（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義06 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（原卷版）

第第頁1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1.了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示

2.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示

3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用

4.掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題重點：理解空間向量的坐標(biāo)表示及其運算難點：運用空間向量的坐標(biāo)運算解決簡單的立體幾何問題

一、平面向量坐標(biāo)表示及其運算已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，寫出下列向量的坐標(biāo)表示SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0//SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0；SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0如果表示向量SKIPIF1<0的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；cos=SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）一、情境導(dǎo)學(xué)我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出：“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡單講就是形與數(shù)，歐幾里得幾何體系的特點是排除了數(shù)量關(guān)系，對于研究空間形式，你要真正的‘騰飛’，不通過數(shù)量關(guān)系，我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”，也就是坐標(biāo)系的引入，使得幾何問題“代數(shù)化”，為了使得空間幾何“代數(shù)化”，我們引入了坐標(biāo)及其運算.二、探究新知一、空間直角坐標(biāo)系與坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底i,j,k，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分.2.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.2.點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量OA，且點A的位置由向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底i,j,k下與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z3.向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作OA=a由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a=(x，y，z小試牛刀1.若a=3i+2j﹣k，且{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，則a的坐標(biāo)為.

思考：在空間直角坐標(biāo)系中，向量OP的坐標(biāo)與終點P的坐標(biāo)有何關(guān)系?二、空間向量運算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運算法則設(shè)向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a+b

減法a﹣b

數(shù)乘λa

數(shù)量積a·b

2.空間向量的坐標(biāo)與其端點坐標(biāo)的關(guān)系：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB=(x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1).即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示：若向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則(1)當(dāng)b≠0時，a∥b?a=λb?(λ∈R);

(2)a⊥b??.

4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示若向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則(1)|a|=a·a=(2)cos<a，b>=a·b|(3)若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則P1，P2兩點間的距離為|P1P2小試牛刀1.已知空間向量m=(1，﹣3，5)，n=(﹣2，2，﹣4)，則有m+n=?，3m﹣n=?，(2m)·(﹣3n)=.

2.已知空間向量a=(2，λ，﹣1)，b=(λ，8，λ﹣6)，若a∥b，則λ=，若a⊥b，則λ=.

3.已知a=(﹣2，2，3)，b=(32，6，0)，則|a|=，a與b夾角的余弦值等于.

例1在直三棱柱ABO﹣A1B1O1中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，AA1=4，D為A1B1的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求DO用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下：跟蹤訓(xùn)練1.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點，若以{AB,AD,AA1}為基底，則向量AE的坐標(biāo)為，向量AF的坐標(biāo)為例2已知在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，﹣2，4)，B(﹣2，3，0)，C(2，﹣2，﹣5).(1)求AB+CA,CB(2)若點M滿足AM=1(3)若p=CA，q=CB，求(p+q)·(p﹣q).空間向量的坐標(biāo)運算注意以下幾點：(1)一個向量的坐標(biāo)等于這個向量的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運算，牢記運算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a﹣b)=a2﹣b2.跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，A(2，﹣5，3)，AB=(4，1，2)，BC=(3，﹣2，5).(1)求頂點B，C的坐標(biāo);(2)求CA·(3)若點P在AC上，且AP=12PC，例3已知空間三點A(﹣2，0，2)，B(﹣1，1，2)，C(﹣3，0，4).設(shè)a=AB，b=AC.(1)若|c|=3，c∥BC，求c;(2)若ka+b與ka﹣2b互相垂直，求k.向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用.解題時要注意：①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a=λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運算的目的.跟蹤訓(xùn)練3.已知a=(λ+1，1，2λ)，b=(6，2m﹣1，2).(1)若a∥b，分別求λ與m的值;(2)若|a|=5，且與c=(2，﹣2λ，﹣λ)垂直，求a.例4如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點.(1)求BM，BN的長.(2)求△BMN的面積.反思感悟向量夾角與模的計算方法利用坐標(biāo)運算解空間向量夾角與長度的計算問題，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，然后利用夾角與模的計算公式進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練4.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，BB1的中點，則cos∠EAF=，EF=.

一題多變——空間向量的平行與垂直典例在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是棱D1D的中點，點P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3B1P=PD1，若PQ⊥AE，BD=λ延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ，其他條件不變，結(jié)果如何?延伸探究2本例中若點G是A1D的中點，點H在平面xOy上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置.1.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐標(biāo)為(2，1，﹣3).若分別以DA,DC,DD1的方向為x軸A.(2，1，﹣3) B.(﹣1，2，﹣3)C.(1，﹣8，9) D.(﹣1，8，﹣9)2.下列向量中與向量a=(0，1，0)平行的向量是()A.b=(1，0，0) B.c=(0，﹣1，0)C.d=(﹣1，﹣1，1) D.e=(0，0，﹣1)3.已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，﹣2)，若(ka+b)·(a+kb)=2，則k的值等于()A.1 B.35 C.25 4.已知點A(1﹣t，1﹣t，