押浙江卷第23題（二次函數(shù)的應(yīng)用與綜合）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題（浙江專用）（全解全析）

第第頁押浙江卷第23題（二次函數(shù)的應(yīng)用與綜合）押題方向：二次函數(shù)應(yīng)用及綜合問題2023年浙江真題考點命題趨勢2023年湖州卷第21題二次函數(shù)的應(yīng)用從近幾年浙江各地中考來看，解答題中二次函數(shù)考查內(nèi)容主要是二次函數(shù)的實際應(yīng)用、二次函數(shù)綜合，其中二次函數(shù)的綜合題經(jīng)常以壓軸題出現(xiàn)，試題的整體難度比較高，預(yù)計2024年浙江卷還將重視二次函數(shù)綜合問題的考查。2023年湖州卷、衢州卷、紹興卷、舟山、嘉興卷、麗水卷第23題、杭州卷第22題、金華卷第24題二次函數(shù)綜合1．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減?。?）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍．【思路點撥】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，則二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．【解析】解：（1）①由題意得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小；（2）∵x＝0和x＝2時的函數(shù)值都是1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴（1，n）是頂點，（﹣1，m）和（3，p）關(guān)于對稱軸對稱，若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則拋物線必須開口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠明確題意得出m＝a+2a+1＜0是解題的關(guān)鍵．2．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（n，3）且點A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；【思路點撥】（1）當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），用待定系數(shù)法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標(biāo)軸上，可得m＝，根據(jù)﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解析】（1）解：當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），∴，∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，∵y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標(biāo)軸上，∴由圖象的對稱性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），∴拋物線對稱軸為直線x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，涉及待定系數(shù)法，不等式，方程組等知識，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．3．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【思路點撥】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點式即可得頂點坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點A（1，﹣2）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點C（﹣3，﹣2），∴當(dāng)y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達(dá)式．4．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時，①求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【思路點撥】（1）先把解析式進(jìn)行配方，再求頂點；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3時，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴頂點坐標(biāo)為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點（2，7），∴當(dāng)x＝2時，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴當(dāng)x＝﹣1時，y有最小值為：﹣2，∴當(dāng)﹣1≤x≤3時，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時，y的最大值為2；x＞0時，y的最大值為3，∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，∵拋物線開口向下，x≤0時，y的最大值為2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．5．（2023?湖州）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進(jìn)一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？【思路點撥】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)每日總利潤＝每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【解析】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0）．將x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分別代入，得：，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：y＝﹣10x+600．（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．當(dāng)x＝﹣＝45時，在30≤x＜60的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．6．（2023?溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達(dá)到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？【思路點撥】（1）求出拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數(shù)法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射進(jìn)球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射進(jìn)球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決．7．（2023?湖州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，5），圖象的頂點為M．矩形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標(biāo)為（1，5）．（1）求c的值及頂點M的坐標(biāo)．（2）如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個單位（0＜t＜3）得到對應(yīng)的矩形A′B′C′D′．已知邊C′D′，A′B′分別與函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象交于點P，Q，連接PQ，過點P作PG⊥A′B′于點G．①當(dāng)t＝2時，求QG的長；②當(dāng)點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將（0，5）代入y＝x2﹣4x+c，即可求得c的值，再利用配方法將拋物線的解析式化為頂點式或運(yùn)用頂點公式即可求得答案；（2）①當(dāng)t＝2時，D′，A′的坐標(biāo)分別是（2，0），（3，0）．進(jìn)而可求得點P、Q的縱坐標(biāo)，利用QG＝y(tǒng)Q﹣yG，即可求得答案；②根據(jù)題意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），G（t+1，t2﹣4t+5），分兩種情況：當(dāng)點G在點Q的上方時，當(dāng)點G在點Q的下方時，分別求得t的值即可．【解析】解（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，5），∴c＝5，∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴頂點M的坐標(biāo)是（2，1）．（2）①如圖1，∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為（1，5），∴點A的坐標(biāo)是（1，0）．當(dāng)t＝2時，D′，A′的坐標(biāo)分別是（2，0），（3，0）．當(dāng)x＝3時，y＝32﹣4×3+5＝2，即點Q的縱坐標(biāo)是2．當(dāng)x＝2時，y＝1，即點P的縱坐標(biāo)是1．∵PG⊥A′B′，∴點G的縱坐標(biāo)是1，∴QG＝2﹣1＝1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面積為1，PG＝1，∴QG＝2．根據(jù)題意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），∴G（t+1，t2﹣4t+5），如圖2，當(dāng)點G在點Q的上方時，QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，此時（在0＜t＜3的范圍內(nèi)）．如圖3，當(dāng)點G在點Q的下方時，QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，此時（在0＜t＜3的范圍內(nèi)）．綜上所述，存在t，使得△PGQ的面積為1，此時t的值為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，拋物線的頂點，平移變換的性質(zhì)，三角形面積等，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵．8．（2023?金華）如圖，直線y＝與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線的頂點P在直線AB上，與x軸的交點為C，D，其中點C的坐標(biāo)為（2，0），直線BC與直線PD相交于點E．（1）如圖2，若拋物線經(jīng)過原點O．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．（2）連結(jié)PC，∠CPE與∠BAO能否相等？若能，求符合條件的點P的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．【思路點撥】（1）①由拋物線經(jīng)過原點O（0，0）、C（2，0），可得拋物線的頂點P（1，），利用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+3x；②先求出A（﹣2，0），B（0，），運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線OP的解析式為y＝x，過點B作BF∥x軸交OP于點F，F(xiàn)（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，進(jìn)而可得＝＝＝；（2）分四種情形，分別作出圖形求解即可．【解析】解：（1）①∵拋物線經(jīng)過原點O（0，0）、C（2，0），∴對稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時，y＝×1+＝，∴拋物線的頂點P（1，），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+，把C（2，0）代入，得a+＝0，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+3x，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+3x；②∵直線y＝與x軸，y軸分別交于點A，B，∴A（﹣2，0），B（0，），設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，把P（1，）代入，得：k＝，∴直線OP的解析式為y＝x，如圖，過點B作BF∥x軸交OP于點F，則點F的縱坐標(biāo)與點B的縱坐標(biāo)相同，∴＝x，解得：x＝，∴F（，），∴BF＝，∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴＝＝＝，∴的值為．（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，①如圖2﹣1，當(dāng)t＞2，存在∠CPE＝∠BAO，設(shè)∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，則∠APD＝α+β，∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2t，過點P作PF⊥x軸于點F，則AF＝t+2，在Rt△APF中，cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝6．②如圖2﹣2中，當(dāng)0＜t≤2時，存在∠CPE＝∠BAO．過點P作PF⊥x軸于點F，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝．③如圖2﹣3中，當(dāng)﹣2＜t≤0時，存在∠CPE＝∠BAO＝α，∵PC＝PD，∴∠CPE＝α，∴∠BAO﹣∠PDC＝α，∴∠APD＝∠PDA，∴AD＝AP＝﹣2t，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝﹣．④當(dāng)t≤﹣2時，同法cos∠BAO＝＝，＝，∴t＝﹣綜上所述．點P的橫坐標(biāo)為6或﹣或或﹣．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合運(yùn)用，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023?浙江）在二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當(dāng)0≤x≤3時，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．【思路點撥】（1）將（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝；（2）拋物線y＝x2﹣2tx+3對稱軸為x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并檢驗可得t的值為；（3）根據(jù)A（m﹣2，a），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，可得二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3的對稱軸直線x＝t即為直線x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)，拋物線y＝x2﹣2tx+3與y軸交點為（0，3），其關(guān)于對稱軸直線x＝m﹣1的對稱點為（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①當(dāng)A（m﹣2，a），B（4，b）都在對稱軸左側(cè)時，y隨x的增大而減小，有4＜m﹣2，可得m滿足的條件為m＞6；②當(dāng)A（m﹣2，a）在對稱軸左側(cè)，B（4，b）在對稱軸右側(cè)時，B（4，b）到對稱軸直線x＝m﹣1距離大于A（m﹣2，a）到對稱軸直線x＝m﹣1的距離，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m滿足的條件是3＜m＜4．【解析】解：（1）將（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，解得：t＝；（2）拋物線y＝x2﹣2tx+3對稱軸為x＝t．若0＜t≤3，當(dāng)x＝t時函數(shù)取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝；若t＞3，當(dāng)x＝3時函數(shù)取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得（不符合題意，舍去）；綜上所述，t的值為；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，∴二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3的對稱軸直線x＝t即為直線x＝＝m﹣1，∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴拋物線y＝x2﹣2tx+3與y軸交點為（0，3），∴（0，3）關(guān)于對稱軸直線x＝m﹣1的對稱點為（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①當(dāng)A（m﹣2，a），B（4，b）都在對稱軸左側(cè)時，∵y隨x的增大而減小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此時m滿足的條件為m＞6；②當(dāng)A（m﹣2，a）在對稱軸左側(cè)，B（4，b）在對稱軸右側(cè)時，∵a＜b，∴B（4，b）到對稱軸直線x＝m﹣1距離大于A（m﹣2，a）到對稱軸直線x＝m﹣1的距離，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此時m滿足的條件是3＜m＜4，綜上所述，3＜m＜4或m＞6．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．10．（2023?衢州）某龍舟隊進(jìn)行500米直道訓(xùn)練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程s（m）與時間t（s）的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達(dá)式為s＝kt2（k≠0）；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程s（m）與時間t（s）的函數(shù)表達(dá)式為s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出啟航階段s（m）關(guān)于t（s）的函數(shù)表達(dá)式（寫出自變量的取值范圍）．（2）已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當(dāng)t＝90s時，求出此時龍舟劃行的總路程．②在距離終點125米處設(shè)置計時點，龍舟到達(dá)時，t≤85.20s視為達(dá)標(biāo)．請說明該龍舟隊能否達(dá)標(biāo)．（3）沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點．求該龍舟隊完成訓(xùn)練所需時間（精確到0.01s）．【思路點撥】（1）把A（20，50）代入s＝kt2得出k的值，則可得出答案；（2）①設(shè)s＝5t+b，把（20，50）代入，得出50＝5×20+b，求得b＝﹣50，當(dāng)t＝90時，求出s＝400，則可得出答案；②把s＝375代入s＝5t﹣50，求得t＝85，則可得出答案；（3）由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，求得h＝350．求出s＝405.125，則可得出答案．【解析】解：（1）把A（20，50）代入s＝kt2得50＝400k，解得，∴啟航階段總路程s關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式為s＝（0＜t≤20）；（2）①設(shè)s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b，解得b＝﹣50，∴s＝5t﹣50．當(dāng)t＝90時，s＝450﹣50＝400．∴當(dāng)t＝90s時，龍舟劃行的總路程為400m．②500﹣125＝375，把s＝375代入s＝5t﹣50，得t＝85．∵85＜85.20，∴該龍舟隊能達(dá)標(biāo)．（3）加速期：由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，得h＝350．∴函數(shù)表達(dá)式為s＝，把t＝91代入s＝，解得s＝405.125．∴（500﹣405.125）÷5.25≈18.07（s），∴90+1+18.07＝109.07（s）．答：該龍舟隊完成訓(xùn)練所需時間為109，07s．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法，根據(jù)條件準(zhǔn)確得到表達(dá)式是解題關(guān)鍵．11．（2024?嘉善縣一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），且a＞b＞c，a+b+c＝0．（1）當(dāng)b＝0時，求方程ax2+bx+c＝0的根；（2）已知該二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，求證：；（3）已知該二次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于A（x1，0），B（x2，0），C（0，c）三點（A在B的左側(cè)），且x1+4x2＝0，若△ABC為直角三角形，求該二次函數(shù)表達(dá)式．【思路點撥】（1）當(dāng)b＝0時，方程為：ax2+c＝0，即可求解；（2）證明a＞0且c＜0，即可求解；（3）若△ABC為直角三角形，則只存在∠ACB為直角，即可求解．【解析】（1）解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，則a＞0且c＜0，當(dāng)b＝0時，方程為：ax2+c＝0，解得：x＝±；（2）證明：由（1）知，a＞0且c＜0，則a+b＝﹣c＞0，即a+b＞0，則﹣＜1，即﹣＜，∴；（3）解：∵a＞0且c＜0，且x1+4x2＝0，解：由（1）知，拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+bx+（﹣a﹣b），則x1+x2＝﹣且x1x2＝﹣，將x1+4x2＝0代入上式兩式得：4x2＝＝1+＝1+3x2，解得：x2＝1，則x1＝﹣4，即點A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣4，0）、（1，0），則可大致畫出函數(shù)的圖象如下：若△ABC為直角三角形，則只存在∠ACB為直角，則∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴tan∠ACO＝tan∠OBC，則OC2＝OA×OB，即CO2＝1×4＝4，解得：CO＝2，則點C（0，﹣2），由題意得，拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），則﹣4a＝﹣2，解得：a＝，則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣2．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)等熟悉二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．二次函數(shù)的應(yīng)用：應(yīng)用待定系數(shù)法，根據(jù)條件準(zhǔn)確得到表達(dá)式是解題關(guān)鍵.2．二次函數(shù)的綜合問題：熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的特征是解題的關(guān)鍵．3．要重視數(shù)形結(jié)合在解決二次函數(shù)綜合問題中的作用.1．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，并說明理由；（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，A（x1，m），B（x2，m）為該函數(shù)圖象上的任意兩點，其中x1＜x2，求當(dāng)x1，x2為何值時，m＝8a；（3）若該函數(shù)圖象的頂點在第二象限，且過點（1，2），當(dāng)a＜b時求3a+b的取值范圍．【思路點撥】（1）依據(jù)題意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，進(jìn)而結(jié)合a≠0可以判斷Δ＞0，即可求解；（2）依據(jù)題意，也有對稱軸為直線x＝2，可得b＝﹣4a，從而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝8a時，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后計算即可求解；（3）依據(jù)題意，由（1）知，函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)為2且圖象的頂點在第二象限，則拋物線開口向下，即a＜0，進(jìn)而求解．【解析】解：（1）由題意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，又a≠0，∴a2＞0．∴16a2＞0．又對于任意的b都有b2≥0，∴Δ＝b2+16a2＞0．∴函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)為2．（2）∵x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a．∴拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝8a時，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，解得x＝6或﹣2，則x1＝﹣2，x2＝6．（3）將（1，2）代入拋物線表達(dá)式得：2＝a+b﹣4a，則b＝3a+2，∵a＜b，故a＜3a+2，∴解得a＞﹣1．∴拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，由（1）知，函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)為2且圖象的頂點在第二象限，∴拋物線開口向下，即a＜0．∴函數(shù)的對稱軸x＝﹣＝﹣﹣＜0，解得a＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣．∴﹣3＜3a＜﹣2．故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．∴﹣4＜3a+b＜﹣2．∴3a+b的取值范圍：﹣4＜3a+b＜﹣2．【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、頂點等點坐標(biāo)的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．2．在二次函數(shù)y＝﹣x2+ax+1中（a≠0）．（1）當(dāng)a＝2時，①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；②當(dāng)0≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）若A（a﹣2，b），B（a，c）兩點都在這個二次函數(shù)的圖象上，且b＜c，求a的取值范圍．【思路點撥】（1）①把解析式化成頂點式即可求得；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)0＜x＜3時，y的取值范圍；（2）根據(jù)拋物線的對稱性及增減性即可解決問題．【解析】解：（1）①把a(bǔ)＝2代入得y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，2）；②∵y＝﹣x2+2x+1的開口向下，對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)0≤x≤1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)1≤x≤3時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝1時，y有最大值2．∵當(dāng)x＝0時，y＝1；當(dāng)x＝3時，y＝﹣2∴當(dāng)0≤x≤3時，﹣2≤y≤2；（2）拋物線的對稱軸為直線，①當(dāng)，即0≤a≤4時，點B到對稱軸的距離小于點A到對稱軸的距離，∴，解得a＜2，∴0≤a＜2②當(dāng)，即a＜0時，點B到對稱軸的距離小于點A到對稱軸的距離，∴成立，∴a＜0③對稱軸在點A左側(cè)不合題意，舍去，綜上所述，a＜2．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及巧用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．3．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過點（5，5）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數(shù)圖象上的點，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若點P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數(shù)的圖象上，且a＜b．對于某一個實數(shù)n，若b﹣a的最小值為1，則b﹣a的最大值為多少？【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值；（3）由題意可知當(dāng)點P（a，n）和Q（b，n+2）在對稱軸的同側(cè)時b﹣a的值最小，當(dāng)點P（a，n）和Q（b，n+2）在異側(cè)是b﹣a的值最大，據(jù)此求解即可．【解析】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過點（5，5），∴5＝25﹣10k+k﹣2，∴k＝2，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣4x；（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數(shù)圖象上的點，∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，∵x1+2x2＝2，∴x1＝2﹣2x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2＝5﹣4x2﹣4＝5（x2﹣）2﹣，∵5＞0，∴y1+y2的最小值是﹣；（3）∵拋物線y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴t圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，∵點P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數(shù)的圖象上，且a＜b．對于某一個實數(shù)n，若b﹣a的最小值為1，∴點P（a，n）和Q（b，n+2）在對稱軸的右側(cè)，此時b﹣a＝1，則b＝a+1，∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，②﹣①得a＝，∴b＝a+1＝，∴此時點P（，n）和Q（，n+2），當(dāng)點P是點（，n）的對稱點時，則b﹣a的值最大，∵對稱軸為直線x＝2，∴點（，n）的對稱點為（，n），∴此時a＝，∴b﹣a的最大值為：﹣＝2．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．定義：對于y關(guān)于x的函數(shù)，函數(shù)在x1≤x≤x2（x1＜x2）范圍內(nèi)的最大值，記作M[x1，x2]．如函數(shù)y＝2x，在﹣1≤x≤3范圍內(nèi)，該函數(shù)的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．請根據(jù)以上信息，完成以下問題：已知函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a為常數(shù)）．（1）若a＝2．①直接寫出該函數(shù)的表達(dá)式，并求M[1，4]的值；②已知，求p的值．（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．【思路點撥】（1）①將a值代入運(yùn)算即可，利用新定義的規(guī)定計算即可；②令y＝3，求得x值，再利用新定義的規(guī)定解答即可；（2）利用待定系數(shù)法求得a值，再利用分類討論的方法，依據(jù)新定義的規(guī)定列出關(guān)于k的方程解答即可．【解析】解：（1）①∵a＝2，∴y＝x2﹣4x+3．∵[1，4]，∴1≤x≤4．∴當(dāng)x＝4時，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值，∴M[1，4]＝3；②∵，∴當(dāng)p≤x≤時，函數(shù)y取得最大值3，令y＝3，則x2﹣4x+3＝3，∴x＝0或x＝4．∴p＝0．（2）∵該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，0），∴a2﹣1＝0，∴a＝±1．當(dāng)a＝1時，y＝﹣4x，∵M(jìn)[﹣3，k]＝k，∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，∴k＝12．當(dāng)a＝﹣1時，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴當(dāng)x＝﹣1時，y取得最大值為2，∵M(jìn)[﹣3，k]＝k，∴﹣2k2﹣4k＝k，∴k＝0（不合題意，舍去）或k＝﹣．∵當(dāng)a＝﹣1時，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴當(dāng)x＝﹣1時，y取得最大值為2，∴k＝2．當(dāng)﹣3≤x≤2時，函數(shù)的最大值為2，∴k＝2．綜上，k的值為12或k＝﹣或k＝2．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常數(shù)），已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝0時，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)﹣1≤x≤3時，y有最小值為，求a的值；（3）若a＜﹣3，求證：n﹣m﹣p＞20．【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用拋物線的對稱性得出拋物線的對稱軸為直線x＝1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x＝1時，函數(shù)y取得最小值，再利用待定系數(shù)法解答即可；（3）利用拋物線的對稱軸為直線x＝1，得到b＝﹣2a，則y＝ax2﹣2ax+1，利用表格求得m，np的值，并計算出n﹣m﹣p＝﹣7a﹣1，再利用不等式的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：當(dāng)m＝0時，拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過（﹣1，0），（0，1），（2，1）三點，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x+1；（2）解：∵拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過（0，1），（2，1）兩點，∴當(dāng)x＝0或x＝2時，y＝1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴y＝ax2﹣2ax+1，∵當(dāng)﹣1≤x≤3時，y有最小值為，∴如果a＞0，當(dāng)x＝1時，函數(shù)y取得最小值，∴，∴．∴a的值為；如果a＜0，則x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)y取得最小值，∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝，∴a＝﹣．綜上，a的值為或﹣．（3）證明：由（2）知：拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1，∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1．∵a＜﹣3，∴﹣7a＞21，∴﹣7a﹣1＞20．即：n﹣m﹣p＞20．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，拋物線上點的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)的極值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．6．（2024?浙江模擬）已知點A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函數(shù)y＝2x2+bx+4的圖象上．（1）若m＝1，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求p+q的最大值；（3）若p＜q＜4，求m的取值范圍．【思路點撥】（1）當(dāng)m＝1時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣＝＝m+1求出b即可；（2）根據(jù)﹣＝m+1得出b＝﹣4（m+1），然后求出p+q關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；（3）根據(jù)p＜q＜4以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍．【解析】解：（1）根據(jù)題意得，二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣＝＝m+1，當(dāng)m＝1時，﹣＝2，∴b＝﹣8，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2﹣8x+4；（2）∵﹣＝m+1，∴b＝﹣4（m+1），把A，B坐標(biāo)分別代入y＝2x2+bx+4得，p＝2m2﹣4（m+1）m+4＝﹣2m2﹣4m+4，q＝18﹣4（m+1）×3+4＝﹣12m+10，∴p+q＝﹣2m2﹣4m+4﹣12m+10＝﹣2m2﹣16m+14＝﹣2（m﹣4）2+46，∵﹣2＜0，∴m＝4時，p+q最大值為46；（3）∵p＜q，∴m＞3或m+2＜3，∵q＜4，∴﹣12m+10＜4，解得m＞，∴m的取值范圍為＜m＜1或m＞3．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．7．已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過點（1，0）和（2，2），求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點A，且A不是原點．①求證：m＝ab；②若二次函數(shù)y1與一次函數(shù)y2的另一個交點B為y1的頂點，求b的值．【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①令y＝0，分別求得兩個函數(shù)的圖象與x軸的交點，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，m的等式，整理即可得出結(jié)論；②利用配方法求得拋物線的頂點坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，再利用①的結(jié)論得到關(guān)于b的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣x；（2）①證明：令y1＝0，則ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴拋物線y1＝ax（x+b）與x軸交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，則ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直線y2＝ax+m與x軸交于（﹣，0），∵若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函數(shù)的頂點為（﹣，﹣）．∵兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，∴a?（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合題意，舍去）或b＝﹣2．∴若兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，b的值為﹣2．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點，拋物線上點的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．8．（2024?寧波模擬）設(shè)一次函數(shù)y1＝a（x+m）的圖象與x軸交于點A，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩個不同的點，設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2．（1）設(shè)點Q（0，q）在函數(shù)y的圖象上，若q＞c，求證：am＞0．（2）若函數(shù)y2，y的圖象在x軸上截得的線段長分別為d1，d2，求d1，d2的數(shù)量關(guān)系式．（3）若函數(shù)y1的圖象分別與函數(shù)y2的圖象、函數(shù)y的圖象交于點E（x1，e），F(xiàn)（x2，f），且點E，F(xiàn)不同于點A，求x1﹣x2的值．【思路點撥】（1）把y1與y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把點Q代入y，再計算即可．（2）設(shè)A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．設(shè)B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk，故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，設(shè)y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk兩根為p、q，再計算即可．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），計算得x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，計算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【解析】解：（1）∵y1＝a（x+m），，∴y＝y(tǒng)1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，∵點Q（0，q）在函數(shù)y的圖象上，∴q＝am+c，即q﹣c＝am，∵q＞c，∴am＞0．（2）設(shè)A（t，0），代入y1＝a（x+m）得：0＝a（t+m），∵a≠0，∴t+m＝0，∴m＝﹣t，y1＝a（x﹣t）．設(shè)B（k，0），又A（t，0），∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk，∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，設(shè)y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk兩根為p、q，∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk，∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk，即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2，∴d1＝，設(shè)y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at兩根為r、s，∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t，∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1，∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1，答：d1，d2的數(shù)量關(guān)系式是：﹣＝±2d1﹣1．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0，∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0，∴x＝t，x＝k+1，即A（t，0），x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0，∴x2﹣（t+k）x+tk＝0，∴（x﹣t）（x﹣k）＝0，∴x＝t，x＝k，即A（t，0），x2＝k．∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【點睛】本題考查了拋物線的知識，掌握拋物線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．如圖，小車從點A出發(fā)，沿與水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑過程中小車速度逐漸增加，設(shè)小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為h，小車從點A滑行到最低點B所用的時間為t（秒），小車滑行到點B時的速度為v（厘米/秒）．速度v與時間t滿足關(guān)系：v＝10t，高度h與時間t滿足關(guān)系：（g≠0，g是常數(shù)），當(dāng)小車出發(fā)點小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為20（厘米）時，小車從點A滑到最低點B需要2秒．（1）當(dāng)小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點B需要幾秒鐘？此時小車到達(dá)B點時的速度是多少？（2）小車?yán)^續(xù)在粗糙的水平地面BE上滑行，設(shè)滑行的距離為s（厘米），小車從斜坡滑行到點B時速度為v（厘米/秒），小車在水平地面BE上滑行的時間為T（秒），若s與v，T之間滿足以下關(guān)系：+vT（a≠0，a是常數(shù)），當(dāng)v＝20（厘米/秒）時，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小車出發(fā)點A離水平地面BE的距離h提高到125厘米，那么當(dāng)滑行到時間T＝4秒時，小車在水平地面BE上滑行的距離為多少？【思路點撥】（1）先根據(jù)已知條件求出g的值，求出高度h與時間t的函數(shù)解析式，再把h＝45代入解析式求出t，再把t的值代入y＝10t求出速度v；（2）先把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT求出a的值，再根據(jù)h＝125求出t，再求出v，然后求出s即可．【解析】解：（1）當(dāng)t＝2，h＝20時，20＝g×22，解得g＝10，∴h＝×10t2＝5t2；∴當(dāng)h＝45時，5t2＝45，解得t＝3或t＝﹣3（舍去），此時v＝10×3＝30（cm/s），答：當(dāng)小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點B需要3秒鐘，此時小車到達(dá)B點時的速度是30厘米/秒；（2）把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT，則50＝﹣a×52+20×5，解得a＝4，∴s＝﹣2T2+vT，當(dāng)h＝125時，5t2＝125，解得t＝5或t＝﹣5（舍去），∴v＝10×5＝50（cm/s），∴s＝﹣2×42+50×4＝168（cm）．答：小車在水平地面BE上滑行的距離為168cm．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．10．（2024?北侖區(qū)一模）周末，小明和同學(xué)們一起去長江路地鐵站坐地鐵．在等車的過程中，他驚嘆于地鐵每次都能精準(zhǔn)的?？吭谕Ｖ咕€上．為什么每次地鐵停靠都那么準(zhǔn)呢？里面一定包含著數(shù)學(xué)知識!通過工作人員幫助，小明獲得了地鐵剎車開始的時間t與地鐵到停止線的距離S之間的表格信息：t（秒）04812162024…S（米）256196144100643616…當(dāng)小明拿到這些數(shù)據(jù)時，他作了如下的思考：（1）依據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗，小明需要將這些數(shù)據(jù)繪制在平面直角坐標(biāo)系中，并用平滑的曲線進(jìn)行連線，形成數(shù)據(jù)所生成的圖象，請你在圖中落實他的想法；（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)圖象（選填“一次”、“二次”或“反比例”）．請你選擇合適的數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的表達(dá)式；（3）地鐵從開始剎車到下次啟動一共用時60秒．求地鐵的?？繒r間．（?？繒r間指的是地鐵剎停后的靜止時間）【思路點撥】（1）根據(jù)描點，連線，畫出函數(shù)圖象即可求解；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（3）將S＝0代入，解方程即可求出t的值，再用60﹣t即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）描點，連線，如圖：（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)，設(shè)S＝at2+bt+c，將點（0，256）代入得：c＝256，將（4，196），（8，144）代入S＝ax2+bx+256中，得：，解得：，∴該函數(shù)的表達(dá)式為S＝x2﹣16x+256；故答案為：二次；（3）依題意，當(dāng)S＝0時，x2﹣16x+256＝0，解得：t1＝t2＝32，∴60﹣32＝28，∴地鐵的?？繒r間為28秒．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2024?浙江模擬）某個農(nóng)場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的．其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，F(xiàn)G，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD，這個大棚用了400根支架．為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對應(yīng)支架的長度變化，如圖2所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），需要增加的經(jīng)費(fèi)不超過32000元．（1）分別以O(shè)B和OA所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系．①求出改造前的函數(shù)解析式．②當(dāng)CC′＝1米，求GG′的長度．（2）只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，求出CC′的最大值．【思路點撥】（1）①設(shè)改造前的函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c，根據(jù)所建立的平面直角坐標(biāo)系得到A（0，1），E（4，3.4），C（6，3.4），然后代入解析式得到關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可；②根據(jù)已知條件得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)解析式得到C′、E′的坐標(biāo)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件表示出G′、E′的坐標(biāo)得到a的不等式，進(jìn)而得到CC′的最大值．【解析】解：（1）①如圖，以O(shè)為原點，分別以O(shè)B和OA所在的直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知：A（0，1），E（4，3.4），C（6，3.4），設(shè)改造前的拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴改造前的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；②如圖，建立與（1）相同的平面直角坐標(biāo)系，由①知改造前拋物線的解析式為，∴對稱軸為直線，設(shè)改造后拋物線解析式為：，∵調(diào)整后C與E上升相同的高度，且CC′＝1，∴對稱軸為直線x＝5，則有，當(dāng)x＝6時，y＝4.4，∴36c+6d+1＝4.4，∴，，∴改造后拋物線解析式為：，當(dāng)x＝2時，改造前：，改造后：，∴（米），∴GG′的長度為米；（2）如（2）題圖，設(shè)改造后拋物線解析式為y＝ax2﹣10ax+1，∵當(dāng)x＝2時，y＝a×22﹣10a×2+1＝﹣16a+1，當(dāng)x＝4時，y＝a×42﹣10a×4+1＝﹣24a+1，∴G′（2，﹣16a+1），E′（4，﹣24a+1），∴，由題意可列不等式：（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，解得：，∵CC'＝EE'＝﹣24a+1﹣3.4，要使最大，需a最小，∴當(dāng)時，CC′的值最大，最大值為1.6米．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用等知識點．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及是一元一次不等式的應(yīng)用解題的關(guān)鍵．12．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．設(shè)計跳長繩方案素材1：某校組織跳長繩比賽，要求如下：（1）每班需要報名跳繩同學(xué)9人，搖繩同學(xué)2人；（2）跳繩同學(xué)需站成一路縱隊，原地起跳，如圖1．素材2：某班進(jìn)行賽前訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)繩子搖至最高處或最低處時，可近似看作兩條對稱分布的拋物線，已知搖繩同學(xué)之間水平距離為6m，繩子最高點為2m，搖繩同學(xué)的出手高度均為1m，如圖2；（2）9名跳繩同學(xué)身高如右表．身高（m）1.701.731.751.80人數(shù)2241素材3：觀察跳繩同學(xué)的姿態(tài)（如圖3），發(fā)現(xiàn)：（1）跳繩時，人的跳起高度在0.25m及以下較為舒適；（2）當(dāng)長繩搖至最高處時，人正屈膝落地，此時頭頂?shù)降孛娴母叨仁巧砀叩模畣栴}解決任務(wù)1：確定長繩形狀．請在圖2中以長繩觸地點為原點建立直角坐標(biāo)系，并求出長繩搖至最高處時，對應(yīng)拋物線的解析式．任務(wù)2：確定排列方案．該班班長決定：以長繩的觸地點為中心，將同學(xué)按“中間高，兩邊低”的方式對稱排列，同時保持0.45m的間距．請計算當(dāng)繩子在最高點時，長繩是否會觸碰到最邊側(cè)的同學(xué)．任務(wù)3：方案優(yōu)化改進(jìn)．據(jù)最邊側(cè)同學(xué)反映：由于跳起高度過高，導(dǎo)致不舒適，希望作出調(diào)整．班長給出如下方案：搖繩同學(xué)在繩即將觸地時，將出手高度降低至0.85m．此時中段長繩將貼地形成一條線段（x線段AB），而剩余的長繩則保持形狀不變，如圖4．請你通過計算說明，該方案是否可解決同學(xué)反映的問題．【思路點撥】（1）按照題意建立平面直角坐標(biāo)系，易得拋物線的對稱軸為y軸，于y軸交于點（0，2），并且經(jīng)過點（﹣3，1），設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，進(jìn)而把點（﹣3，1）代入可得二次項系數(shù)的值，即可求得長繩搖至最高處時，對應(yīng)拋物線的解析式；（2）9個同學(xué)，最高的同學(xué)在正中間，那么右邊將有4個同學(xué)，易得最右側(cè)同學(xué)所在的橫坐標(biāo)，代入（1）中得到的解析式，可得最右側(cè)同學(xué)所在的地方拋物線的高度，計算出最右側(cè)同學(xué)屈膝后的身高，與拋物線的高度比較可判斷繩子在最高點時，長繩是否會觸碰到最邊側(cè)的同學(xué)；（3）根據(jù)拋物線的形狀相同可得繩子搖至最低處時，拋物線解析式，進(jìn)而可得平移后新的拋物線解析式，取最右側(cè)同學(xué)的橫坐標(biāo)代入可得最右側(cè)同學(xué)跳繩的高度，與舒適高度0.25比較即可判斷方案能否解決問題．【解析】解：任務(wù)1：如圖建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)長繩搖至最高處時，對應(yīng)拋物線的解析式為：y＝ax2+2（a≠0）．∵經(jīng)過點（﹣3，1）．∴9a+2＝1．解得：a＝﹣．∴長繩搖至最高處時，對應(yīng)拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2．任務(wù)2．最右側(cè)同學(xué)所在的橫坐標(biāo)為：0.45×4＝1.8．當(dāng)x＝1.8時，y＝﹣×（1.8）2+2＝1.64．∵長繩搖至最高處時，人正屈膝落地，此時頭頂?shù)降孛娴母叨仁巧砀叩?，∴最右?cè)同學(xué)屈膝后的身高為：1.70×＝1.615．∵1.615＜1.64．∴繩子在最高點時，長繩不會觸碰到最邊側(cè)的同學(xué)．任務(wù)3．當(dāng)繩子搖至最低處時，拋物線解析式可表示為y＝x2．∵出手高度降低至0.85m．∴拋物線下降0.15m．∴下移后的拋物線解析式為：y＝x2﹣0.15．當(dāng)x＝1.8時，y＝×1.82﹣0.15＝0.21．∵0.21＜0.25，∴方案能解決同學(xué)反映的問題．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識點為：二次函數(shù)的形狀相同，開口方向不同，則兩個函數(shù)二次項的系數(shù)互為相反數(shù)；二次函數(shù)上下平移，只改變函數(shù)值，上加下減．13．（2024?上城區(qū)校級模擬）設(shè)計噴水方案素材1圖1為某公園的圓形噴水池，圖2是其示意圖，O為水池中心，噴頭A、B之間的距離為20米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心7m處達(dá)到最高，高度為5m，水池中心處有一個圓柱形蓄水池，其底面直徑CD為12m，高CF為1.8米素材2如圖3、圖4，擬將在圓柱形蓄水池中心處建一能伸縮高度的噴水裝置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．經(jīng)調(diào)研，目前市場有兩種噴水頭均能噴射與圖2中形狀相同的拋物線．其中，甲噴水頭以點P為最高點向四周噴射水柱（如圖3），乙噴水頭噴射水柱的最高點與點P的高度差為0.8m（如圖4）．問題解決任務(wù)1確定水柱形狀在圖2中以點O為坐標(biāo)原點，水平方向為軸建立直角坐標(biāo)系，求左邊這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2選擇噴水裝置甲，確定噴水裝置的最高高度若選擇甲裝置（圖3），為防止水花濺出，當(dāng)落水點G、M之間的距離滿足時，OP不能再升高，求此時OP的最高高度．任務(wù)3選擇噴水裝置乙，擬定噴水裝置的高度范圍若選擇乙裝置（圖4），為了美觀，要求OP噴出的水柱高度不低于5m，求噴水裝置OP高度的變化范圍．【思路點撥】任務(wù)1．易得左側(cè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣7，5）以及點A的坐標(biāo)（﹣10，0）．用頂點式表示出所求的拋物線解析式，把點A的坐標(biāo)代入即可求得二次函數(shù)的二次項系數(shù)，即可求得拋物線的解析式；任務(wù)2．設(shè)OP長m米，則點P的坐標(biāo)為（0，m）．可設(shè)甲噴水頭形成的拋物線解析式為：y＝﹣x2+m．根據(jù)任務(wù)1中的拋物線解析式可得點M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得FM的長度，根據(jù)GM＝FM，可得GM的長度，即可求得點G的坐標(biāo)，代入所設(shè)的拋物線解析式，即可求得m的值，也就求出了OP的最高高度；任務(wù)3．乙噴水頭噴出的拋物線的頂點坐標(biāo)可設(shè)為：（h，m+0.8）．用頂點式表示出乙噴水頭噴出的拋物線的解析式，把點P的坐標(biāo)代入可得h的值，進(jìn)而根據(jù)OP噴出的水柱高度不低于5m，取頂點的縱坐標(biāo)不低于5可得m的一個范圍，進(jìn)而根據(jù)水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．取點M的坐標(biāo)代入所求的拋物線解析式可得m的值，即可求得m的取值范圍，也就求得了噴水裝置OP高度的變化范圍．【解析】解：任務(wù)1．如圖以點O為坐標(biāo)原點，水平方向為x軸建立直角坐標(biāo)系．∵A、B之間的距離為20米，∴點A的坐標(biāo)為（﹣10，0）．∵水柱距水池中心7m處達(dá)到最高，高度為5m，∴左側(cè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣7，5）．∴設(shè)左側(cè)拋物線的解析式為：y＝a（x+7）2+5．∴a（﹣10+7）2+5＝0．解得：a＝﹣．∴左邊拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣（x+7）2+5．任務(wù)2．設(shè)OP長m米，則點P的坐標(biāo)為（0，m）．∵甲噴水頭噴射與圖2中形狀相同的拋物線，并且兩個拋物線的開口方向相同．∴甲噴水頭形成的拋物線解析式為：y＝﹣x2+m．由任務(wù)1得：左邊拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣（x+7）2+5．當(dāng)y＝1.8時，1.8＝﹣（x+7）2+5．解得：x1＝﹣9.4（不合題意，舍去），x2＝﹣4.6．∴點M的橫坐標(biāo)為：﹣4.6．∵CD為12m，∴OC＝6m．∴FM＝6﹣|﹣4.6|＝1.4．∵GM＝FM，∴GM＝0.4．∴點G的橫坐標(biāo)是﹣4.6+0.4＝﹣4.2．∴點G的坐標(biāo)是（﹣4.2，1.8）．∴1.8＝﹣×（﹣4.2）2+m．解得：m＝．∴OP的最高高度為米．任務(wù)3．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．以y軸左側(cè)的拋物線為例．設(shè)OP長m米，則點P的坐標(biāo)為（0，m）．∵乙噴水頭噴射水柱的最高點與點P的高度差為0.8m，∴乙噴水頭噴出的拋物線的頂點坐標(biāo)可設(shè)為：（h，m+0.8）．∵乙噴水頭噴射與圖2中形狀相同的拋物線，并且兩個拋物線的開口方向相同．∴乙噴水頭形成的拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣h）2+m+0.8．把點P的坐標(biāo)代入得：m＝﹣（0﹣h）2+m+0.8．解得：h＝﹣1.2或h＝1.2（不合題意，舍去）．∴乙噴水頭形成的拋物線解析式為：y＝﹣（x+1.2）2+m+0.8．∵OP噴出的水柱高度不低于5m，∴最高點（h，m+0.8）的縱坐標(biāo)不低于5m．∴m+0.8≥5．解得：m≥．∵水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．∴取點M的坐標(biāo)（﹣4.6，1.8）代入y＝﹣（x+1.2）2+m+0.8．1.8＝﹣（﹣4.6+1.2）2+m+0.8．解得：m＝．∴m＜．∴≤m＜．∴噴水裝置OP高度的變化范圍為：≤OP＜．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識點為：二次函數(shù)的形狀相同，且開口方向相同，則二次函數(shù)的二次項的系數(shù)相同．14．（2024?西湖區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點（1，m）和（3，n）都在二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常數(shù)）的圖象上．（1）若m＝n＝﹣6，求該二次函數(shù)的表達(dá)式和函數(shù)圖象的對稱軸．（2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范圍．（3）已知點（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在該二次函數(shù)圖象上，若mn＜0且a＜0，試比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．【思路點撥】（1）當(dāng)m＝n＝﹣6時，用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2﹣8x