專題4.1 平面直角坐標系中圖形面積的求法（4大類型）（解析版）

專題4.1平面直角坐標系中圖形面積的求法（4大類型）重難點題型歸納【題型1求面積-補全法】【題型2求面積-切割法】【題型3求兩個圖形相等的面積-分類討論法】【題型4求兩個圖形面積的倍數(shù)關系-分類討論法】【題型1求面積-補全法】【典例1】如圖，△ABC是由△A1B1C1向右平移2個單位，再向上平移1.5個單位所得．已知A（2，1），B（5，3），C（3，4）．（1）直接寫出△A1B1C1三個頂點的坐標．（2）求△ABC的面積．【答案】（1）A1（0，﹣0.5），B1（3，1.5），C1（1，2.5）．（2）．【解答】解：（1）A1（0，﹣0.5），B1（3，1.5），C1（1，2.5）．（2）如圖，△ABC的面積＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝．【變式1-1】（2022春?五華區(qū)期末）在平面直角坐標系中，△ABC經(jīng)過平移得到三角形△A′B′C′，位置如圖所示：（1）分別寫出點A、A'的坐標：A，A'；（2）若點M（m，n）是△ABC內部一點，則平移后對應點M'的坐標為；（3）求△ABC的面積．【答案】（1）A（1，0），A'（﹣4，4）；（2）（m﹣5，n+4）（3）7【解答】解：（1）由圖知A（1，0），A'（﹣4，4）；（2）A（1，0）對應點的對應點A′（﹣4，4）得A向左平移5個單位，向上平移4個單位得到A′，故△ABC內M（m，n）平移后對應點M'的坐標為（m﹣5，n+4）；（3）△ABC的面積為：4×4﹣×4×2﹣×3×2﹣×1×4＝7．【變式1-2】（2022春?宜城市期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B、C三點的坐標分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）畫出三角形ABC，并求其面積；（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的？（3）已知點P（a，b）為△ABC內的一點，則點P在△A′B′C′內的對應點P′的坐標（，）．【答案】（1）8（2）先向右平移4個單位，再向下平移3個單位．（3）a+4，b﹣3．【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求．S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；（2）先向右平移4個單位，再向下平移3個單位．（3）由題意P′（a+4，b﹣3）．故答案為：a+4，b﹣3．【題型2求面積-切割法】【典例2】如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四邊形ABCD的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：過D，C分別作DE，CF垂直于AB，E、F分別為垂足，則有：S＝S△OED+SEFCD+S△CFB＝×AE×DE+×（CF+DE）×EF+×FC×FB．＝×2×8+×（8+4）×5+×2×4＝42．故四邊形ABCD的面積為42平方單位．【變式2-1】如圖，在平面直角坐標系中，圖中的網(wǎng)格是由邊長相等的小正方形組成，點A、B、C的坐標分別為（﹣5，4），（﹣4，0）．（﹣5，﹣3）．（1）請寫出點D、E、F、G的坐標；（2）求圖中陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）點D、E、F、G的坐標分別為：（0，﹣2）、（5，﹣3）、（3，4）、（﹣1，2）；（2）陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積為：[5﹣（﹣5）]×[4﹣（﹣3）]﹣[4﹣（﹣3）]×1÷2﹣[3﹣（﹣5）]×2÷2﹣2×[4﹣（﹣3）]÷2﹣[5﹣（﹣5）]×1÷2＝10×7﹣3.5﹣8﹣7﹣5＝70﹣23.5＝46.5．∴陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積為46.5．【變式2-2】如圖，四邊形ABCD各頂點的坐標分別是A（0，0），B（8，0），C（6，4），D（3，6），求出四邊形ABCD的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：過D，C分別作DE，CF垂直于AB，E、F分別為垂足，則有：S＝S△OED+SEFCD+S△CFB＝×AE×DE+×（CF+DE）×EF+×FC×FB．＝×3×6+×（4+6）×3+×2×4＝28．故四邊形ABCD的面積為28．【題型3求兩個圖形相等的面積-分類討論法】【典例3】如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足，過C作CB⊥x軸于B．（1）求△ABC的面積．（2）在y軸上是否存在點P，使得△ABC和△ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．（3）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵（a+4）2+＝0，∴a+4＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣4，b＝4，∵CB⊥AB∴A（﹣4，0），B（4，0），C（4，2），∴△ABC的面積＝×2×8＝8；（2）①當P在y軸正半軸上時，如圖1，設P（0，t），過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，∵S△APC＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝8，∴×8×（t+t﹣2）﹣×4t﹣×4×（t﹣2）＝8，解得：t＝3，②當P在y軸負半軸上時，如圖2，∵S△APC＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝8∴×8（﹣t+2﹣t）+×4t﹣×4（2﹣t）＝8，解得：t＝﹣1，∴P（0，﹣1）或（0，3）．（3）∵CB∥y軸，BD∥AC，∴∠CAB＝∠5，∠ODB＝∠6，∠CAB+∠ODB＝∠5+∠6＝90°，過E作EF∥AC，如圖3，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠3＝∠CAB＝∠1，∠4＝∠ODB＝∠2，∴∠AED＝∠1+∠2＝（∠CAB+∠ODB）＝45°．【變式3-1】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A、B的對應點C，D，連接AC，BD，CD．（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC；（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA，PB，使S△PAB＝S四邊形ABDC？若存在這樣一點，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2），四邊形ABCD的面積＝（3+1）×2＝8；（2）假設y軸上存在P（0，b）點，則S△PAB＝S四邊形ABDC∴|AB|?|b|＝8，∴b＝±4，∴P（0，4）或P（0，﹣4）．6．平面直角坐標系中，將點A、B先向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位后，分別得到點A′（3，﹣2）、B′（2，﹣4）．（1）點A坐標為（1，1），點B坐標為（0，﹣1），并在圖中標出點A、B；（2）若點C的坐標為（2，﹣2），求△ABC的面積；（3）在（2）的條件下，點D為y軸上的點，且使得△ABD面積與△ABC的面積相等，求D點坐標．【答案】（1）（1，1），（0，﹣1）；（2）2.5；（3）P（0，4）或（0，﹣6）．【解答】解：（1）如圖，線段AB即為所求，A（1，1），B（0，﹣1）．故答案為：（1，1），（0，﹣1）；（2）S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5；（3）設D（0，m）則有×|m+1|×1＝2.5，解得m＝4或﹣6，∴P（0，4）或（0，﹣6）．【變式3-2】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（Ⅰ）如圖①，則三角形ABC的面積為6；（Ⅱ）如圖②，將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D．①求三角形ACD的面積；②點P（m，3）是一動點，若三角形PAO的面積等于三角形CAO的面積．請直接寫出點P坐標．【答案】（Ⅰ）6．（Ⅱ）①9．②P（﹣4，3）或（4，3）．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，∴S△ABC＝?BC?AO＝×6×2＝6．故答案為6．（Ⅱ）①如圖②中由題意D（5，4），連接OD．S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝×2×5+×4×4﹣×2×4＝9．②由題意：×2×|m|＝×2×4，解得m＝±4，∴P（﹣4，3）或（4，3）．【變式3-3】綜合與探究：如圖1，在平面直角坐標系中，O為原點，點A、B在坐標軸上，其中A（0，a），B（b，0）、C（c，O）滿足將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D，如圖2所示．（1）點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（﹣2，0），點C的坐標為（4，0）．（2）寫出點D的坐標，并求出△ACD的面積；（3）點P（m，4）是坐標平面內一點，若S△PAD＝S△AOC，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）（0，2），（﹣2，0），（4，0）；（2）D（5，4），S△ACD＝9；（3）（1，4）或（9，4）．【解答】解：（1）∵，∴2﹣a＝0，2a+b﹣2＝0，c﹣4＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝4，∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）；故答案為：（0，2），（﹣2，0），（4，0）；（2）連接OD，∵點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D．∴D（﹣2+7，0+4），即D（5，4），∴S△ACD＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC＝×2×5+×4×4﹣×4×2＝9；（3）∵S△PAD＝S△AOC，∴×PD×2＝×4×2，∴PD＝4，∴點P的坐標為（1，4）或（9，4）．【變式3-4】如圖，在直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三點，其中a，b，c滿足關系式，|a+b﹣5|+＝0，（c﹣4）2≤0．（1）求a，b，c的值；（2）在直線BC上是否存在點Q，使△ABQ的面積是△ABC面積的？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如果在第二象限內有一點P（m，），是否存在點P，使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵|a+b﹣5|+＝0，（c﹣4）2≤0，∴a+b﹣5＝0，2a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝4；（2）∵△ABQ的面積是△ABC面積的，∴BQ＝BC，∴Q（3，2）（3，﹣2）；（3）∵a＝2，b＝3，c＝4，∴△ABC的各頂點坐標為：A（0，2），B（3，0），C（3，4）；∵S△ABC＝×4×3＝6；∴SABOP＝S△APO+S△ABO＝×AO×|m|+×AO×OB＝×2|m|+×2×3＝|m|+3＝6，且四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等，∴|m|＝3，m＝±3，∵在第二象限內有一點P（m，），∴P（﹣3，）．【變式3-5】如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A（a，0）、B（b，0），且a、b滿足，現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A、B的對應點D、C，連接AD、BC、CD．（1）求a、b的值，并直接寫出點A、點B、點C、點D的坐標；（2）如圖2，點P是線段DC上的一個動點，連接PA、PB，當點P在線段DC上移動時，△ABP的面積是否變化？若不變，請求出△ABP的面積；若變化，請說明理由；（3）在x軸上是否存在一點M，使△MBD的面積與△ACD的面積相等？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）a＝﹣1，b＝4，A（﹣1，0），B（4，0），C（5，3），D（0，3）；（2）不變，；（3）（﹣1，0）或（9，0）．【解答】解：（1）∵，而|a+1|≥0，≥0，∴a+1＝0，b﹣4＝0，即a＝﹣1，b＝4，∴點A（﹣1，0），B（4，0），∵點A（﹣1，0），B（4，0）分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A、B的對應點D、C，∴點C（5，3），點D（0，3），答：a＝﹣1，b＝4，A（﹣1，0），B（4，0），C（5，3），D（0，3）；（2）由平移的性質可知，AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴當點P在CD上移動時，△ABP的面積不變，∴S△ABP＝（4+1）×3＝，答：當點P在線段DC上移動時，△ABP的面積不變，△ABP的面積為；（3）由題意可得，△ACD的面積為，當△MBD的面積與△ACD的面積相等時，BM＝BA＝5，當點M在點B的左側時，點M與點A重合，其坐標為（﹣1，0），當點M在點B的右側時，點M的坐標為（9，0），綜上所述，點M的坐標為（﹣1，0）或（9，0）．【題型4求兩個圖形面積的倍數(shù)關系-分類討論法】【典例4】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（﹣2，0）、（4，0），現(xiàn)在把線段AB向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到線段CD，連接AC、BD．（1）請直接寫出點C、點D的坐標；（2）在x軸上是否存在一點P，使得△CDP的面積是△BDP面積的2倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；（2）P的坐標為（1，0）或（7，0）．【解答】解：（1）∵點A，B的坐標分別是（﹣2，0），（4，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度得到A，B的對應點C，D，∴點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；（2）存在，∵點P在x軸上，∴△DPC中DC邊上的高為2，由平移可知：CD＝AB＝6，∴S△DPC＝CD×2＝6，∵S△DPC＝2S△DPB，∴S△DPB＝3，∴BP×2＝3，∴BP＝3，①當點P在點B的左側時，P（1，0），②當點P在點B的右側時，P（7，0），∴P的坐標為（1，0）或（7，0）．【變式4-1】已知：如圖，在平面直角坐標系中，三角形ABC的三個頂點坐標分別是A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．（1）線段AC的中點的坐標為（﹣1，0），三角形ABC的面積是6；（2）若點A、C的位置不變，當點P在y軸上時，且三角形ACP的面積等于三角形ABC的面積的2倍，則P的坐標是（0，6）或（0，﹣6）；（3）若點B、C的位置不變，當點Q在x軸上時，且三角形BCQ的面積等于三角形ABC的面積的2倍，求點Q的坐標；（4）若點M（m，0）是三角形ABC的AC邊上的一點，直接寫出三角形ABC向右平移3個單位，向下平移2個單位后，點M的對應點M1的坐標（用含m的代數(shù)式表示）．?【答案】（1）（﹣1，0），6；（2）（0，6）或（0，﹣6）；（3）（5，0）或（﹣11，0）；（4）（m+3，﹣2）．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），線段AC的中點的坐標為（﹣1，0），三角形ABC的面積是×4×3＝6；故答案為：（﹣1，0），6；（2）由已知得：×4×OP＝6×2，∴OP＝6，∴P的坐標是（0，6）或（0，﹣6）；（3）由已知得：×CQ×3＝6×2，∴CQ＝8，∵C（﹣3，0），∴點Q的坐標為（5，0）或（﹣11，0）；（4）根據(jù)平移法則得：M1的坐標為（m+3，﹣2）．【變式4-2】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4），B（8，0），C（8，6）三點．（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內有一點P（m，1），且四邊形ABOP的面積是△ABC的面積的兩倍；求滿足條件的P點的坐標．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC＝×6×8＝24；（2）∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∴S四邊形ABOP＝S△AOB+S△AOP＝×4×8+×4（﹣m）＝16﹣2m，又∵S四邊形ABOP＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．【變式4-3】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（a，0），B（b，0），C（1，3），且（a+5）2+|2b﹣6|＝0．（1）直接寫出A、B兩點坐標；（2）若點M在x軸上運動，且△BCM的面積是△ABC面積的，求點M的坐標；（3）過點C作AB的平行線，交y軸于點D，連接AD．將線段AD沿x軸向右平移至BE，再作EG⊥x軸于G．動點P從D出發(fā)，沿DE→EG方向運動，速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒，當△PBD的面積為9時，求t的值．【答案】（1）點A（﹣5，0），點B（3，0）；（2）（﹣1，0）或（7，0）；（3）6或10．【解答】解：（1）∵（a+5）2+|2b﹣6|＝0．∴a+5＝0，2b﹣6＝0，解得a＝﹣5，b＝3，∴點A（﹣5，0），點B（3，0）；（2）∵△BCM的面積是△ABC面積的，∴BM＝AB＝（3+5）＝4，當點M在點B的左側時，點M的橫坐標為3﹣4＝﹣1，此時點M（﹣1，0），當點M在點B的右側時，點M的橫坐標為3+4＝7，此時點M（7，0），答：點M的坐標為（﹣1，0）或（7，0）；（3）當點P在線段DE上時，DP＝t，△PBD的面積為9時，即t×3＝9，解得t＝6，當點P在線段EG上時，EP＝t﹣8，PG＝3+8﹣t＝11﹣t，由于△PBD的面積為9，即S梯形PGOD﹣S△BOD﹣S△BPG＝9，∴（3+11﹣t）×（3+5）﹣×3×3﹣×5×（11﹣t）＝9，解得t＝10，答：當△PBD的面積為9時，t的值為6或10．【變式4-4】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（6，0），B（8，6），將線段OA平移至CB，連接OC，AB，OC∥AB，點D在x