2021-2022學(xué)年河南八市重高聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知直線私77和平面a,若貝!]是"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.不充分不必要

2.7(x)=Acos(a>x+0)(A>O,o>O)的圖象如圖所示，g(x)=-Asin(cox-,若將y=/(X)的圖象向左平移

a(a>0)個(gè)單位長度后所得圖象與y=g(x)的圖象重合，則?？扇〉闹档氖?)

711

C.---71D?—71

1212

3.2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨(dú)立完成一

幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、國富民強(qiáng)”、“興國之路”,為了弄清“國富民強(qiáng)”

這一作品是誰制作的，村支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：

小明說：“鴻福齊天”是我制作的；

小紅說：“國富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；

小金說：“興國之路''不是我制作的，

若三人的說法有且僅有一人是正確的，貝心鴻福齊天”的制作者是()

A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明

4.復(fù)數(shù)滿足z+忖=4+8i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.如圖,在直角梯形ABCD中,AD±DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若C4=ACE+"DB(兒"eR),

則的值為()

4B

D

8

D.

3

6.已知|2a+W=2,a-be[-4,0],則同的取值范圍是（

)

-1/

A.[0,1]B.~,1C.[1,2]D.[0,2]

7.設(shè)i為虛數(shù)單位，z為復(fù)數(shù)，若目+/?為實(shí)數(shù)加，則機(jī)=（）

Z

A.-1B.0C.1D.2

22

8.已知雙曲線2r=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，過工作一條直線與雙曲線右支交于4B兩點(diǎn),

ab

坐標(biāo)原點(diǎn)為。，若|。4『=/+/,忸1|=5。，則該雙曲線的離心率為（）

.715RVio「岳nVio

2233

9.若羽。力均為任意實(shí)數(shù)，且（4+2）2+僅—3）2=1,貝聯(lián)了―4+（1nA,2的最小值為（）

A.3&B,18c.3A/2-1D.19-672

10.某個(gè)命題與自然數(shù)〃有關(guān)，且已證得“假設(shè)〃=左（4CN*）時(shí)該命題成立，則〃=%+1時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知

當(dāng)〃=7時(shí)，該命題不成立，那么（）

A.當(dāng)〃=8時(shí)，該命題不成立B.當(dāng)〃=8時(shí)，該命題成立

C.當(dāng)〃=6時(shí)，該命題不成立D.當(dāng)〃=6時(shí)，該命題成立

11.已知函數(shù)/（無）=%+。-2工，g（x）=lnx-4a-2r,若存在實(shí)數(shù)%,使/5）一8（%0）=5成立，則正數(shù)。的取

值范圍為（）

A.（0,1]B.（04]C.[L+oo）D.（0,ln2]

12.定義在[—2,2]上的函數(shù)/（x）與其導(dǎo)函數(shù)/'（九）的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C、。四點(diǎn)的橫

坐標(biāo)依次為-；、一：、1、p則函數(shù)y=/字的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)aeR,若函數(shù)y=e*+eH有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

14.設(shè)集合4=｛-1,a｝,B=『，2］（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），且則滿足條件的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為.

15.已知數(shù)列｛%｝滿足。1=1,g=g對任意n>2,neN*,若4（an_.+2an+1）=3an_xan+x,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式

16.已知點(diǎn)4（0,-1）是拋物線爐=2外的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，尸為拋物線上的點(diǎn)，且伊耳=74"|,若

雙曲線C中心在原點(diǎn)，尸是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過產(chǎn)點(diǎn)，當(dāng)機(jī)取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐尸-A5CD中底面ABC。是菱形，Za4D=6O°,是邊長為2的正三角形，

PC=M，E為線段AD的中點(diǎn).

（1）求證：平面P3CJ_平面尸3E；

3

（2）是否存在滿足PE="T（2>0）的點(diǎn)尸，使得?若存在，求出彳的值；若不存在，請說明理

由.

18.（12分）已知不等式|2x—1|—卜+1|<2的解集為｛x[a<無<。｝.

（1）求實(shí)數(shù)a,b的值；

3ab、k

（2）已知%>y>z存在實(shí)數(shù)左使得-2（.y）+4（y_z）二恒成立'求實(shí)數(shù)左的最大值.

19.（12分）已知函數(shù)〃x）=|2x—l|+|2x+l|,記不等式/（x）<4的解集為〃.

（1）求

（2）設(shè)證明：|聞一同一同+l>0.

20.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中,四邊形ABC。是直角梯形，ABL4。,T18//8,尸。，底面48。。

鉆=240=28=4,尸。=24,后,是。5的中點(diǎn).

（1）.求證:平面E4C,平面PBC;

（2）.若二面角P-AC-E的余弦值為'，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

21.（12分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把A5,。,。四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用

（1）在一次全民健身活動中，四個(gè)籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從A3,。,。四場館的使用場數(shù)中依次

抽取囚,2,%,%共25場，在中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和自的分布列和數(shù)學(xué)期望;

場數(shù)

（2）設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為x,其相應(yīng)維修費(fèi)用為y元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù):

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

z=0.1即+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z與X的回歸直線方程;

②小叫做籃球館月惠值‘根據(jù)①的結(jié)論'試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)'的值

23

參考數(shù)據(jù)和公式：z=4.5,￡(x,.-%)=700,￡&一x)(z,-z)=70,e=20&=-------=------,a^l-bx

!=1，=11

i=l

x=l+tcosa

22.(10分)在直角坐標(biāo)系x0y中，直線/的參數(shù)方程為,.a為參數(shù),0Wa<〃).在以。為極點(diǎn)，工軸

y=l+tsma

正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線C：夕=4cos①

冗

(1)當(dāng)。=一時(shí)，求C與/的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；

4

(2)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),線段A5中點(diǎn)為求IABI的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由線面關(guān)系可知他」〃，不能確定〃與平面々的關(guān)系，若“〃夕一定可得〃即可求出答案.

【詳解】

ml.a,ml.n,

不能確定〃ua還是〃aa,

nila,

當(dāng)〃〃e時(shí)，存在aua,nila,,

由根J_tz=>根J_a,

又M/a,可得加J_〃，

所以"機(jī)_L〃"是"nila"的必要不充分條件，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

2.B

【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)y=/(x)的解析式，即可得出函數(shù)y=g(x)的解析式，然后求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合題意

可得出關(guān)于。的等式，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由圖象可得A=l,函數(shù)y=/(x)的最小正周期為T=4x［意—?，.、。二字=2,

/TC7CTC

則----\-(p=7i+lkji[kGZ),:.cp=----b2^(^eZ),取夕=---,

666

「?/(%)-cos2x-—\,貝！|g(x)=-sin2x+—=cos2x+

cosf2x+2a-7-1\,2a--=—+2k7i,可得a='

：?g(x)=/(x+a)=+左乃(左eZ),

I6；6312

當(dāng)左=0時(shí)，a=—.

12

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

3.B

【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.

【詳解】

依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：

123456

鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金

國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明

興國之路小金小紅小明小金小明小紅

若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作

者是小紅，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

設(shè)2=4+砥。力e"),貝(]2+忖=4+4+力2+/=4+8?？傻?，"+'即可得到z,進(jìn)而找到對應(yīng)的點(diǎn)所

b=8

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+4(a,beR),則z+目=a+6+yjcr+tr=4+83

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為(-6,8)，在第二象限.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算能力.

5.B

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示C4,CE,D3,利用C4=XCE+〃D5(%〃eR),列出方程組求解即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則0(0,0).

不妨設(shè)A5=L則C0=AO=2,所以C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(O,1),

:.CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

CA=ACE+RDB

A(-2,2)=〃-2,2),

Ao=—6

—2%u——258

產(chǎn)解得則X+〃=g.

k+2〃=22

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.

6.D

【解析】

設(shè)機(jī)=2a+b,可得=a-m-2a2G[-4,01,構(gòu)造(。一，加2+」■加之，結(jié)合帆=2,可得a-^-me

4164|_22

根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設(shè)機(jī)=2a+b，則帆=2,

b-m-2a,a-b=a-m-2a2eT，°]，

1111

:.(a—m)2=〃2—a*m-\---m2<H-----m2

421616

2HZ?1

\m^=m=49所以可得：—

82

配方可得工=工機(jī)2V2(q—工機(jī))2<4+,根2=2,

28482

1「13一

所以。一7〃心)

又IM-131m+l—II

—m

4

則同e[0,2].

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

7.B

【解析】

\z\a+lyla2+b~-b\i_____

可設(shè)z=a+初將□+/化簡，得到<),由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得不3-0=0,解方程即

zsja2+b2

可求解

【詳解】

設(shè)z=a+〃(a/eH),則忖??苗(a—bi)、尸.+('：2+,2_“1

za+bia2+b1J/+白

由題意有一b=ona=o,所以加=0.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

8.B

【解析】

由題可知PH=C=T4閭，4Ag=90。，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得閭+2a,對放.A畢有

|叫『+|期2=網(wǎng)「，

即(卜閭+2“+(|A閭+3a)2=(5a)2,解得,閭=匹再對RtZXAEG由勾股定理可得/+(3d=(2c『，化簡

即可求解

【詳解】

如圖，因?yàn)閨%|=5a,所以忸用=5々-2a=3a.因?yàn)閨。4|='="片閭所以/呼隹=90。.

在RA中，|然『+,目2=忸耳『，即(|A閭+2aY+(|A司+3”=(5才，

得,閭=4,則,用=a+2a=3a.在RtZ\A4心中，由/+(34丫=(2°)2得6=￡=@^.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題

9.D

【解析】

該題可以看做是圓上的動點(diǎn)到曲線y=In%上的動點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線J=In%上的

動點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直

的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線y=In%上的點(diǎn)與以c(-2,3)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可

以求曲線y=In%上的點(diǎn)與圓心C(—2,3)的距離的最小值，在曲線y=1皿上取一點(diǎn),曲線有y=In%在點(diǎn)

M處的切線的斜率為6=一,從而有%,?《=-1,即已二——=—1,整理得如72+濟(jì)+2m—3=0,解得m=1,

mm+2tn

所以點(diǎn)(1,0)滿足條件，其到圓心。(―2,3)的距離為d=J(—2-+(3—0『=30，故其結(jié)果為

(3拒=19-672,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.

10.C

【解析】

寫出命題“假設(shè)〃=左(AeN*)時(shí)該命題成立，則〃=上+1時(shí)該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真

假性一致進(jìn)行判斷.

【詳解】

由逆否命題可知，命題“假設(shè)〃=左(左eN")時(shí)該命題成立，則〃=左+1時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)

“=左+1(左eN*)時(shí)該命題不成立，則當(dāng)〃=左時(shí)該命題也不成立”，

由于當(dāng)〃=7時(shí)，該命題不成立，則當(dāng)〃=6時(shí)，該命題也不成立，故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用，解題時(shí)要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷，考查

邏輯推理能力，屬于中等題.

11.A

【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)％滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形4a2』=1叫+5-%,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=lnx+5—%,并由

導(dǎo)函數(shù)求得可”的最大值；由基本不等式可求得a.2%+4/2』的最小值，結(jié)合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)a

的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)/(x)=x+a?2*,g(x)=hu-4a.2T,

-Ab

由題意得/(x0)-g(x0)^x0+?-2^-lnx0+4?-2=5,

x

即a?2%+4a?2-°=liu0+5-x0,

令〃(X)=1TLX+5-x,

h!(x\=——1=-——,

XX

.?"(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

???力()吟=%⑴=4，而a.2%+4a?2,22a也為42,=4a>

當(dāng)且僅當(dāng)2%=4-2/，即當(dāng)飛=1時(shí)，等號成立，

:.4a<4,

/.0<<1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.

12.B

【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù),的導(dǎo)數(shù)為

ex

yJx)T(x),由y，<0,得出r只需在圖中找出滿足不等式/'(x)</(x)對應(yīng)的X的取值范圍

ex

即可.

【詳解】

若虛線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎

題意；

若實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與x軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，

合乎題意.

對函數(shù)y=/區(qū)求導(dǎo)得y=‘("一,由y'<0得/'(x)</(x),

exex

由圖象可知，滿足不等式/'(X)</⑺的X的取值范圍是，),1；

因此，函數(shù)、=/邛的單調(diào)遞減區(qū)間為1-

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等

題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.a<—l

【解析】

先求導(dǎo)數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)為零的根，結(jié)合根的分布求解.

【詳解】

因?yàn)閥=e*+ax,所以y'=e*+a,令'=。得":一1，

因?yàn)楹瘮?shù)〉=1+以有大于0的極值點(diǎn)，所以］>1,即4=—e*<—1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問題，極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號零點(diǎn)，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.

14.1

【解析】

可看出這樣根據(jù)A'5。0即可得出。=2,從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為1.

【詳解】

解：A「,

a

「.a=2或a=e^9

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù),="與'=「的圖象，

由圖可知y=x與i無交點(diǎn)，無解，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為1.

y—匕..ci—e

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方人/程—C無解，屬于基礎(chǔ)題.

1

15.

2n-l

【解析】

由a“(a,”+2a“+J=3勾1T%+i可得L-工=2(--^),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得二---1=2",再利用

an+lanan4-10〃+1°n

累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

2

由4+2a“+J=3an_ran+l,得^廣=(--一丁)

Un+1UnUnUn-\

11cr11.

------=2,數(shù)列｛---------｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2,

“2a\an+\0n

——-=2",n>2,-———=2n-l,

4+1a?an4-1

i_2n

=2"-1+2n-2++2+1=-------=2"-l,

1-2

,1,1

"=L[=1,滿足上式，4=亍二p

故答案為:與二.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

16.72+1

【解析】

由點(diǎn)A坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到廠坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過尸作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,根據(jù)拋物線定義可得

PN\

—4=可知當(dāng)直線E4與拋物線相切時(shí)，加取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙

PA|

曲線定義得到實(shí)軸長，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

4(0,1)是拋物線公=2夕＞準(zhǔn)線上的一點(diǎn)：.p=2

二拋物線方程為V=4y.-.FfO,1),準(zhǔn)線方程為y=-l

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,貝!尸刊

PFPN

\,PF\,=m,\P^,：.-\—\=m

111PA||PA

設(shè)直線PA的傾斜角為e,貝!Jsincr=m

當(dāng)機(jī)取得最小值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線K4與拋物線相切

設(shè)直線9的方程為y=Ax-l,代入必=4＞得：x2-4kx+4=Q

.?.△=16父-16=0,解得：k=±l或（一2,1）

二雙曲線的實(shí)軸長為|PAHPH=2(、歷—1)，焦距為H耳=2

2=72+1

二雙曲線的離心率e2（72-1）

故答案為：V2+1

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)機(jī)

取得最小值時(shí)，直線E4與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得P點(diǎn)坐標(biāo).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)2.

【解析】

(1)利用面面垂直的判定定理證明即可；

3

(2)由P/=4/C,知+尸C,所以可得出力_尸尸8=,因此,^B-PAE~D-PFB

o_|_i

的充要條件是——=—,繼而得出彳的值.

24

【詳解】

解：（1）證明：因?yàn)椤?4。是正三角形，E為線段AO的中點(diǎn)，

所以？石，AD.

因?yàn)锳BC。是菱形，所以A￡>=A3.

因?yàn)?4￡>=60。，

所以△ABD是正三角形，

所以6ELAD,而BEcPE=E,

所以AO,平面P3E.

又AD//3C,

所以3C_L平面P瓦;.

因?yàn)锽Cu平面「5C,

所以平面PBC，平面PBE.

（2）由pk=XFC，知（丸+1）FC=PC.

所以，^B-PAE=~^P-ADB=]Vp_BCD=~~^F-BCD，

^D-PFB=^P~BDC-^F-BDC=^F-BCD?

因此，VB-PAE=1力一PFB的充要條件是m=T，

所以，2=2.

3

即存在滿足網(wǎng)=2/。（/1>0）的點(diǎn)尸，使得5_皿=[%“用，此時(shí)a=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力

和創(chuàng)新意識；考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

2

18.（1）a=——，6=4；（2）4

3

【解析】

（1）分類討論，求解X的范圍，取并集，得到絕對值不等式的解集，即得解；

11\

(2)轉(zhuǎn)化原不等式為：k<(x-y+y-z)——+——，利用均值不等式即得解.

(x-yy-z)

【詳解】

(1)當(dāng)x<—l時(shí)不等式可化為—(2x—l)+(x+l)<2nxe0

1?1

當(dāng)—1WxW5時(shí)，不等式可化為—(2x—1)—(x+l)<2n—

當(dāng)x〉g時(shí)，不等式可化為2x—1—(x+l)<2ng<x<4；

綜上不等式的解集為g，4]no=—I，b=4.

.23ab、k

(2)由(1)有。=一；，b=4,-----C+T7-----------------

32(x-y)4(y—z)x-z

o------------1------------>-----------,Vx>y>z

x-yy-zx-z

,、11x-yy-z

<^>k<<x-y+y-z)------------1------------=2-1------------------1------------,

..(x-yy-zJy-zx-y

/、

即左<2+士工+匚

Iy-zx-y)m.n

而2+=+二4

y-zx-y

%—VV—ZXI7

當(dāng)且僅當(dāng)：="一，即x—y=y—z,即y=L，時(shí)等號成立

y-zx-y2

：.k<4,綜上實(shí)數(shù)上最大值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對值不等式的求解與不等式的恒成立問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中

檔題.

19.(1){x|-l<x<l};(2)證明見解析

【解析】

(1)利用零點(diǎn)分段法將/(x)表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等式求得不等式的解集

(2)將不等式坐標(biāo)因式分解，結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.

【詳解】

—4羽％〈—

2

c11

(1)解：F(x)=-2,—＜工＜一

22

/1

4%,x＞—

2

由解得

故M={x|-1<x<1}.

（2）證明:因?yàn)樗酝?lt;1,同<1,

所以畫-（同+同）+1=（同t（網(wǎng)一1）>o,

所以|聞一同―網(wǎng)+1〉0.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題.

20.（1）見解析；（2）—.

3

【解析】試題分析：（1）根據(jù)PC，平面ABC。有PCLAC,利用勾股定理可證明故AC,平面PBC,

再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在C點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角P-AC-石的余弦值為分建

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.

試題解析：（I）PC1.平面ABCD,AC<=平面ABCD,AC±PC

因?yàn)锳B=4,AD=C0=2,所以AC=BC=后，所以+=筋2,所以又3CcPC=C,所以

AC，平面PBC.因?yàn)锳Cu平面EAC,所以平面E4C，平面PBC.

（II）如圖，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，ZM,Cr）,CP分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則

C（0,0,0）,A（2,2,0）,5（2,—2⑼.設(shè)P（0,0,2a）（a>0）,則E（l,—1,a）

C4=（2,2,0）,CP=（0,0,2a）,CE=（1,-1,a）m/n=（1,-1,0）,貝（Jm?。4=m.。7>=0,根為面叢。法向量.

設(shè)〃=（羽y,z）為面EAC的法向量，則止。1=”-慮=0,

x+y=0、

即｛，取x==—。/=一2,貝!|H=（za,-a,-2）

x-y+az=G

m'YiXa=與，則a=2.于是〃=（2,