3.6.7三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（2015?濱州）若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2，則其內(nèi)切圓半徑的長為（）A． B．2﹣2 C．2﹣ D．﹣2【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進而可求得兩條直角邊的長；然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為2，∴此直角三角形的斜邊長為4，兩條直角邊分別為2，∴它的內(nèi)切圓半徑為：R=（2+2﹣4）=2﹣2．故選B．【點評】本題考查了三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內(nèi)切圓半徑：r=（a+b﹣c）；（a、b為直角邊，c為斜邊）直角三角形的外接圓半徑：R=c．（2015?湖州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是（）A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；翻折變換（折疊問題）．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，證明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），從而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，從而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．【解答】解：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，∴OG=DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b﹣c），∴c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，解得（舍去），∴，∴BC+AB=2+4．再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，∴CD﹣DF=，CD+DF=．綜上只有選項A錯誤，故選A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)．（2015?遵義）將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點E，AB=，則四邊形AB1ED的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】作∠DAF與∠AB1G的角平分線交于點O，則O即為該圓的圓心，過O作OF⊥AB1，AB=，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)便可求出OF的長，即該四邊形內(nèi)切圓的圓心．【解答】解：作∠DAF與∠AB1G的角平分線交于點O，過O作OF⊥AB1，則∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=OA，設(shè)B1F=x，則AF=﹣x，故（﹣x）2+x2=（2x）2，解得x=或x=（舍去），∴四邊形AB1ED的內(nèi)切圓半徑為：．故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)三角形的內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)，要熟練掌握正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．（2013?遂寧模擬）在△ABC中，∠A=α，O為△ABC的內(nèi)心，則∠BOC的度數(shù)是（）A．90°+ B．90°﹣ C．180°﹣α D．180°﹣【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】由三角形內(nèi)切定義可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義可知關(guān)系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把對應(yīng)數(shù)值代入即可求得∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵O為△ABC的內(nèi)心，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∵∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+α，故選A．【點評】本題通過三角形內(nèi)切圓，考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．（2013?江岸區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O、I分別為△ABC的外心和內(nèi)心，AC=6，BC=8，則OI的值為（）A．2 B． C． D．1【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】如圖，作△ABC的內(nèi)切圓⊙I，過點I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．先根據(jù)勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圓半徑AO=5，再證明四邊形IECD是正方形，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和切線長定理求出⊙I的半徑r=2，則ON=1，然后在Rt△OIN中，運用勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，作△ABC的內(nèi)切圓⊙I，過點I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10．∵點O為△ABC的外心，∴AO為外接圓半徑，AO=AB=5．設(shè)⊙I的半徑為r，則ID=IE=r，又∵∠IDC=∠IEC=∠C=90°，∴四邊形IECD是正方形，∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，∵AB=10，∴8﹣r+6﹣r=10，解得r=2，∴IN=r=2，AN=6﹣r=4．在Rt△OIN中，∵∠INO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，∴OI==．故選C．【點評】此題考查了直角三角形的外心與內(nèi)心的概念及性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長定理，綜合性較強，難度適中．求出△ABC的內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．（2013?武漢模擬）如圖在△ABC中，AB=AC，D為AB邊上一點，且BD=2AD，過D作DE∥BC，⊙O內(nèi)切于四邊形BCED，則sinB的值為（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】先由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出BC=3DE，根據(jù)同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形證明四邊形BCED是等腰梯形，則BD=CE，再作等腰梯形BCED的高DF、EG，設(shè)DE=a，根據(jù)圓外切四邊形及等腰梯形的性質(zhì)得出BD=CE=2a，然后解Rt△BDF，即可求出sinB的值．【解答】解：∵DE∥BC，BD=2AD，∴==，∴BC=3DE．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，BC≠DE，∴四邊形BCED是等腰梯形，∴BD=CE．作等腰梯形BCED的高DF、EG，則四邊形DEGF是矩形，BF=CG．設(shè)DE=a，則BC=3DE=3a，BF=CG==a．∵⊙O內(nèi)切于四邊形BCED，BD+CE=DE+BC=a+3a=4a，∴BD=CE=2a．在Rt△BDF中，∵∠BFD=90°，∴DF===a，∴sinB===．故選D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，等腰梯形的判定與性質(zhì)，圓外切四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強，難度適中．作出等腰梯形BCED的高DF、EG，設(shè)DE=a，用含a的代數(shù)式表示出BD是解題的關(guān)鍵．（2013?武漢模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，點P、點Q分別在直角邊BC、斜邊AB上，PQ⊥AB，且PQ與⊙O相切，若AC=2PQ，則tan∠B的值為（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)⊙O的半徑是R，PE=PF=x，BQ=y，連接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD=CD=CE=OE=GQ=QF=R，求出y=2R，x=R，根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出即可．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是R，PE=PF=x，BQ=y，連接OD，OG，OF，OE，∵⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD=AG，∵OD=OE，∴四邊形CDOE是正方形，∴OD=CD=CE=OE=R，同理OG=GQ=FQ=OF=R，則PQ=CP，AC=AQ，∵PQ⊥AB，∠C=90°，∴∠C=∠PQB=90°，∵∠B=∠B，∴△BQP∽△BCA，∴==，∴BC=2BQ=2y，根據(jù)BG=BE得：y+R=2y﹣R，解得：y=2R，在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2=BP2，即（2R）2+（R+x）2=（4R﹣R﹣x）2，解得：x=R，即PQ=R+R=R，BQ=2R，tanB===．故選C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線長定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學生的推理和計算能力，難度偏大．（2013?武漢模擬）如圖，在直角坐標系中，直線AB經(jīng)點P（3，4），與坐標軸正半軸相交于A，B兩點，當△AOB的面積最小時，△AOB的內(nèi)切圓的半徑是（）A．2 B．3.5 C． D．4【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；坐標與圖形性質(zhì)．【專題】壓軸題；探究型．【分析】設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直線AB的解析式是y=kx+4﹣3k，求出OA=4﹣3k，OB=，求出△AOB的面積是?OB?OA=12﹣=12﹣（9k+），根據(jù)﹣9k﹣≥2=24和當且僅當﹣9k=﹣時，取等號求出k=﹣，求出OA=4﹣3k=8，OB==6，設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，由三角形面積公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．【解答】解：設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入得：4=3k+b，b=4﹣3k，即直線AB的解析式是y=kx+4﹣3k，當x=0時，y=4﹣3k，當y=0時，x=，即A（0，4﹣3k），B（，0），△AOB的面積是?OB?OA=??（4﹣3k）=12﹣=12﹣（9k+），∵要使△AOB的面積最小，∴必須最大，∵k＜0，∴﹣k＞0，∵﹣9k﹣≥2=2×12=24，當且僅當﹣9k=﹣時，取等號，解得：k=±，∵k＜0，∴k=﹣，即OA=4﹣3k=8，OB==6，根據(jù)勾股定理得：AB=10，設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，由三角形面積公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，R=2，故選A．【點評】本題考查了勾股定理，取最大值，三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求OA和OB的值，本題比較好，但是有一定的難度．（2013?武漢模擬）已知：如圖，邊長為6的正△ABC內(nèi)有一邊長為4的內(nèi)接正△DEF，則下列結(jié)論①△DBF≌△ECD；②△AEF的周長為10；③△AEF的內(nèi)切圓的半徑為，其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】①由邊長為6的正△ABC內(nèi)有一邊長為4的內(nèi)接正△DEF，根據(jù)AAS即可判定△AEF≌△BFD≌△CDE；②由△AEF≌△BFD≌△CDE，即可得AE=BF，即可求得△AEF的周長為：AB+EF=10；③易求得△AEF的面積，又由三角形的面積等于其內(nèi)切圓的半徑與周長積的一半，即可求得△AEF的內(nèi)切圓的半徑．【解答】解：∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三個頂點都在△ABC的邊上，∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，∴∠AFE=∠BDF，同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，∵在△AEF和△BFD和△CDE中，∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），故①正確；∴AE=BF，∴△AEF的周長為：AE+AF+EF=BF+AF+EF=AB+EF=6+4=10，故②正確；設(shè)△AEF的內(nèi)切圓半徑為r，∵S△ABC=9，S△DEF=4，∴S△AEF=（S△ABC﹣S△DEF）=，∴r===，故③正確．故選C．【點評】此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2012?泉州）如圖，O是△ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥AB，與AC、BC分別交E、F，則（）A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題；探究型．【分析】連接OA，OB，由O是△ABC的內(nèi)心可知OA、OB分別是∠CAB及∠ABC的平分線，故可得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OA，OB，∵O是△ABC的內(nèi)心，∴OA、OB分別是∠CAB及∠ABC的平分線，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．故選：C．【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．（2012?義烏市校級模擬）如圖，邊長為n的正△DEF的三個頂點恰好在邊長為m的正△ABC的各邊上，則△AEF的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外角性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由于△ABC、△EFD都是等邊三角形，因此它們的內(nèi)心重合，設(shè)△ABC的內(nèi)心為M，△AEF的內(nèi)心為N，連接FN、MF，可先證MN=MF，而后由AN=MA﹣MN=MA﹣MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出△AEF的內(nèi)切圓半徑．【解答】解：設(shè)△AEF的內(nèi)切圓半徑為r，∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，且△DEF的三個頂點都在△ABC的邊上，∴△AEF≌△BDE≌△CFD，∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=m+n，S△ABC=m2，S△DEF=n2，∴S△AEF=（S△ABC﹣S△DEF）=（m2﹣n2），則r==（m﹣n）．故選A．【點評】此題考查的知識點有：等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外角性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大．（2012?杭州模擬）如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論：①∠BOC=90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位線；③設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn；④以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形中位線定理；圓與圓的位置關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得①∠BOC=90°+∠A正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn正確；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO與△CFO是等腰三角形，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，即可求得④正確．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正確；假設(shè)EF是△ABC的中位線，則EA=EB，F(xiàn)A=FC，∴EO=EA，F(xiàn)O=FA，∴EA+FA=EO+FO=EF，推出在△AEF中兩邊之和等于第三邊，不成立，∴EF不可能是△ABC的中位線，故②結(jié)論正確；過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE?OM+AF?OD=OD?（AE+AF）=mn；故③正確；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴EB=EO，F(xiàn)O=FC，∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故④正確．∴其中正確的結(jié)論是①②③④．故選D．【點評】此題考查了角平分線的定義與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及圓與圓的位置關(guān)系．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2012?杭州模擬）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則△ABC的外接圓半徑和△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離分別為（）A．5和 B．和 C．和 D．和【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】首先運用勾股定理求出斜邊AB=5cm，因為直角三角形的外心是斜邊的中點，則外接圓的半徑是斜邊的一半，即為cm．直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r和三邊的關(guān)系為r=（a，b為兩直角邊，c為斜邊）可求的r．再運用勾股定理求外心與內(nèi)心之間的距離即可．【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB=5cm（勾股定理）．∴△ABC的外接圓半徑長R==cm；（2）連接ID，IE，IF，∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，又∵DI=EI，∴四邊形CDIE是正方形．∴CD=CE=DI=IE；∵AC=3cm，BC=4cm，由（1）知AB=5cm，∴△ABC的內(nèi)切圓半徑長r=，==1cm．即DI=EI=FI=1cm；∴CD=1cm．∵BC=4cm，∴BD=3cm．∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∴BD=BF=3cm．∵BO=cm，∴OF=cm．在Rt△IFO中，IO=cm（勾股定理）．∴△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．故選B．【點評】本題考查了三角形的外心和內(nèi)心的性質(zhì)．直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑是斜邊的一半；直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r和三邊的關(guān)系為r=（a，b為兩直角邊，c為斜邊）．（2011?煙臺）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m．按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）是（）A．2m B．3m C．6m D．9m【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)：△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積即可求解．【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．則AB===10．∵中心O到三條支路的距離相等，設(shè)距離是r．△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積即：AC?BC=AB?r+BC?r+AC?r即：6×8=10r+8r+6r∴r==2．故O到三條支路的管道總長是2×3=6m．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，三角形內(nèi)心到三角形的各邊的距離相等，利用三角形的面積的關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．（2011?日照）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項中⊙O的半徑為的是（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；解一元一次方程；正方形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】連接OE、OD，根據(jù)AC、BC分別切圓O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，證出正方形OECD，設(shè)圓O的半徑是r，證△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；設(shè)圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，且AB于F，同樣得到正方形OECD，根據(jù)a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；設(shè)圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，則△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．【解答】解：A、設(shè)圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，切AB于F，如圖（1）同樣得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，則a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本選項錯誤；B、設(shè)圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，如圖（2），則△BCA∽△OFA，∴=，∴=，解得：y=，故本選項錯誤；C、連接OE、OD，∵AC、BC分別切圓O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四邊形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，設(shè)圓O的半徑是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本選項正確；從上至下三個切點依次為D，E，F(xiàn)；并設(shè)圓的半徑為x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查對正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)求出圓的半徑是解此題的關(guān)鍵．（2011?寧波校級自主招生）《歌詞古體算題》記載了中國古代的一道在數(shù)學史上名揚中外的“勾股容圓”名題，其歌詞為：“十五為股八步勾，內(nèi)容圓徑怎生求？有人算得如斯妙，算學方為第一籌．”當中提出的數(shù)學問題是這樣的：今有股長15步，勾長8步的直角三角形，試求其內(nèi)切圓的直徑．正確的答案是（）A．3步 B．4步 C．5步 D．6步【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；勾股定理．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖，觀察發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)切圓半徑，恰好是直角三角形內(nèi)三個三角形的高，因而可以通過面積S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，這一面積相等，求得內(nèi)切圓的半徑．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=15步，BC=8步，內(nèi)切圓半徑為r．AC=（勾股定理），，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC==，∴=，∴r===3．∴直徑為6．故選D．【點評】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是將求內(nèi)切圓半徑轉(zhuǎn)化為從不同角度求Rt△ABC的面積．（2011?陽江模擬）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C．2 D．3【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】連接OA，OB，OC，把原三角形分成三個三角形，而這三個三角形的高就是內(nèi)切圓的半徑．等腰三角形ABC的面積可通過作高求得，這樣得到關(guān)于半徑的方程，解方程即可．【解答】解：連OA，OB，OC．因為AB=AC，O是內(nèi)心，所以AO⊥BC，垂足為F．設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，∵AB=AC=13，BC=10，∴BF=5，∴AF=12，則S△ABC=×12×10=60；又∵S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAC=rAB+rAC+rBC=r（13+13+10）=60，∴r=．故選A．【點評】熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．記住三角形的面積等于三角形內(nèi)切圓的半徑與周長的積的一半，是解決本題的關(guān)鍵．（2011?重慶校級模擬）如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是內(nèi)切圓，E，F(xiàn)，D分別為切點，則tan∠OBD=（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；切線長定理．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理證得四邊形OECD是正方形，那么AC+BC﹣AB即為2R（⊙O的半徑R）的值，由此可得到OD、CD的值，進而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．【解答】解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切線，∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；易證得四邊形OECD是矩形，由OE=OD可證得四邊形OECD是正方形；設(shè)OD=OE=CD=R，則：AC+BC﹣AB=AE+R+BD+R﹣AF﹣BF=2R，即R=（AC+BC﹣AB）=1，∴BD=BC﹣CD=3﹣1=2；在Rt△OBD中，tan∠OBD==．故選C．【點評】此題考查的是三角形的外切圓，切線長定理以及銳角三角形函數(shù)的定義，難度適中．（2011?深圳模擬）已知，Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑為3，外接圓直徑為25，兩直角邊分別為a、b．則a+b=（）A．36 B．31 C．28 D．24【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；正方形的判定與性質(zhì)；三角形的外接圓與外心；切線長定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】連接OD，OE，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓和直角三角形推出四邊形ODCE是正方形，得到OD=OE=CD=CE=3，根據(jù)直角三角形的外接圓的直徑等于直角三角形的斜邊長，即推出AB=25，b﹣3+a﹣3=AB=25，求出即可．【解答】解：連接OD，OE，∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF，BF=BD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°，OD=OE，∴四邊形ODCE是正方形，∵Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑為3，∴OD=OE=CD=CE=3，∵Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑為3，外接圓直徑為25，∴AB=25，b﹣3+a﹣3=AB=25，∴a+b=31．故選B．【點評】本題主要考查對直角三角形的外接圓和外心，直角三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，正方形的性質(zhì)和判定，切線長定理等知識點的理解和掌握，此題是一個綜合性比較強的題目，題型較好，難度適中．（2010?蘭州）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么三角形的邊長為（）A．2 B．3 C． D．2【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】欲求三角形的邊長，已知內(nèi)切圓半徑，可過內(nèi)心向正三角形的一邊作垂線，連接頂點與內(nèi)切圓心，構(gòu)造直角三角形求解．【解答】解：過O點作OD⊥AB，則OD=1；∵O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OAD=30°；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，∴AD=OD?cot30°=，∴AB=2AD=2．故選D．【點評】解這類題一般都利用過內(nèi)心向正三角形的一邊作垂線，則正三角形的半徑、內(nèi)切圓半徑和正三角形邊長的一半構(gòu)成一個直角三角形，解這個直角三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)．（2010?揭陽模擬）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學從四塊全等的等腰直角三角形紙板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），他們的具體裁法如下：甲同學：如圖1所示裁下一個正方形，面積記為S1；乙同學：如圖2所示裁下一個正方形，面積記為S2；丙同學：如圖3所示裁下一個半圓，使半圓的直徑在等腰Rt△的直角邊上，面積記為S3；丁同學：如圖所示裁下一個內(nèi)切圓，面積記為S4則下列判斷正確的是（）①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】分別計算結(jié)果再比較大小．具體如下：若設(shè)四塊全等的等腰直角三角形的腰長為1，則斜邊長為，只要把四個圖中陰影部分的面積都用等腰直角三角形的腰長表示，就可比較它們的大?。鶕?jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求圖1中S1=；設(shè)圖2中正方形的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得x的值，所以可知S2=；在圖3中，設(shè)半圓的半徑為r，根據(jù)切線長定理可求得S3=（﹣）π；在圖4中，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為R，根據(jù)切線長定理可求得R=1﹣，所以S4=（）π；根據(jù)以上計算的值進行比較即可判斷．【解答】解：圖1中，設(shè)四塊全等的等腰直角三角形的腰長為1，則斜邊長為，圖1中陰影正方形的對角線長為，S1=；圖2中，設(shè)正方形的邊長為x，則3x=，x=，S2=；圖3中，設(shè)半圓的半徑為r，則1+r=，r=﹣1，S3=（﹣）π；圖4中，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為R，則2﹣2R=，解得R=1﹣，S4=（）π；根據(jù)以上計算的值進行比較，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正確的是②③．故選B．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理等內(nèi)容，范圍較廣．（2010?武漢模擬）如圖，BC是⊙O的直徑，半徑為R，A為半圓上一點，I為△ABC的內(nèi)心，延長AI交BC于D點，交⊙0于點E，作IF⊥BC，連接AO，BI．下列結(jié)論：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④為定值，其中正確的結(jié)論有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；全等三角形的判定與性質(zhì)；切線長定理．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】①利用直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法解答即可；②利用角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理可得正確性；③利用角平分線定義，外角知識可得∠EIB=∠EBI，那么EB=EI；④過E點作角兩邊的垂線，可以由三角形全等及等腰直角三角形性質(zhì)，得到（AB+AC）=AE，再由第（1）問，AB+AC=2（IF+R），可得④正確．【解答】解：①∵直角三角形內(nèi)切圓半徑=，∴IF=，∴AB+AC=BC+2IF，正確；②∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠BIA=90+∠C，∴4∠BIA=360°+2∠C，∵∠BOA=2∠C，∴4∠AIB﹣∠BOA=360°，正確；③∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠EBC=∠BAD，∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD∴∠EIB=∠EBI，∴EB=EI．③正確；④作EN⊥AC于點N，EM⊥AB于點M，連接EC，EB，那么四邊形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，∴∠EAN=45°，∴EN=AN，∴四邊形ENAM是正方形，∴（AM+AN）=AE，EN=EM，∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，∴∠CEN=∠BEM，∴△CEN≌△BEM，∴CN=BM，∴（AB+AC）=AE，由（1）得AB+AC=BC+2IF，∴AB+AC=2R+2IF，IF+R=，∴=，∴④正確．故選C．【點評】本題綜合考查了與圓有關(guān)的知識；用到的知識點為：直角三角形內(nèi)切圓的半徑為：，外接圓半徑為；利用直角三角形的內(nèi)切圓的圓心是內(nèi)角平分線的交點作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的難點．（2010?武漢模擬）如圖，在△ABC中，AC=BC，E是內(nèi)心，AE延長線交△ABC外接圓于D，以下四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①BE=AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等腰三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【分析】根據(jù)E是內(nèi)心，可得出∠CAD=∠BAD，則點D為弧BC的中點，又由AC=BC，得CE⊥AB；則延長BE交圓于一點也一定是弧AC的中點，則BE=AE；根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出三角形DEB與ABC三個角分別對應(yīng)相等．則三角形DEB與ABC相似，從而得出第4個結(jié)論正確．【解答】解：∵E是內(nèi)心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，點D為弧BC的中點，∵AC=BC，且CE為∠ACB的平分線，∴CE⊥AB（三線合一），選項②正確；∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，∴△ACE≌△BCE，（SAS）∴∠CAE=∠CBE，∴BE=AE，選項①正確；∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DBC=∠DAB，∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，∴DE=DB，∴△DEB是等腰三角形，選項③正確；∵△ABC和△BED都為等腰三角形，且兩頂角∠ACB=∠EDB，∴△ABC∽△BED，∴=，∴=，∵DE=DB，BE=AE，∴，選項④正確，∴正確結(jié)論有4個．故選D．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)心，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．（2010?武漢模擬）如圖，I為△ABC的內(nèi)心，△ABC的外接圓O，O在BC上，AD、BE、CF都經(jīng)過I點分別交⊙O于點D、E、F，EF交AB于點G，交AC于點H，IM⊥BC于M．則下列結(jié)論：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值隨A點位置變化而變化．其中正確的是（）A．①②④ B．①② C．①②③ D．③④【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外角性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線長定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【分析】根據(jù)內(nèi)心的定義得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判斷①；求出三角形內(nèi)切圓的半徑是（AC+AB﹣BC），根據(jù)勾股定理求出AI=IH即可判斷②；求出AD=AI+ID=（AC+AB），求出（IM+BC）=（AC+AB），即可判斷③；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷④．【解答】解：∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正確；∵O在BC上，∴∠BAC=90°，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，∴四邊形QIHA是正方形，∴IQ=AQ=AI=IH，∴AC﹣IH+AB﹣IH=BC，∴IH=（AC+AB﹣BC），由勾股定理得：AI=IH，∴②正確；AD=AI+ID=（AC+AB﹣BC）+BC，=AC+AB，（IM+BC）=[（AC+AB﹣BC）+BC]=AC+AB，∴③正確；∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，∴△EFI∽△CBI，∴=，∵BC一定，∴④錯誤；故選C．【點評】本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外角性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線長定理，正方形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．（2009?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA=（）A． B． C． D．2【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)⊙O與AB，AC，BC分別相切于點E，F(xiàn)，G，連接OE，OF，OG，則OE⊥AB．根據(jù)勾股定理得AB=10，再根據(jù)切線長定理得到AF=AE，CF=CG，從而得到四邊形OFCG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到設(shè)OF=x，則CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，建立方程求出x值，進而求出AE與DE的值，最后根據(jù)三角形函數(shù)的定義即可求出最后結(jié)果．【解答】解：過O點作OE⊥ABOF⊥ACOG⊥BC，∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，∵∠C=90°，AC=6BC=8，∴AB=10∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴AF=AE，CF=CG（切線長相等）∵∠C=90°，∴四邊形OFCG是矩形，∵OG=OF，∴四邊形OFCG是正方形，設(shè)OF=x，則CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，∴OF=2，∴AE=4，∵點D是斜邊AB的中點，∴AD=5，∴DE=AD﹣AE=1，∴tan∠ODA==2．故選：D．【點評】此題要能夠根據(jù)切線長定理證明：作三角形的內(nèi)切圓，其中的切線長等于切線長所在的兩邊和與對邊差的一半；直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．（2009?安徽）△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．150°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】本題求的是∠AIB的度數(shù)，而題目卻沒有明確告訴任何角的度數(shù)，因此要從隱含條件入手；CD是AB邊上的高，則∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；I是△ACD的內(nèi)心，則AI、CI分別是∠DAC和∠DCA的角平分線，即∠IAC+∠ICA=45°，由此可求得∠AIC的度數(shù)；再根據(jù)∠AIB和∠AIC的關(guān)系，得出∠AIB．【解答】解：如圖．∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°；又∵I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，∴AI、CI分別是∠BAC和∠ACD的角平分線，∴∠IAC+∠ICA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，∴∠AIC=135°；又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI；∴△AIB≌△AIC（SAS），∴∠AIB=∠AIC=135°．故選：C．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的意義、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)；難點在于根據(jù)題意畫圖，由于沒任何角的度數(shù)，需要充分挖掘隱含條件．此類題學生丟分率較高，需注意．（2009?甘南州）如圖，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為三個切點，若∠DEF=52°，則∠A的度數(shù)為（）A．76° B．68° C．52° D．38°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】連接ID、IF，在⊙I中，由圓周角定理可求得∠DIF的度數(shù)，在四邊形EDFA中，由于∠IDA=∠IFA=90°，因此∠DIF和∠A互補，由此求出∠A的度數(shù)．【解答】解：連接ID、IF；∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∴ID⊥AB，IF⊥AC；又∵⊙I中，∠DIF=2∠DEF=104°，四邊形DIFA中，∠IDA=∠IFA=90°，∴∠A=180°﹣∠DIF=76°，故選A．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及圓周角定理、多邊形的內(nèi)角和等知識，難度不大．（2009?自貢）如圖，若等邊△ABC的邊長為6cm，內(nèi)切圓⊙O分別切三邊于點D，E，F(xiàn)，則陰影部分的面積是（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】連接OA，OE，OF，OD，AD，則AD過O，求出BD、AD，求出三角形ABC的面積，根據(jù)S△OBC=S△ABC，求出OD，求出∠BOC，根據(jù)扇形的面積公式求出即可．【解答】解：連接OA，OE，OF，OD，AD，則AD過O，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=3，由勾股定理得：AD===3，∴S△ABC=BC×AD=×6×3=9，∵等邊三角形ABC的內(nèi)切圓⊙O分別且AB、BC、AC于F、D、E，∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，∴S△AOC=S△OBC=S△OAC，∴S△OBC=S△ABC=3，∴BC×OD=3，即×6×OD=3，∴OD=，∵⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，∴∠OBC=∠ABC=30°，同理∠OCB=30°，∴∠BOC=180°﹣30°﹣30°=120°，∴陰影部分的面積是：=π．故選A．【點評】本題考查了扇形的面積，三角形的面積，勾股定理，三角形的內(nèi)切圓，等邊三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出OD的長和∠BOC的度數(shù)，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．（2009?宜賓縣一模）如果等邊三角形的邊長為6，那么它的內(nèi)切圓的半徑為（）A．3 B． C．2 D．3【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】構(gòu)造內(nèi)切圓半徑，三角形邊的一半，圓心和頂點連線形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函數(shù)即可求解．【解答】解：過O點作OD⊥AB，則AD=3，因為∠OAD=30°，所以O(shè)D=tan30°?AD=．故選B．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的計算．解這類題一般都利用過內(nèi)心向正三角形的一邊作垂線，則正三角形的半徑、內(nèi)切圓半徑和正三角形邊長的一半構(gòu)成一個直角三角形，解這個直角三角形，可求出相關(guān)邊長或角．（2009?贛州二模）如圖，若等邊△ABC的邊長為2cm，內(nèi)切圓O分別切三邊于D，E，F(xiàn)，則陰影部分的面積是（）A．2π B．π C．π D．π【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)等邊三角形的三線合一，知等邊三角形的內(nèi)心也是它的外心，其內(nèi)切圓的半徑是外接圓半徑的一半．再根據(jù)它的半邊是，可以計算其內(nèi)切圓的半徑是1．陰影部分的圓心角是120°，根據(jù)扇形的面積公式得其面積是=．【解答】解：∵等邊△ABC的邊長為2cm，∴內(nèi)切圓的半徑是1，∴陰影部分的圓心角是120°，∴S陰==．故選D．【點評】此題注意根據(jù)等邊三角形的三線合一的性質(zhì)，正確計算內(nèi)切圓的半徑，進而利用扇形的面積公式進行求解．（2009?龍巖校級模擬）如果直角三角形的兩直角邊分別為3，4，那么它的內(nèi)切圓的半徑為（）A．1 B． C．2 D．3【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)勾股定理，得直角三角形的斜邊是5．再根據(jù)切線長定理可以證明“直角三角形內(nèi)切圓的半徑是直角三角形的兩條直角邊的和與斜邊的差的一半”，所以（3+4﹣5）÷2=1．【解答】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4，∴直角三角形的斜邊是5，∴內(nèi)切圓的半徑為（3+4﹣5）÷2=1．故選A．【點評】注意：直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．（2008?貴港）如圖所示，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，若∠DEF=52°，則∠A的度數(shù)是（）A．52° B．76° C．26° D．128°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】連接OD、OF；由圓周角定理可求得∠DOF的度數(shù)；在四邊形ADOF中，∠ODA=∠OFA=90°，因此∠A和∠DOF互補，由此可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：連接OD，OF，則∠ADO=∠AFO=90°；由圓周角定理知，∠DOF=2∠E=104°；∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．故選B．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、四邊形的內(nèi)角和等知識．（2007?白銀）正三角形內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之間的關(guān)系為（）A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】正三角形的內(nèi)心和外心重合，根據(jù)等腰三角形的三線合一，則正三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓的半徑可以放在30°的直角三角形中，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，得R=2r．【解答】解：正三角形內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之間的關(guān)系為R=2r．故選D．【點評】熟記正三角形的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍．（2006?眉山）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，則∠DFE的度數(shù)是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠B=50°，再根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理，得∠DOE=130°，再根據(jù)圓周角定理得∠DFE=65°．【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，∴∠B=50°，∵∠BDO=∠BEO，∴∠DOE=130°，∴∠DFE=65°．故選C．【點評】熟練運用三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和定理以及切線的性質(zhì)定理、圓周角定理．（2006?宜昌）如圖，點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（）A．130° B．100° C．50° D．65°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】由三角形內(nèi)切定義可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)可得∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把對應(yīng)數(shù)值代入即可求得∠BOC的值．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣80°）=50°，∴∠BOC=180°﹣50°=130°．故選A．【點評】本題通過三角形內(nèi)切圓，考查切線的性質(zhì)．（2006?欽州）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點D，E分別為邊AB，AC上的點，且DE為⊙I的切線，若△ABC的周長為21，BC邊的長為6，則△ADE的周長為（）A．15 B．9 C．7.5 D．7【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及切線長定理可得DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，則BM+CQ=6，所以△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC的周長為21，BC=6，∴AC+AB=21﹣6=15，設(shè)⊙I與△ABC的三邊AB、BC、AC的切點為M、N、Q，切DE為P，∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，∴△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE=AD+DM+AE+EQ=AB﹣BM+AC﹣CQ=AC+AB﹣（BM+CQ）=15﹣6=9，故選B．【點評】此題充分利用圓的切線的性質(zhì)，及圓切線長定理．（2005?寧波）邊長分別為3，4，5的三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比為（）A．1：5 B．2：5 C．3：5 D．4：5【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】若設(shè)該直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)，圓心與兩直角邊的切點及直角頂點所組成的四邊形是正方形，所以3﹣r+4﹣r=5，解得r=1，即內(nèi)切圓的半徑為1；直徑所對的圓周角是直角，所以直角三角形的外接圓的圓心在直角三角形的斜邊上，且為斜邊的中點，則外接圓的半徑為，所以內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比為1：=2：5．【解答】解：設(shè)該直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，∵邊長分別為3，4，5，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1，即內(nèi)切圓的半徑為1；∵外接圓的半徑為，∴內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比為1：=2：5．故選B．【點評】本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓圓心與外接圓圓心的概念．（2005?天津）如圖，若正△A1B1C1內(nèi)接于正△ABC的內(nèi)切圓，則的值為（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它們的外心與內(nèi)心重合；可過O分別作AB、A1B1的垂線，連接OA、OA1；在構(gòu)建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半徑分別表示出AB、A1B1的長，進而可求出它們的比例關(guān)系．【解答】解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它們的內(nèi)心與外心重合；如圖：設(shè)圓的半徑為R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AD=OD?=R，即AB=2R；同理可求得A1B1=R；∴==．故選A．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心重合，稱為等邊三角形的中心（五心合一）．（2005?山西）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．則其內(nèi)心和外心之間的距離是（）A．10cm B．5cm C．cm D．2cm【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】如圖，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴AM為外接圓半徑．設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則OD=OE=r，∠C=90°，∵四邊形OECD是正方形，∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，即8﹣r+6﹣r=10，解得r=2cm，∴AN=4cm；在Rt△OMN中，MN=AM﹣AN=1cm，OM=cm．故選C．【點評】此題考查了直角三角形的外心與內(nèi)心概念，及內(nèi)切圓的性質(zhì)．（2005?綿陽）若△ABC內(nèi)切圓的切點將該圓圓周分為7：8：9三條弧，則△ABC的最小內(nèi)角為（）A．55° B．50° C．45° D．30°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理和四邊形的內(nèi)角和定理，知三個內(nèi)角分別和三條弧所對的圓心角互補．所以要求最小的內(nèi)角，只需求得最大的圓心角．【解答】解：∵最大的圓心角是360°×=135°，∴最小的內(nèi)角是45°．故選C．【點評】能夠發(fā)現(xiàn)三個內(nèi)角和三條弧所對的圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（2002?重慶）如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90度，OA的延長線交BC于點D，AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于（）A． B． C． D．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)圓O與AC的切點為M，圓的半徑為r，求得△AOM∽△ADC，利用相似比作為相等關(guān)系可列式r：1=（4﹣r）：4，解之即可．【解答】解：設(shè)圓O與AC的切點為M，圓的半徑為r，如圖，連接OM，∵∠C=90°∴CM=r，∵△AOM∽△ADC，∴OM：CD=AM：AC，即r：1=（4﹣r）：4，解得r=．故選A．【點評】此題考查直角三角形中內(nèi)切圓的性質(zhì)及利用相似三角形求內(nèi)切圓的半徑．（1999?貴陽）已知等腰直角三角形外接圓半徑為5，則內(nèi)切圓半徑為（）A． B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣10【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進而可求得兩條直角邊的長；然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為5，∴此直角三角形的斜邊長為10，兩條直角邊分別為5，∴它的內(nèi)切圓半徑為：R=（5+5﹣10）=5﹣5；故選C．【點評】要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內(nèi)切圓半徑：r=（a+b﹣c）；（a、b為直角邊，c為斜邊）直角三角形的外接圓半徑：R=c．（2001?重慶）已知，在△ABC中，∠C=90°，斜邊長為，兩直角邊的長分別是關(guān)于x的方程的兩個根，則△ABC的內(nèi)切圓面積是（）A．4π B．π C．π D．π【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=3（m+），x1?x2=9m；根據(jù)勾股定理得：x12+x22=（）2，則整理得：m2﹣m﹣6=0，解關(guān)于m的一元二次方程可得m=3；又知直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=（a+b﹣c），則r=，所以可求圓的面積為．【解答】解：∵x1+x2=3（m+），x1?x2=9m；∴x12+x22=（）2，整理得m2﹣m﹣6=0，解得m=﹣2或3，經(jīng)驗證m=﹣2不合題意，則m=3；又∵直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=（a+b﹣c），∴r=，∴圓的面積為．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓面積計算及根與系數(shù)的關(guān)系．（1998?武漢）已知△ABC中，∠C=90°，AB=5，周長等于12，則它的內(nèi)切圓的半徑為（）A．1 B．2 C．2.5 D．3.5【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意求得：兩條直角邊的和是12﹣5=7．再根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，得它的內(nèi)切圓的半徑是（7﹣5）÷2=1．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，周長等于12，∴BC+AC=7，∴r=（7﹣5）÷2=1．故選A．【點評】注意：直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．（1997?貴陽）已知：如圖，I為△ABC的內(nèi)心，O為△ABC的外心，∠O=140°，則∠I=（）A．140° B．125° C．130° D．110°【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，可以利用∠A得到∠I的度數(shù)．【解答】解：∵O為△ABC的外心，∠O=140°，∴∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠IBC+∠ICB=×110°=55°，∴∠I=180°﹣55°=125°，故選B．【點評】本題考查了圓周角定理以及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運用．（1997?武漢）在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，那么，AF、BD、CE的長分別為（）A．AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm B．AF=4cm，BD=5cm，CE=9cmC．AF=5cm，BD=4cm，CE=9cm D．AF=9cm，BD=4cm，CE=5cm【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】利用切線長定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以設(shè)AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根據(jù)BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一個關(guān)于x，y，z的方程組，即可求解．【解答】解：設(shè)AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．∵AF、AE是圓的切線，∴AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．根據(jù)題意得：，解得：．即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm．故選；A．【點評】本題考查了切線長定理，利用切線長定理，把求線段長的問題轉(zhuǎn)化成解方程組的問題，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．（1997?江西）正三角形的內(nèi)切圓的面積與外接圓的面積之比是（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)題意作圖，易得點O即是△ABC的外心，又是⊙O的內(nèi)心，且外接圓的半徑為OB，內(nèi)接圓的半徑為OD，AD⊥BC，然后由直角三角形的性質(zhì)，得到OD=OB，繼而求得答案．【解答】解：如圖，△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，連OB，如圖，∵△ABC為等邊三角形，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴點O即是△ABC的外心，又是⊙O的內(nèi)心，且外接圓的半徑為OB，內(nèi)接圓的半徑為OD，AD⊥BC，∴∠OBC=30°，在Rt△OBD中，OD=OB，∴正三角形的內(nèi)切圓的面積與外接圓的面積之比是：πOD2：πOB2=1：4．故選B．【點評】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2014?宜陽縣校級模擬）如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是弧上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．①求∠ACB的度數(shù)為60°；②記△ABC的面積為S，若=4，則⊙D的半徑為．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；垂徑定理；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】①根據(jù)切線的判定定理得出AB與⊙D相切于E點，進而得出⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，根據(jù)OM=OP=0.5，得出∠MOB=60°，進而得出∠ACB的度數(shù)；②根據(jù)S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC，得出△ABC的面積為S=（AB+AN+CN+BC）×DE，由切線長定理以及DE=DN=CD，得出CN=DE，再利用已知求出⊙D的半徑．【解答】解：①連接AD，BD，OA，OB，∵DE⊥AB于點E，點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，∴AB與⊙D相切于E點，又∵過點A、B作⊙D的切線，∴⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，∵⊙O的半徑為1，∴OP=1，∵弦AB垂直平分線段OP，∴OM=OP=0.5，∴MO=OB，∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠ACB的度數(shù)為60°，故答案為：60°；②∵OM=OP=0.5，∴BM=，AB=，∵AE=AN，BE=BQ，∴△ABC的面積為S=（AB+AN+CN+BC）×DE=（2+2CN）×DE，∵△ABC的面積為S，=4，∴=4，∵DE=DN=CD，∴CN=DE，∴，解得：DE=，則⊙D的半徑為：，故答案為：．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)切圓性質(zhì)與圓周角定理和垂徑定理等知識，題目綜合性較強，得出S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC是解決問題的關(guān)鍵．（2014?成都模擬）如圖，CD是直角三角形ABC的斜邊AB上的高，I1、I2分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，若AC=3，BC=4，則I1I2=．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】首先作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再運用射影定理求得AD、BD的長．因為I1E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，即可求得I1E的值．連接DI1、DI2，則DI1、DI2分別是∠ADC和∠BDC的平分線，利用垂直的定義，可得到I1D⊥I2D．利用在直角三角形中，直角邊也對應(yīng)角的關(guān)系，求得DI1、DI2的值，進而求得I1I2的值．【解答】解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB==5，又∵CD⊥AB，由射影定理可得AD==，∴BD=AB﹣AD=，CD==，∵I1E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，∴I1E=（AD+CD﹣AC）=，連接DI1、DI2，則DI1、DI2分別是∠ADC和∠BDC的平分線，∵∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°，∴∠I1DI2=90°，∴I1D⊥I2D，DI1===，同理，可求得I2F=，DI2=，∴I1I2==．【點評】本題考查內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、解直角三角形．解決本題的基本思路是首先求得兩個內(nèi)切圓I1、I2的半徑，再利用勾股定理求得DI1、DI2，最后在證明I1D⊥I2D的基礎(chǔ)上求得I1I2的值．（2013?南寧）如圖，在邊長為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為﹣π．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】連接OB，以及⊙O與BC的切點，在構(gòu)造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得⊙O的半徑，然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積．【解答】解：如圖，連接OB、OD；設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點為G；過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，則∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．在Rt△OBD中，∠OBD=30°，則OD=BD?tan30°=1×=，OB=2OD=，BG=OB﹣OG=；由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，故PG=BG=；∴S⊙o=π×（）2=π，S⊙P=π×（）2=π；∴S陰影=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P=﹣π﹣π=﹣π．故答案為：﹣π．【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)以及圖形面積的計算方法，難度適中．（2013?沈陽模擬）已知在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，則△ABC的外接圓半徑長為5cm，△ABC的內(nèi)切圓半徑長為2cm，△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】首先運用勾股定理求出斜邊AB=10cm，因為直角三角形的外心是斜邊的中點，則外接圓的半徑是斜邊的一半，即為5cm．直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r和三邊的關(guān)系為r=（a，b為兩直角邊，c為斜邊）可求的r．再運用勾股定理求外心與內(nèi)心之間的距離即可．【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB==10cm．∴△ABC的外接圓半徑長R===5cm．故答案為：5cm．（2）∵AC=8cm，BC=6cm，由（1）知AB=10cm，∴△ABC的內(nèi)切圓半徑長r=，==2cm．故答案為：2cm．（3）連接ID，IE，IF，∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，又∵DI=EI，∴四邊形CDIE是正方形．∴CD=CE=DI=IE，由（2）知DI=IE=IF2cm，∴CD=2cm．∵BC=6cm，∴BD=4cm．∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∴BD=BF=4cm．∵BO=5cm，∴OF=1cm．在Rt△IFO中，IO==cm．∴△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．故答案為：cm．【點評】本題考查了三角形的外心和內(nèi)心的性質(zhì)．直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑是斜邊的一半；直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r和三邊的關(guān)系為r=（a，b為兩直角邊，c為斜邊）．（2012?連云港一模）某中學在校內(nèi)安放了幾個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖①），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖②所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是25cm．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】當圓柱形飲水桶的底面半徑最大時，圓外接于△ABC；連接外心與B點，可通過勾股定理即可求出圓的半徑．【解答】解：連接OB，如圖，當⊙O為△ABC的外接圓時圓柱形飲水桶的底面半徑的最大．∵AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，∴O點在AD上，BD=20cm；在Rt△0BD中，設(shè)半徑為r，則OB=r，OD=40﹣r，∴r2=（40﹣r）2+202，解得r=25．即圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值為25cm．故答案為25．【點評】此題考查把實物圖轉(zhuǎn)化為幾何圖形的能力以及垂徑定理的討論和勾股定理．（2012?淮濱縣模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別為D，E，F(xiàn)、已知∠B=50°，∠C=60°，連接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于55°．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】先由三角形的內(nèi)角和定理求出∠A，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和求出∠EOF，最后根據(jù)圓周角定理得到∠EDF的度數(shù)．【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°；又∵E，F(xiàn)是切點，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠EOF=180°﹣70°=110°，∴∠EDF=×110°=55°．故填55°．【點評】記住多邊形的內(nèi)角和定理；熟練掌握切線的性質(zhì)定理和圓周角定理．（2012?海陵區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA=2．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；解一元一次方程；勾股定理；正方形的判定與性質(zhì)；切線長定理；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】計算題；幾何圖形問題；壓軸題．【分析】連接OE、OF、OQ，設(shè)⊙O的半徑是r，由勾股定理求出AB=5，根據(jù)△ABC的內(nèi)切圓，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，推出四邊形CFOE是正方形，得到CE=CF=OF=OE，根據(jù)3﹣r+4﹣r=5求出r、AQ、OQ的長求出AD、DQ的長，根據(jù)tan∠ODA=求出即可．【解答】解：連接OE、OF、OQ，設(shè)⊙O的半徑是r，由勾股定理得：AB==5，∵⊙O是三角形ABC的內(nèi)切圓，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，∵∠C=90°，∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，∴四邊形CFOE是正方形，∴CE=CF=OF=OE，∴3﹣r+4﹣r=5，r=1，AQ=AE=3﹣1=2，OQ=1，∵D是AB的中點，∴AD=，∴DQ=AD﹣AQ=，tan∠ODA==2，故答案為：2．【點評】本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，正方形的性質(zhì)和判斷，解一元一次方程，勾股定理，切線長定理等知識點的理解和掌握，能求出OQ、DQ的長是解此題的關(guān)鍵．（2011?蕪湖）如圖，在平面直角坐標系中有一正方形AOBC，反比例函數(shù)經(jīng)過正方形AOBC對角線的交點，半徑為（4﹣2）的圓內(nèi)切于△ABC，則k的值為4．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，進而根據(jù)半徑為（4﹣2）的圓內(nèi)切于△ABC，得出CD的長，從而得出DO的長，再利用勾股定理得出DN的長進而得出k的值．【解答】解：設(shè)正方形對角線交點為D，過點D作DM⊥