《高等數(shù)學(xué)下冊 第3版》 課件 D12-4 高階線性微分方程

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束高階線性微分方程第四節(jié)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

一、二階線性微分方程舉例

第十二章四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

一、二階線性微分方程舉例上,當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻

t

物位移為x(t).(1)自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力(2)強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外力則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求電容器兩兩極板間電壓例2.

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C

為常數(shù),所滿足的微分方程.提示:

設(shè)電路中電流為i(t),～~‖上的電量為q(t),自感電動(dòng)勢為由電學(xué)知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻R,自感L,電容C和電源E串極板機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0串聯(lián)電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得~‖機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束化為關(guān)于的方程:故有n

階線性微分方程的一般形式為方程的共性

為二階線性微分方程.例1例2—可歸結(jié)為同一形式:時(shí),稱為非齊次方程;時(shí),稱為齊次方程.復(fù)習(xí):

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這

n個(gè)函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為

0

的常數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束是二階非齊次方程的一個(gè)特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束是非齊次方程的解,又Y中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理5.是對應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束始條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.當(dāng)時(shí),

特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.當(dāng)時(shí),

特征方程有一對共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.解:由前述例題知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問題為自由振動(dòng)方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動(dòng)情況(

n=0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解的特征:簡諧振動(dòng)A:振幅,

:初相,周期:固有頻率機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(僅由系統(tǒng)特性確定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:2)有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(n<k)

小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t

的增大物體趨于平衡位置.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(n>k)

大阻尼解的特征:1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對任何初始條件即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(n=k)

臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t

軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:特征方程:即其根為方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.解:

特征方程:特征根為則方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、2、四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項(xiàng)式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m

次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束于是所求解為解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第一步利用歐拉公式將f(x)變形機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項(xiàng)式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四步分析因均為

m

次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特