點/(-3,0)、點以0,3。)，那么/C=6,48=6,BC=6,

三角形任意一條邊的平方都等于另外兩條邊的乘積，三角形ABC是比例三角形，因此

④正確；

綜上所述，正確的序號有③④，答案是選項C.

二、填空題

11.因式分解：x2-3x=.

【答案】x(x-3)

【詳解】試題分析：提取公因式x即可，即x2-3x=x(x-3).

考點：因式分解.

12.為刺激消費，某商店舉行促銷活動，凡在本店購物總額超100元，便有一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)

盤(如圖)返現(xiàn)金機會，指針停在線上無效，重轉(zhuǎn)一次，某顧客購物超100元，他獲得

20元返現(xiàn)金的可能是.

試卷第7頁，共30頁

【答案叱

【分析】

本題主要考查了概率公式，隨機事件A的概率尸(/)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+所有

可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

【詳解】解：獲得20元返現(xiàn)金的次數(shù)是1,則獲得20元返現(xiàn)金的可能是」.

12

故答案為：—.

Y1

13.已知代數(shù)式丁三比二一大2,則工=

3x-22-3x

【答案】1

【分析】

本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，先變分式方程為整式方

程，然后解整式方程，最后對方程的解進(jìn)行檢驗即可.

【詳解】解：?.?代數(shù)式廠三比一1大2,

3x-22-3x

A-............--2,

3x-22—3x

去分母得：x+l=2(3x-2),

解得：x=l,

經(jīng)檢驗X=1是原方程的解.

故答案為：1.

14.如圖，正五邊形的一條邊在正六邊形的一條邊/C上，則度.

【答案】12

【分析】

本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，利用求多邊形的內(nèi)角和公式，得出正五邊形的內(nèi)角、

正六邊形的內(nèi)角是解題關(guān)鍵，根據(jù)正多邊形的內(nèi)角的求法，可得/胡￡、ZDAB,進(jìn)

而可得答案.

【詳解】：正五邊形的內(nèi)角=0-2)x180。=]08。,

試卷第8頁，共30頁

十、、-uTT/4A.qA（6—2）x180°

,?,正六邊形的1內(nèi)角=^^——-----=120°,

6

ZBAE=nO0,

ZDAE=ZBAE-ZDAB=120°-108°=12°,

故答案為：12.

15.某學(xué)校的八年級學(xué)生到距學(xué)校2千米的勞動基地參加植樹活動，一部分人步行，另

一部分人騎自行車，他們沿相同的路線前往，如圖，4，4分別表示步行和騎車的人前

往目的地所走的路程興千米)隨時間式分鐘)變化的函數(shù)圖象,則騎車的人用分

鐘追上步行的人.

“/千米

2------------------

051015202530x/分

【答案】y

【分析】

本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取信息，理解坐標(biāo)含義是解本題的關(guān)鍵，先求解騎車與步

行的速度，再建立方程求解即可.

【詳解】解：由圖象可得：騎車的人的速度為每分鐘2+(2575)=0.2千米，

步行的速度為每分鐘：2+30=3千米，

設(shè)騎車的人用x分鐘追上步行的，則

—(x+15)=0.2x,

15''

解得：尤=:，

2

???騎車的人用y分鐘追上步行的，

故答案為：v-

2

16.如圖，在矩形4BCZ)中，AB=2,BC=3,點尸為CD的中點，將尸沿4尸折

疊，點。的對應(yīng)點為連接尸。并延長，交于點尸，CP的長為.

試卷第9頁，共30頁

3

【答案】4

【分析】

此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，過點〃作

分別交ZB、CD于點M、N,即可判定四邊形/跖VD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出

ZD=ZAD'F=90°,DF=D'F=1,AD=AD'=3,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出

4MAD'

AMAD'=/FD'N,進(jìn)而推出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=,

DNFD

,,,_____,,3

設(shè)D，N=x,貝l]MD'=3-x,根據(jù)勾股定理求出=根據(jù)比例的性質(zhì)求出x=1，

根據(jù)勾股定理求出網(wǎng)=:,再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求解即可.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

求出。W是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過點〃作跖V〃/。，分別交A3、CD于點W、N,

?.?四邊形/BCD是矩形，

；.NBAD=ND=90°,AD=BC=3,AB=CD=2,

:MN//AD,

：.ZAMN+ZBAD=180°,ZD+ZDNM=180°,

ZAMN=ZDNM=90°,

四邊形4VCVD是矩形，ZAD'M+ZMAD'=90°,

:.MN=AD=3,

:點尸為C。的中點，

DF=CF=\,

:將尸沿脛?wù)郫B，點。的對應(yīng)點為DC,

/.ZD=ZAD'F=90°,DF=D'F=\,AD=AD'=3,

：.ZAD'M+NFD'N=90°,

：.ZMAD'=AFD'N,

試卷第10頁，共30頁

又：ZAMN=ZDNM，

：.△AMD"八D'NF,

.AMAD'

,?麗―初‘

設(shè)。W=x,則M>=3-x,

AM=AD'2-MD'2=^32-（3-X）2=yJSx-x?，

.<6x-x23

X1

3

：.x=-^x=O（舍去），

3

即Z）W=|,

FN=1DF-DN。=J-[I=|>

3

CP嘰1.2

tanZCFP=——

CFFNi4

5

3

：.CP=-

4

3

故答案為:

4

三、解答題

17.計算：一［一匕］+(^-3.14)°-cos45°.

【答案】-2.

【分析】本題考查了化簡絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算，零指數(shù)幕運算和三角函數(shù)值的

運算，先化簡絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算，零指數(shù)幕運算和三角函數(shù)值的運算，再進(jìn)

行實數(shù)的運用即可，熟練掌握運用法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

解：原式="一3+1一包，

22

=-2.

3(x-l)<x+l

18.解不等式組x+2x，并寫出所有整數(shù)解.

---->—

135

【答案】不等式組的解集為-5Vx<2；-4,-3,-2,-1,0,1

【分析】

試卷第11頁，共30頁

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集等知識，能根據(jù)不等式

的解集找出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

【詳解】

3(x-l)<x+l@

解：\x+2x公

1-3---->-5-②

由①得：x<2,

由②得x>—5，

，不等式組的解集為-5<x<2,

.,.整數(shù)解為-4,-3,-2,-1,0,I.

19.如圖，已知。為Y4BCD對角線NC的中點，過點。的直線與4B、CD的延長線

相交于點￡、F.求證：BE=DF.

FDC

ABE

【答案】見詳解

【分析】

本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)得出AB=CD,NOAE=ZOCF,再用ASA證明AAOE冬MOF,即可證明AE=CF,

再利用線段的和差和等量代換即可證明BE=DF.

【詳解】

證明：?.?四邊形/BCD為平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

NOAE=ZOCF,

:。為/C的中點，

AO=CO,

在△/￡?￡和ACO尸中

ZOAE=ZOCF

<AO=CO,

NAOE=ZCOF

:.AAOE知COF(ASA),

AE=CF,

試卷第12頁，共30頁

AE-AB=CF-CD,

即BE=DF.

20.如圖1是一種手機支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，圖2是

其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板=120mm,支撐板CD=110mm,底座DE,托板48

固定在支撐板頂端。處，且CS=40mm,托板可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板可繞點。

轉(zhuǎn)動.

圖1圖2

⑴若/DC3=70。，NCDE=60°,求點/到直線DE的距離.(精確至iJO.lmm)

(2)為了觀看舒適，在(1)的情況下，把繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)20。后，再將CD繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)，使點2落在直線。￡上，求旋轉(zhuǎn)的角度大約是多少度？

參考數(shù)據(jù)：(sin40°*0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839,sin20°?0.342,

cos20°?0.940,tan20°?0.364,G*1.732).

【答案】⑴點/到直線DE的距離是156.5mm

(2)40°

【分析】

本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；

(1)過點C作CFLDE于點尸，過點/作NGLCF于點G,由題意易得。尸=55方，

則有/BCF=4CG=40。，然后問題可求解；

(2)由題意易得ZZ)C8=90。，然后可得1211/8。。=五=詢70.3636,進(jìn)而問題可

求解

【詳解】(1)

解：過點。作CFLDE于點尸，過點/作NGLCF于點G,

試卷第13頁，共30頁

在RtZ^C。廠中，ZCDE=60°,

CF

sin60°=—

CD

,6_CF

?—-TT5

:?CF=556

?：CF±DE,

：.ZCFD=90°f

：./DCF=90°-ZCDE=90°-60°=30°,

ZBCF=ZDCB-ZDCF=70°-30°=40°,

???ZBCF=ZACG=40°f

在Rt/iZCG中，ZACG=40°,AC=120-40=SOmm,

：.cos40°=—,0.766=—,

AC80

???CG=61.28,

???G/=CG+C尸=61.28+55鳳156.5,

???平行線間的距離處處相等，

...點N到直線DE的距離是156.5mm.

(2)

在RM8CZ)中，

40

tanNBDC=——=——?0.3636,

CD110

???NBDC=20°,

???60°-20°=40°,

試卷第14頁，共30頁

/.CD旋轉(zhuǎn)40。.

21.某校對九年級學(xué)生進(jìn)行了一次“讀名著誦經(jīng)典”知識競賽，并隨機抽取甲、乙兩班學(xué)

生(人數(shù)相同)的競賽成績(滿分100分)進(jìn)行整理，描述分析，下面給出部分信息：

甲班成績的頻數(shù)分布直方圖如圖所示(數(shù)據(jù)分為6組：A：40<^<50,B：50Mx<60,

C:60Vx<70,D:70Mx<80,E:80Vx<90,F:904尤4100),其中90分以及90分

以上的人為優(yōu)秀；甲班的成績在70Mx<80這一組的是：71,72,72,73,74,75,76,

77,77,78,78,78,79.甲、乙兩班成績的平均數(shù)、中位數(shù)和優(yōu)秀人數(shù)如下表：

平均數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀人數(shù)

甲班成績76m3

乙班成績73725

⑴統(tǒng)計圖中50Mx<60組對應(yīng)扇形的圓心角是度；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)表中m的值是；

(4)如果該校九年級學(xué)生有300名，估計九年級學(xué)生成績優(yōu)秀的有多少人?

【答案】(1)57.6

⑵見解析

(3)77

(4)24

【分析】

本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)問題，旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.

(1)根據(jù)E組的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)求出抽取的甲班學(xué)生人數(shù)，即可求解;

(2)計算出C、尸組的人數(shù)即可求解；

(3)中位數(shù)，是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)).

(4)計算出樣本中優(yōu)秀人數(shù)所占比例即可求解.

試卷第15頁，共30頁

【詳解】（1）解：由題意得：抽取的甲班學(xué)生人數(shù)為：17+34%=50（人）

O

，統(tǒng)計圖中50Mx<60組對應(yīng)扇形的圓心角是：—X360°=57.6°

故答案為：57.6

故答案為：77

（4）解：300X2_=24（人）

50x2

即：估計九年級學(xué)生成績優(yōu)秀的有24人

22.如圖，為O。的直徑，BE與G。相交于點C,過點C的切線垂足

為點D.

E

（2）若/3=6,CB=4,求CD的長.

【答案】（1）見解析；

⑵CD=拽.

3

【分析】（1）連接OC,由切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可求證；

CDAC

（2）連接ZC,由勾股定理求出/C的長，證明A/DCSA/CB,得出丁=），即可

求解;

試卷第16頁，共30頁

本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，和勾股定理,

熟練掌握以上知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

(1)證明：連接OC,

???CQ是。。的切線,

???OCLCD,

又

???AE//OC,

：.ZE=ZOCB,

?.?OC=OB,

：./B=ZOCB,

???/E=/B,

**?AE=AB;

(2)連接NC,

NB為。。的直徑，

AZACB=90°,即/C_L8E,

.,.在中，由勾股定理得/C=，/爐_叱=用孑=2右，

:AB=AE,AC1BE,

試卷第17頁，共30頁

ZEAC=ZBAC,

又NADC=ZACB=90°,

...LADCSAACB,

.CD_ACCD2V5

??一,--------,

BCAB46

：.CD=^-.

3

23.為全面貫徹黨的教育方針，保障學(xué)生每天在校1小時體育活動時間，某校計劃采購

部分籃球和足球，已知1個籃球和2個足球一共120元，3個籃球和4個足球一共270

元.

(1)求籃球，足球的單價分別是多少元；

(2)該校需購買足球和籃球一共100個，且足球的數(shù)量不少于籃球數(shù)量的:，那么購買足

球和籃球各多少個時花費最少？最少花費是多少元？

【答案】(1)每個足球的價格為45元，每個籃球的價格為30元

(2)足球購買20個，籃球購買80個，總費用最少，此時總費用為3300元

【分析】

本題考查二元一次方程組和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和函

數(shù)關(guān)系式.

(1)設(shè)籃球的單價為N元，足球的單價為V元，可得':即可解得答案；

[3x+4y=27。

(2)設(shè)購買。個足球，根據(jù)足球的數(shù)量不少于籃球數(shù)量的!得：a>!(100-a),求出

^>20,而平=45。+30(100—。)=15。+3000,根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解：設(shè)籃球的單價為&元，足球的單價為y元，

根據(jù)題意得：[xw+上2y=;1"2鼠0

[3x+4y=270

x=30

解得

7=45

每個籃球的價格為30元，每個足球的價格為45元；

(2)

解：設(shè)購買。個足球，則購買(100-。)個籃球，購買足球和籃球總花費為沙元,

根據(jù)題意得：a>y(100-a),

試卷第18頁，共30頁

解得a之20,

獷=45。+30(100-a)=15?+3000,

vl5>0,

.,?沙隨。的增大而增大，

.??當(dāng)。=20時，，取最小值；

.??當(dāng)〃二20時，少取最小值，最小值為15x20+3000=3300,

???足球購買20個，籃球購買80個，總費用最少，最少總費用為3300元.

24.如圖，一次函數(shù)了=-^x+l的圖象與反比例函數(shù)>的圖象交于點尸(。,2),

與y軸交于點Q.

⑴求a、左的值；

⑵直線N5過點尸，與反比例函數(shù)圖象交于點N,與x軸交于點3,AP=PB,連接

①求△/尸。的面積；

②點M在反比例函數(shù)的圖象上，點N在x軸上，若以點M、N、P、。為頂點的四邊形

是平行四邊形，請求出所有符合條件的點"坐標(biāo).

【答案】(l)a=-2,k=-4

(2)①李②卜川，(一4,1)

【分析】

(1)將尸點坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求出。的值，再將坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式

可求出左的值；

(2)過點/作了軸，交尸。于點H,設(shè)2的坐標(biāo)(80),點/的坐標(biāo)為日耳，根

據(jù)尸的縱坐標(biāo)，可以求出〃的值，進(jìn)而求出A點坐標(biāo)，求出。點坐標(biāo)，根據(jù)可求出77點

坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長，S&APQ=S^PH+SMHQ，在VNPH和A/H。中，AH為底邊,

高分別是尸點、了軸到的距離，根據(jù)點P、點A的橫坐標(biāo)即可求得，根據(jù)面積公式

試卷第19頁，共30頁

計算即可；

（3）分兩種情況，當(dāng)血W和尸。為對角線時，可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及平移來

確定M點縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出M的坐標(biāo)；當(dāng)和NP為對角線時，以及平移來確定M

點縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出對應(yīng)”點坐標(biāo)，從而求解.

【詳解】（1）

解：⑴把點尸（。,2）代入了=-；x+l解得，a=-2,

把尸（-2,2）代入y=!解得，k=-4；

x

（2）

??k=-4,

4

，反比例函數(shù)解析式為y=——.

x

①設(shè)8的坐標(biāo)（。，0）,點N的坐標(biāo)為（/，〃），

VAP=PB,尸（-2,2）,

〃=4,才巴代入y=_±得：Z=-1,

x

.?.點/（-1，4）,

..,一次函數(shù)V=-；x+l的圖象與夕軸交于點

...0的坐標(biāo)為（0,1）,

過點N作軸，交PQ于點、H.則點"坐標(biāo)（T,'|

試卷第20頁，共30頁

???Sf。=SBH+S4H2=1+；xAHx1=p

（〃）

②設(shè)點Mm,----j,N,O,

VP（-2,2）,。（0,1）,點M、N、P、。構(gòu)成平行四邊形;

當(dāng)MN和尸0為對角線時，如下圖:

Q點可看做是將N點先向右平移I?I個單位，再向上平移。。個單位得到，

故M點也是相應(yīng)關(guān)系，即尸點向右平移同個單位，再向上平移。。=1個單位，如下圖:

故W點的縱坐標(biāo)為尸點縱坐標(biāo)加。。：加=2+1=3,

44

即——=3,m=——

m3

試卷第21頁，共30頁

M的坐標(biāo)為w，3

N點可看做是將。點先再向下平移。。個單位，向左平移向個單位得到，

故〃點也是相應(yīng)關(guān)系，即M點是尸點再向下平移個單位，再向左平移同個單位

m

m=-4,

故此時M點坐標(biāo)為：（-4,1）；

綜上，”點的坐標(biāo)為：［一*3］，（-4,1）,

【點睛】

本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)運用.并利用圖像

的平移找到點與點之間的關(guān)系，從而求解.

25.在中，AB=4C,/8ZC=a,點。是射線/C上的一點，連接2D,將線

段2。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)到。￡,旋轉(zhuǎn)角等于a,連接8￡、CE.

試卷第22頁，共30頁

A

D

⑴當(dāng)點。在線段/C上時，

①如圖1,若a=60。，則線段CE與的數(shù)量關(guān)系是________,此時，

NDCE=°；

②如圖2,若a=120。，則線段CE與線段4D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出說明，并求出

此時NDCE的度數(shù)；

⑵當(dāng)點。在射線NC上時，若a=90。，過點/作〃。后交8。于點"，AC=2CD,

猜想CE與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴①CE=4D,120；②CE=eAD,/DCE=150。，理由見解析

Q)CE=MAM或CE=^~AM,理由見解析

22

【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)①由SAS可證絲ACBE可得C￡=/。，△4=/8CE=60。即可求解；②通過

證明△力AD,可得---=---=A/39/BCD=/BAD=12?！?即可求解；

ADAB

(2)分兩種情況討論：當(dāng)點。在線段ZC上時，當(dāng)點。在線段/C延長線上時，通過

設(shè)出CD的長度，由股定理可求CE的長，即可求解.

【詳解】(1)

解：?vAB=AC,ZA=60°,

是等邊三角形，

=ZACB=ZABC=60°,

將BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE,

DB=DE,ZBDE=60°,

:.ABDE是等邊三角形，

BD=DE=BE,NDBE=60°=ZABC,

試卷第23頁，共30頁

???/ABD=/CBE,

"BDaCBE(SAS),

/.CE=AD,AA=ZBCE=60°,

ZDCE=120o；

故答案為：CE=AD,120；

②CE=&D,ZDCE=150°,理由如下：

?.?AB=AC,4=120。

ZABC=ZACB=30°,

如圖所示，過點/作力廠IBC于尸，

:?BC=2BF,AF=-AB,

2

________巧

：.BF=y/AB2-AF2=—AB,

2

/.BC=s/3AB,

???將。3繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到?！?

DB=DE,ABDE=120°,

ADBE=ZDEB=30°=/ABC,

ZABD=ZCBE,

同理可得BE

:./\ABD^/\CBE,

CEBC[T

：.—=—=J3,ZBCD=ZBAD=120°,

ADAB

CE=43AD,ZDCE=ZDCB+ZBCE=150°；

(2)

解：CE=?~AM或CE=叵~AM,理由如下：

22

如圖，當(dāng)點。在線段/C上時，

試卷第24頁，共30頁

A

vAM//DE,

/.ZAMD=NBDE=90°,

AC=2CD,

/.AD=CD,

同理可證明AABDs^CBE,

—亞

ADAB

設(shè)CD=x,則=AB=AC=2x,CE=?x，

BD=^AB-+AD2=&，

???S..^-ABAD^-BD-AM,

/AADRUn22

AB?AD_2x-x_2\/~5x

BDV5x5

如圖，當(dāng)點。在線段ZC的延長線上時

試卷第25頁，共30頁

A

vAM//DE,

ZAMD=NBDE=90°,

'：AC=2CD,

???設(shè)CZ)=x,則4Z)=3x,AB=AC-2x,CE=3Cx，

BD=siAB2+AD2=V13x，

???=-AB-AD=-BD-AM,

4ADU22

AB?AD2x-3x6\f\3x

二.AM=-----------=i—=----------,

BDV13x13

.CE_3A/2X_V26

'AM~6V13-2

-------x

13

57

???CE=--AM;

2

綜上所述，CE=?~AM或CE=^^~AM.

22

26.拋物線與x軸交于4,5兩點,與丁軸交于點G頂點為D已知點5（-4,0）,C（0,4）.拋

物線的對稱軸是直線X=-1,P為拋物線上一動點，點尸的橫坐標(biāo)為加（加＞-|）,過

點尸作x軸的平行線交拋物線于另一點M.

試卷第26頁，共30頁

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)是等邊三角形時，求加的值及此時三角形的邊長；

⑶過點尸作x軸的垂線尸N,垂足為N,設(shè)直線九W交直線3c于點尸，是否存在這樣

的加值，使MN=2MF?若存在,求出此時正的值；若不存在，請說